تحول الموجة الكروية

تتخذ تحولات الموجة الكروية شكل الموجات الكروية بالإضافة إلى قوانين البصريات وثابت الكهروديناميكا في جميع الأُطر القصورية. عرَّفها هاري باتمان وإبنيزر كانينغام في الفترة بين 1908 و1909فسمى باتمان التحولات باسمه. تتوافق مع المجموعة الامتثالية من «تحولات أنصاف الأقطار المتبادلة» فيما يتعلق بهندسة كرة لي، المعروفة سابقًا في القرن التاسع عشر. يستخدم الزمن كبعد رابع كما في فضاء منكوفسكي، ولهذا تتصل تحولات الموجة الكروية بتحول لورنتز للنسبية الخاصة، ويتضح حتى المجموعة الامتثالية للزمكان تضم مجموعة لورنتز بحيث تكون مجموعة بوانكاريه مجموعة فرعية. مع ذلك، تمثل مجموعات لورنتز/بوانكاريه فقط التماثلات في جميع قوانين الطبيعة بما فيها الميكانيكا. بالإضافة إلى ذلك، قد يظهر حتى المجموعة الامتثالية للمستوى (اللقاءة لمجموعة موبيوس عن مستوى العقدية الممتد) متماثلة مع مجموعة لورنتز.

حالة خاصة من هندسة كرة لي هي التحول عبر الاتجاهات المتبادلة أوانعكاس لاغير، فهومولد مجموعة لاغير. إنه لا يحول فقط الكرات إلى الكرات بل يحول أيضًا المستويات إلى مستويات. أشار الكثير من المؤلفين مثل باتمان أوكارتان أوبوانكاريه إلى تماثل وثيق مع تحول لورنتز بالإضافة إلى التماثل مع مجموعة لورنتز إذا استُخدم الزمن كبعد رابع.

التحول عبر أنصاف الأقطار المتبادلة

التطور في القرن التاسع عشر

أول من ناقش الانعكاسات المحافظة على الزوايا بين الدوائر هودوراند (1820) وكيتيليت (1827) وبلوكر (1828) حيث خطوا صياغة التحولات اللقاءة k على أنها نصف قطر الانعكاس:

${\displaystyle x^{\prime ={\frac {k^{2 x {x^{2 +y^{2 ,\quad y^{\prime ={\frac {k^{2 y {x^{2 +y^{2$

أُطلق على هذه الانعكاسات فيما بعد «التحولات عبر أنصاف الأقطار المتبادلة»، وزادت شهرتها عندما طبقها طومسون (1845، 1847) على الكرات ذات الإحداثيات إكس واي زد على مسار تطوير وسيلة الانعكاس في الكهروستاتيكا. أوضح جوزيف ليوفيل معناها الرياضي من خلال توضيح أنها تنتمي إلى التحولات الامتثالية مقدمةً الشكل التربيعي التالي:

${\displaystyle \delta x^{\prime 2 +\delta y^{\prime 2 +\delta z^{\prime 2 =\lambda \left(\delta x^{2 +\delta y^{2 +\delta z^{2 \right)$

أوضح بدرجة أكبر جميع من ليوفيل نفسه وسوفاس لي (1871) حتى مجموعة الامتثال المعنية يمكن اشتقاقها (مبرهنة ليوفيل): على سبيل المثال ${\displaystyle \lambda =1$ يتضمن المجموعة الإقليدية من الحركات العادية؛ ${\displaystyle \lambda \neq 1$ تحولات القياس أوالتماثل حيث تُضرب إحداثيات التحولات السابقة في ${\displaystyle {\sqrt {\lambda$ و ${\displaystyle \lambda =k^{4 /\left(x^{2 +y^{2 +z^{2 \right)^{2$ يعطي تحول طومسون عبر أنصاف الأقطار المتبادلة (انعكاس):

${\displaystyle x^{\prime ={\frac {k^{2 x {x^{2 +y^{2 +z^{2 ,\quad y^{\prime ={\frac {k^{2 y {x^{2 +y^{2 +z^{2 ,\quad z^{\prime ={\frac {k^{2 z {x^{2 +y^{2 +z^{2$

وبالتالي، جعل لي (1871) وآخرون مثل داربوكس (1878) مبرهنة ليوفيل تمتد إلى n من الأبعاد:

${\displaystyle \delta x_{1 ^{\prime 2 +\dots +\delta x_{n ^{\prime 2 =\lambda \left(\delta x_{1 ^{2 +\dots +\delta x_{n ^{2 \right)$

تحافظ هذه المجموعة من التحولات الامتثالية عبر أنصاف الأقطار المتبادلة على الزوايا وتحول الكرات إلى كرات أوإلى كرات مفرطة (انظر تحول موبيوس). إنها مجموعة من ستة بارامترات في المستوى R2 الذي يتوافق مع مجموعة موبيوس للمستوى المعقد الممتد، مجموعة مكونة من عشرة بارامترات في الفضاء R3 ومجموعة ذات 15 باراميتر في R4. يمثل في R2 فقط جزءً بسيطًا من جميع التحولات الامتثالية الموجودة، بينما في R2+nقد يكون مطابقًا لمجموعة جميع التحولات الامتثالية في ذلك (لقاءة لتحولات موبيوس في الأبعاد الأعلى)، وفقًا لنظرية ليوفيل. كانت التحولات الامتثالية في R3 غالبًا ما تُطبق على ما أطلق عليه داربوكس «الإحداثيات خماسية التكور» (1873) من خلال ربط النقاط بالإحداثيات المتجانسة المعتمدة على خمس كرات.

الكرات الموجهة

كانت هناك وسيلة أخرى لحل مثل مشكلات الكرة هذه وهي تدوين الإحداثيات مع نصف قطر الكرة. لي هومن عمل هذا (1871) في سياق هندسة الكرة للي التي تمثل إطارًا عامًا لتحولات الكرة (لكونها حالة خاصة من تحولات الاتصال) وتحافظ على خطوط الانحناء وتحول الكرات إلى كرات. تمتد المجموعة المذكورة سالفًا -ذات العشرة بارامترات في R3 المتعلقة بالإحداثيات خماسية الكرات- إلى مجموعة تحولات كرة لي ذات البارامترات الخمسة عشر المرتبطة ب «الإحداثيات سداسية الكرات» (سماها كلين في عام 1893) من خلال إضافة إحداثي سادس متجانس مرتبط بنصف القطر.

مصادر

^ Darboux (1872), p. 282

المراجع

^ Kastrup (2008)
^ Walter (2012)
^ Warwick (1992), (2012)
^ Kastrup (2008), p. 22
^ Cartan (1915), pp. 39–43
^ Coolidge (1916), p. 422, ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(x-x')^{2 +(y-y')^{2 +(z-z')^{2 +(r-r')^{2$ is the invariant distance between two points in R⁴.
^ Klein & Blaschke (1926), pp. 253-262
^ Blaschke (1929), Chapter 4
^ Kunle and Fladt (1970), p. 481
^ Benz (1992), Chapter 3.17
^ Kastrup (2008), section 2.2
^ Kastrup (2008), section 2.3
^ E. Müller (1910), pp. 706-712
^ Kastrup (2008), section 2.4
^ Fano (1907), p. 316