وظيفة بيتا (فيزياء)

	نظرية الحقل الكمومي
الخلفية
	نظرية مقياس ; نظرية المجال ; تماثل بوانكيه ; ميكانيكا الكم ; انفصال تماثل تلقائي ;
تناظر
	Crossing ; Charge conjugation ; تكافؤ ; انعكاس زمني ;
الأدوات
	Anomaly ; نظرية الحقل الفعال ; Expectation value ; اشباح فادييف-بوبوفs ; مخطط فاينمان ; LSZ reduction formula ; Partition function ; Propagator ; تكميم ; استبدال غير المتناهي ; فراغ كمي ; Wick's theorem; Wightman axioms ;
المعادلات
	معادلة ديراك ; معادلة كلاين-غوردون ; Proca equations ; Wheeler–deWitt equation ;
النموذج العياري
	تآثر كهروضعيف; آلية هيغز ; ديناميكا لونية كمومية; كهروديناميكا كمية; نظرية يانغ-ميلز ;
نظريات غير مكتملة
	ثنطقة كمومية ; نظرية الأوتار ; تناظر فائق ; Technicolor ; نظرية جميع شيء
فهماء
	Adler • بيته • Bogoliubov , Callan • كولمان • DeWitt • ديراك • ديسون • فيرمي • فاينمان • Fierz • Fröhlich • جيلمان • Goldstone • غروس • هوفت • رومان جاكيو • كلاين • لانداو• لي • ليمان • Majorana • نامبو• Parisi • بوليكوف • عبد السلام • جوليان شفينجر • Skyrme • شتوكلبرج • إتيرو • Symanzik • توموناجا • فيلتمان • واينبرج • فيكتور فايسكوبف • ولسون • ويتين • يانج • هدبهائي • يوكاوا • تسيمرمان • Zinn-Justin
	هذا الصندوق: ; ; ;

في الفيزياء النظرية، وخصوصًا في نظرية الحقل الكمومي، تُشفر الوظيفة بيتا اعتماد البارمترات المقترنة على مقياس الطاقة لعملية فيزيائية معطاة تصفها نظرية الحقل الكمومي. تُعهد بالقانون:

${\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g {\partial \log(\mu ) ~,$

وبسبب مجموعة التطبيع الكامنة، لا تملك اعتماد واضح على مقياس الطاقة، لذا فهي تعتمد على مقياس الطاقة بشكل ضمني من خلال g. يُعهد هذا الاعتماد على مقياس الطاقة المحدد على أنه تشغيل بارامتر الاقتران، وهوسمة أساسية لاعتماد المقياس في نظرية الحقل الكمومي، ويمكن تحقيق حوسبته الواضحة من خلال مجموعة متنوعة من التقنيات الرياضية.

مقياس اللاتغير

إذا تبخرت الوظائف بيتا من نظرية الحقل الكمومي، عادةً عند قيم محددة لبارمترات الاقتران، عندها يمكن وصف النظرية على أنها لا متغيرة المقياس. تُعد جميع نظريات الحقل الكمومي اللا متغيرة المقياس تقريبًا لا متغيرة امتثالية. يُطلق على دراسة هذه النظريات اسم نظريات الحقل الامتثالي.

يمكن تشغيل بارامتر الاقتران لنظرية الحقل الكمومي حتى إذا كانت نظرية الحقل الكلاسيكية المستجيبة لا متغيرة المقياس. في هذه الحالة، تخبرنا الوظيفة بيتا اللا صفرية حتى مقياس اللا تغير الكلاسيكي فيه شذوذ.

أمثلة

تُحسب وظائف بيتا، عادةً، بنوع من المخطط التقريبي. لعل أفضل مثال على ذلك نظرية الاضطراب، إذ يفترض الشخص حتى بارامترات الاقتران صغيرة. يمكن للشخص بعد ذلك توسيع قدرات بارمترات الاقتران واقتطاع رموز الترتيب الأعلى (المعروفة أيضًا باسم مساهمات الحلقة الأعلى، نظرًا لعدد الحلقات في مخططات فاينمان البيانية المستجيبة).

هذه أمثلة عن الوظيفة بيتا المحسوبة بنظرية الاضطراب:

الكهروديناميكا الكمومية

الوظيفة بيتا في الحلقة الواحدة في الكهروديناميكا الكمومية هي:

${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3 {12\pi ^{2 ~,$

أوبشكل مشابه

${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3 {12\pi ^{2 ~,$

تُخط من حيث ثابت البنية الدقيقة في الوحدات الطبيعية $α = e 2 /4π$ .

تُخبرنا الوظيفة بيتا حتى الاقتران يزيد مع زيادة مستوى الطاقة، وتصبح الكهروديناميكا الكمومية مقترنة بصورة قوية عند الطاقة العليا. في الحقيقة، يصبح الاقتران بشكل واضح لانهائي عند طاقة منتهية ما يُسفر عن قطب لانداو. ومع ذلك، لا يستطيع الشخص تسقط حتى تعطي الوظيفة بيتا الاضطرابية نتائج دقيقة عند الاقتران القوي، ولذلك من المحتمل حتىقد يكون قطب لانداوصناعيًا لتطبيق نظرية الاضطراب في وضع لاقد يكون فيه التطبيق صالحًا.

الكروموديناميكا الكمومية

وظيفة بيتا للحلقة الواحدة في الكروموديناميكا الكمومية مع ${\displaystyle n_{s$

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s {3 -{\frac {2n_{f {3 \right){\frac {g^{3 {16\pi ^{2 ~,$

أو

${\displaystyle \beta (\alpha _{s )=-\left(11-{\frac {n_{s {3 -{\frac {2n_{f {3 \right){\frac {\alpha _{s ^{2 {2\pi ~,$

تُخط من حيث ${\displaystyle \alpha _{s =g^{2 /4\pi$

إذا كان n_f ≤ 16,، عندها تملي الوظيفة بيتا الناتجة حتى ينقص الاقتران مع ازدياد مستوى الطاقة، وهي ظاهرة تُعهد باسم الحرية المتقاربة. بصورة معاكسة، يزداد الاقتران مع نقصان مستوى الطاقة. يعني هذا حتى الاقتران يصبح كبيرًا عند طاقة منخفضة، وعندها لا يمكن الاعتماد على نظرية الاضطراب.

نظرية المقياس اللاأبيلي

بينما تكون زمرة المقياس يانغ-ميلز للكروموديناميكا الكمومية هي ${\displaystyle SU(3)$ وتحدد ثلاثة ألوان، يمكننا التعميم على أي عدد من الألوان ${\displaystyle N_{c$ ، بزمرة قياس ${\displaystyle G=SU(N_{c )$ . عندها من أجل زمرة القياس هذه، وبوجود فيرميونات ديراك في تمثيل ${\displaystyle R_{f$ لـ ${\displaystyle G$ وفي تعددية معقدة في تمثيل تكون الوظيفة بيتا للحلقة الواحدة ${\displaystyle R_{s$ :

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11 {3 C_{2 (G)-{\frac {1 {3 n_{s T(R_{s )-{\frac {4 {3 n_{f T(R_{f )\right){\frac {g^{3 {16\pi ^{2 ~,$

حيث ${\displaystyle C_{2 (G)$ هي الكاسيمير التربيعي لـ ${\displaystyle G$ و ${\displaystyle T(R)$ هي كاسيمير آخر لا تغيري يُحدد بـ ${\displaystyle Tr(T_{R ^{a T_{R ^{b )=T(R)\delta ^{ab$ للمولدات ${\displaystyle T_{R ^{a,b$ في جبر لي في التمثيل R. (بالنسبة لفايل أوفيرميونات ماجورانا نستبدل ${\displaystyle 4/3$ بـ ${\displaystyle 2/3$ وللتعدادات الحقيقية نستبدل ${\displaystyle 1/3$ بـ ${\displaystyle 1/6$ ). بالنسبة لمجالات القياس (أي الغلونات) الضرورية للقرين ${\displaystyle G$ , ${\displaystyle C_{2 (G)=N_{c$ للفيرميونات في التمثيل الأساسي (أوغير الأساسي) لـ ${\displaystyle G$ ، . ${\displaystyle T(R)=1/2$ وبعد ذلك، من أجل الكروموديناميكا الكمومية إذ تكون ${\displaystyle N_{c =3$ ، تنخفض المعادلة أعلاه إلى المعادلة المسجلة لوظيفة بيتا في الكروموديناميكا الكمومية.

اشتُقت هذه النتيجة الشهيرة في وقت واحد تقريبًا في عام 1973 من قِبل بولتيزروغروس وويلكزك، والتي مُنح الثلاثة على إثرها جائزة نوبل في الفيزياء في عام 2004. دون فهم هؤلاء المؤلفين، أعرب جيرارد هوفت النتيجة في تعليق عقب حديث أجراه ك. سيمانزيك في اجتماع صغير في مرسيليا في يونيو1972، لكنه لم ينشر ذلك.

اقترانات هيغز-يوكاوا في النموذج المعياري

في النموذج المعياري، تحتوي الكواركات واللبتونات على اقترانات يوكاوا لبوزونات هيغز. تحدد هذه الاقترانات كتلة الجسيم. تُعد معظم اقترانات يوكاوا في الكواركات واللبتونات صغيرةً مقارنةً باقترانات يوكاوا للكواركات العليا. تغير اقترانات يوكاوا هذه على قيمها وفقًا لمقياس الطاقة الذي تُقاس به، من خلال التشغيل. تُحدد ديناميات اقترانات يوكاوا للكواركات بواسطة معادلة مجموعة إعادة التطبيع:

${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\partial \mu y\approx {\frac {y {16\pi ^{2 \left({\frac {9 {2 y^{2 -8g_{3 ^{2 \right)$

حيث ${\displaystyle y$

يُعد اقتران يوكاوا للكواركات العلوية والسفلية والساحرة والغريبة والدنيا، صغير الحجم على مستوى الطاقة المرتفع جدًا للتوحيد الكبير، ${\displaystyle \mu \approx 10^{15$ غيغا إلكرتون فولط. لذلك، يمكن إهمال الحد ${\displaystyle y^{2$ في المعادلة أعلاه. بحل هذه المعادلة، نجد حتى ${\displaystyle y$ يزداد قليلاً في مقاييس الطاقة المنخفضة التي تتكون فيها كتل الكواركات بواسطة بوزونات هيغز ${\displaystyle \mu \approx 100$ غيغا إلكترون فولط.

من ناحية أخرى، فإن حلول هذه المعادلة لقيم الأولية الكبيرة تجعل فضاء هيلبرت المزيف يقترب بسرعة من القيم الأصغر مع هبوطنا في مقياس الطاقة. تربط المعادلة أعلاه ${\displaystyle y$ اقترات الكروموديناميكا ${\displaystyle g_{3$ . يُعهد هذا بالنقطة شبه الثابتة (بالأشعة تحت الحمراء) لمعادلة مجموعة إعادة التطبيع للاقتران يوكاوا. بصرف النظر عن قيمة البداية الأولية للاقتران، إذا كانت كبيرة بما فيه الكفاية ستصل إلى قيمة النقطة شبه الثابتة، وعندها يمكن تسقط كتلة الكوارك اللقاءة.

تُحدد قيمة النقطة شبه الثابتة بشكل دقيق إلى حد ما في النموذج المعياري، ما يؤدي إلى كتلة كوارك أعلى متنبئ بها تبلغ 230 غيغا إلكترون فولط. كتلة الكواركات العلوية المرصودة البالغة 174 غيغا إلكترون فولط أقل قليلاً من تنبؤ النموذج المعياري بحوالي 30% ما يوحي بأنه قد يحدث هناك المزيد من مضاعفات هيغز تتجاوز بوزون هيغز الوحيد في النموذج القياسي الموحد.

النموذج المعياري فائق التناظر الصغري

كانت دراسات مجموعة إعادة التطبيع في النموذج المعياري فائق التناظر الصغري للتوحيد الكبير ونقاط هيجز-يوكاوا الثابتة مشجعة جدًا إذ اعتُقد حتى النظرية كانت على المسار السليم. ومع ذلك، لم يظهر أي مرشد على جسيمات النموذج المعياري فائق التناظر الصغري المتسقطة في التجربة في مصادم الهادرونات الكبير.

انظر أيضًا

بداهة كمية

مراجع

^ H.David Politzer (1973). "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?". Phys. Rev. Lett. 30: 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346. مؤرشف من الأصل في 15 يوليو2017.
^ D.J. Gross and F. Wilczek (1973). "Asymptotically Free Gauge Theories. 1". Phys. Rev. D. 8: 3633–3652. Bibcode:1973PhRvD...8.3633G. doi:10.1103/PhysRevD.8.3633. مؤرشف من الأصل في 11 أكتوبر 2019. .
^ G. 't Hooft (1999). "When was Asymptotic Freedom discovered?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74: 413–425. arXiv:hep-th/9808154. Bibcode:1999NuPhS..74..413T. doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8.
^ Pendleton, B.; Ross, G.G. (1981). "Mass and Mixing Angle Predictions from Infrared Fixed points". Phys. Lett. B98: 291. Bibcode:1981PhLB...98..291P. doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
^ Hill, C.T. (1981). "Quark and Lepton masses from Renormalization group fixed points". Phys. Rev. D24: 691. Bibcode:1981PhRvD..24..691H. doi:10.1103/PhysRevD.24.691.