تتسم رياضيات النسبية العامة بالتعقيد. إذ حتى قوانين الحركة الكلاسيكية تفترض حتى كلًا من أبعاد الأجسام ومعدل مرور الأزمنة يظل ثابتًا أثناء تسارع الجسم، مما يعني حتى معظم مسائل الميكانيكا الكلاسيكية يمكن حلها باستخدام الجبر فقط. أما نظرية النسبية فهي تنص على حتى كلًا من أبعاد الأجسام ومعدل مرور الأزمنة يتغير بدرجة إشارة حدثا اقتربت سرعة الجسم الخاضع للدراسة من سرعة الضوء. ونتيجة لذلك تقتضي النسبية العامة استخدام بعض المفاهيم الرياضية المتقدمة مثل المتجهات، والموترات، والموترات الزائفة، والإحداثيات المنحنية.

المتجهات والموترات

المتجهات

في مجالات الرياضيات والفيزياء والهندسة، يُعهد المتجه الإقليدي (ما يُدعى أحيانًا المتجه الهندسي، أوالمتجه المكاني، أوالمتجه) بأنه شكل هندسي له مقدار (أوطول) واتجاه. أي حتى المتجه هوالعنصر اللازم لحمل النقطة A والانتنطق بها إلى النقطة B؛ إذ تشير حدثة «vector» في اللاتينية إلى «الشخص الذي يقوم بحمل الأمور». مقدار المتجه يساوي المسافة بين النقطتين ويشير الاتجاه إلى اتجاه الحركة من النقطة A إلى B. تقترن الكثير من العمليات الجبرية على الأعداد الحقيقية (مثل الجمع، والطرح، والضرب، والنفي) بمفاهيم مماثلة للمتجهات بدرجة كبيرة، وهي تتبع قوانين الجبر المألوفة: الخاصية التبادلية، والتجميعية، والتوزيعية.

الموترات

يمكن اعتبار الموترات امتدادًا لمفهوم المتجهات، بمعنى أنها مقترنة باتجاهات متعددة وليس اتجاهًا واحدًا. إذ تظهر الكميات القياسية (غير المتجهة) على صورة نقطة واحدة على الرسم البياني؛ شكل عديم الأبعاد. بينما يظهر المتجه (الذي يتكون من مقدار واتجاه) في الرسم البياني على صورة خط؛ شكل أحادي الأبعاد. يمكن اعتبار المتجه موترًا من الرتبة الأولى نظرًا إلى أنه مقترن باتجاه واحد. بينما يتكون الموتر من الرتبة الثانية من مقدارين واتجاهين، وهويظهر في الرسم البياني على صورة خطين مشابهين لعقارب الساعة. أي حتى رتبة الموتر هي عدد الاتجاهات التي يحتويها الموتر، وهي مستقلة عن الأبعاد الخاصة بكل اتجاه بمفرده. يمكن تمثيل موتر من الرتبة الثانية في سطح ثنائي الأبعاد بواسطة مصفوفة 2x2، وفي فضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة مصفوفة 3x3، ولكن في كلتا الحالتين تظل المصفوفة التي تمثل الموتر من الرتبة الثانية مصفوفة مربعة. بينما يحتوي الموتر من الرتبة الثالثة على ثلاثة مقادير وثلاثة اتجاهات، ويمكن تمثيله في الفضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة مصفوفة «مُكعبة» (أي مصفوفة ثلاثية الأبعاد) 3x3x3، وهلم جرًا.

تطبيقات

تلعب المتجهات دورًا أساسيًا في العلوم الفيزيائية. إذ أنها تُستخدم في تمثيل الكميات التي تحتوي على مقدار واتجاه، مثل السرعة المتجهة التي تتكون من مقدار السرعة واتجاهها. على سبيل المثال يمكن تمثيل «سرعة مقدارهاخمسة م/ث إلى الأعلى» في سطح ثنائي الأبعاد بواسطة المتجه (0, 5) (ذلك إذا اعتبرنا حتى محور y الموجب يشير إلى الأعلى). من بين الأمثلة الأخرى على الكميات التي يمكن تمثيلها بواسطة المتجهات: القوة، إذ أنها تتكون من مقدار واتجاه. تصف المتجهات الكثير من الكميات الفيزيائية الأخرى مثل الإزاحة، والتسارع، والزخم، والزخم الزاوي. تُمثل المتجهات الفيزيائية الأخرى، مثل المجالات الكهربية والمغناطيسية، على صورة نظام من المتجهات الواقعة عند جميع نقطة من نقاط الفضاء الفيزيائي؛ أوبعبارة أخرى، حقل اتجاهي.

تُستخدم الموترات هي الأخرى في تطبيقات واسعة في الفيزياء، مثل:

• الموتر الكهرومغناطيسي (أوموتر فارادي) في الفيزياء الكهرومغناطيسية
• موترات التشوه المحدود التي تصف التشوهات الميكانيكية، وموتر الانفعال لوصف الانفعال في ميكانيكا الأوساط المتصلة
• تُخط السماحية الكهربية والقابلية الكهربية على صورة موترات في الأوساط اللامتناحية
•  موتر الإجهاد–الطاقة في النسبية العامة، يُستخدم في تمثيل تدفقات الزخم
•  مؤثرات الموتر الكروي هي الدوال الذاتية لمؤثر الزخم الزاوي الكمي في الإحداثيات الكروية
• يمثل موتر الانتشار (الأساس الذي تقوم عليه تقنية التصوير بموتر الانتشار) معدلات الانتشار المتنوعة في البيئات البيولوجية

الأبعاد

تقتضي النسبية العامة استخدام المتجهات رباعية الأبعاد، أوما يُعهد بالمتجه الرباعي. تلك الأبعاد الأربعة هي: الطول، والارتفاع، والعرض، والزمن. تمثل «النقطة» في ظل هذه الظروف حدثًا، إذ أنها تحتوي على مكان وزمان في نفس الوقت. وبشكل مشابه للمتجهات، يجب حتى تكون الموترات رباعية الأبعاد في سياق النسبية. ومن بين الأمثلة على ذلك موتر انحناء ريمان.

تحويل إحداثي

في سياق الفيزياء والرياضيات، تُخط المتجهات في العادة على صورة قائمة من الأعداد تعتمد قيمها على نظام إحداثي مساعد أوإطار مرجعي. تتغير قيم تلك المركبات نتيجة لتحول الإحداثيات عن طريق تدوير أومط نظام الإحداثيات على سبيل المثال. لا تؤثر عملية التحويل في المتغير نفسه بل في الإطار المرجعي، مما يؤدي إلى تغير قيم مركبات المتجه التي تمثل الكميات المقاسة بالنسبة للإطار المرجعي.

تُوصف المتجهات بأنها متغيرة توافقيًا أومتغيرة عكسيًا على حسب نوع العلاقة بين تحول الإحداثيات وتحول مركبات المتجه.

• تُقاس المتجهات المتغيرة عكسيًا بوحدة المسافة (مثل متجه الإزاحة)، أووحدة المسافة مضروبة في أي وحدة أخرى (مثل متجه السرعة والتسارع). إذ تتحول مركباتها بشكل معاكس لتحول نظام الإحداثيات. على سبيل المثال، إذا حولنا الوحدة المستخدمة من المتر إلى وحدة أصغر مثل الملليمتر، فستزداد قيم مركبات المتجهات (1 م يفترض أن تتحول إلى 1000 مم).
•  أما المتجهات المتغيرة توافقيًا فهي تُقاس بوحدة معكوس المسافة (مثل مؤثر التدرج) وهي تتحول بشكل مشابه لتحول نظام الإحداثيات. على سبيل المثال إذا حولنا الوحدة المستخدمة من متر إلى ملليمتر فسوف يقل العدد الذي يعبر عن قياس التدرج: أي حتى 1 K/m يفترض أن تصبح 0.001 K/mm.

في نظام ترميز أينشتاين، يُرمز إلى المتجهات والمركبات والموترات المتغيرة عكسيًا برموز ذات حروف علوية (مثل xⁱ)، بينما يُرمز إلى المتجهات والمركبات والموترات المتغيرة توافقيًا برموز ذات حروف سفلية (مثل x_i). يمكن «حمل» أو«إنزال» تلك الرموز عن طريق الضرب في مصفوفة مناسبة، وهي عادة ما تكون مصفوفة الوحدة.

للتحويلات الإحداثية أهمية كبرى نظرًا إلى حتى النسبية تنص على عدم تفضيل نقطة مرجعية (أومنظور) على أخرى. عملى سطح الأرض لدينا نظام أبعاد نستخدمه للتنقل في جميع أراتى الكوكب (شمال، وشرق، وإلى أعلى)، بينما يفتقر الفضاء الخارجي إلى مثل هذا النظام. ونتيجة لعدم وجود إحداثيات ثابتة مُتفق عليها، من الأدق حتى نصف الأبعاد الأربعة بدلالة: إلى/عن، ويمينًا/يسارًا، وأعلى/أسفل، وفي الماضي/في المستقبل. على سبيل المثال، إذا تصورنا حتى الأرض جسم ثابت لا يتحرك، أين ومتى سقط إعلان الاستقلال الأمريكي،يا ترى؟ بالنسبة لشخص ما في الوقت الحاضر أعلى جبل رينيه ينظر باتجاه الشرق، فإن هذا الحدث يقع أمامه، يمينًا، إلى الأسفل، في الماضي. أما بالنسبة لشخص ما في إنجلترا في العصور الوسطى ينظر باتجاه الشمال، فإن هذا الحدث يقع خلفه، يسارًا، في نفس مستوى الارتفاع، في المستقبل. لم يطرأ أي تغيير على الحدث نفسه، ولكن مسقط المراقب تغير.

المحاور المائلة

النظام الإحداثي المائل هونظام إحداثي لا تتعامد محاوره على بعضها بالضرورة؛ أي أنها تتقاطع بزاوية غير قائمة. إذا طبقنا التحويلات الإحداثية كما ذكرنا في الأعلى فستبدومحاور النظام الجديد مائلة بدرجة أكبر مقارنةً بالنظام القديم.

انظر أيضًا

• هندسة ريمانية
• هندسة تفاضلية

مراجع