دالة

مخطط التابع

{\displaystyle {\begin{aligned &\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3 -6x^{2 +1){\sqrt {x+1 {3-x \end{aligned

تمثيل بياني لدالة

رمز للدالة بشكل عام

في الرياضيات، الدالة (الجمع: دَوَالّ) أوالتابع أوالاقتران (بالإنجليزية: Function)‏ هي كائن رياضي يمثل علاقة تربط جميع عنصر من مجموعة تدعى المنطلق أومجموعة الانطلاق أوالمجال ${\displaystyle Y\!$

ينتج عن هذا التعريف عدة أمور أساسية:

لكل تابع مجموعة منطلق (أونطاق) غالبا ما تدعى ${\displaystyle X\!$ .
لكل تابع مجموعة مستقر (أونطاق مرافق) غالبا ما تدعى ${\displaystyle Y\!$ .
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق ${\displaystyle X\!$ حتى يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر ${\displaystyle Y\!$ .
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر ${\displaystyle Y\!$ حتى يرتبط بعنصر واحد أوأكثر من مجموعة المنطلق ${\displaystyle X\!$ .

فاذا كان المنطلق (النطاق) هومجموعة القيم التي يمكن حتى يأخذها متغير مستقل ${\displaystyle x$ ، فإن المستقر أو(النطاق المرافق) هومجموعة القيم الممكنة لقيم دالة ${\displaystyle f(x)\!$ .

غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التيقد يكون مستقرها ${\displaystyle \mathbb {R$ (الدوال العددية)، أو ${\displaystyle \mathbb {C$ (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا جميع ما يحقق التعريف أعلاه.

الاقتران هوعلاقة يرتبط بها جميع عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى.

تعريف

بيان دالة حيث مجموعة الانطلاق X={1, 2, 3 ومجموعة الوصول Y={A, B, C, D , which is defined by the set of ordered pairs {(1,D), (2,C), (3,C) . The image/range is the set {C,D .

هذا البيان ممثلا مجموعة الأزواج {(1,D), (2,B), (2,C) ، لا يعهد دالةdefine a function. One reason is that 2 is the first element in more than one ordered pair, (2, B) and (2, C), of this set. Two other reasons, also sufficient by themselves, is that neither ثلاثة nor أربعة are first elements (input) of any ordered pair therein.

أمثلة

التمثيل البياني لدالة هومنحنى بياني حيث صورة فاصلة جميع نقطة منه تساوي ترتيبها فهذا التمثيل البياني للدالة

{\displaystyle f(x)=x^{2 -x-2\!

لتكن الدالة ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y,x\mapsto x^{2 \!$

أي حتى ${\displaystyle f(x)=x^{2 \!$

بأخد ${\displaystyle x=2$ نجد ${\displaystyle f(2)=4$ ، هنا بالتعريف أعلاه اختُصرت الدالة التربيعية بالحرف ${\displaystyle f\!$ . عندئذ نجد حتى العنصر ${\displaystyle x=2$ من المنطلق يرتبط بالعنصر ${\displaystyle y=4$ من المستقر فقط. العنصر ${\displaystyle x=-2$ من المنطلق (أوالمجال) ${\displaystyle X\!$ يرتبط بالعنصر ${\displaystyle y=4$ فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر ${\displaystyle y=4$ من المستقر حتى يرتبط بعنصرين ${\displaystyle x=2$ و ${\displaystyle x=-2$ من المنطلق في حين حتى أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية.

باللقاء ${\displaystyle \mathrm {Root (x)=\pm {\sqrt {x$ ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل ${\displaystyle x$ بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد ${\displaystyle 9$ قد يحتمل قيمتين هما ${\displaystyle 3$ و ${\displaystyle -3$ . لهذا، إذا أردنا حتى نجعل الجذر التربيعي دالة فيجب حتى نحدد أي جذر نختار، السالب أم الموجب. التعريف

${\displaystyle \mathrm {Posroot (x)={\sqrt {x ,\quad \forall x\geq 0$ ،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرجا واحدا فقط هوالجذر التربيعي الموجب.

${\displaystyle f(2)=2\cdot 2=4$

مصطلحات

مجال الدالة

مجال دالة أومجموعة تعريفها هومجموعة جزئية من المنطلق حيث الدالةُ فهمٌ. أي حيث الدالة تربط حتميا العنصر بمجموعة الانطلاق بعنصر من مجموعة الوصول. على سبيل المثال، دالة الجذر التربيعي لا تعهد إلا على الأعداد الموجبة. إذن مجموعة انطلاق هذه الدالة هي ℝ بينما مجالها فهوℝ+.

مدى الدالة

مدى دالة هومجموعة القيم العملية للدالة f. مدى الدالة هومجموعة القيم المحتمل خروجها ناتجا للدالة بعد التعويض بالقيم الخاصة بمجال الدالة فمثلا f(x)=y=4x+1 فان هذه الدالة تتكون من مجال يمثل جميع قيم x الممكنة اما مدى الدالة فهويمثل جميع قيم y المحتمل خروجها ناتجا للتعويض في هذه الدالة.

ويفضل عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد مجموعة جزئية من المستقر.

ما الدالة وما التطبيق ؟

عادة ما تسمى الدالة تطبيقا، ولكن هناك من الكتاب والفهماء من يضع فرقا بينهما. على سبيل المثال، فهناك من يعهد التطبيق دالةً إضافة إلى عدد من البُنى الخاصة.

انظر إلى نظام تحريكي وإلى تطبيق بوانكاري.

أنوع الدوال

هناك أنواع عديدة من الدوال.

الدوال الزوجية والدوال الفردية

إذا كانت دالة ما تعطي نفس النتيجة عندما تطبق على العدد وعلى لقاءه، فإن هذه الدالة تسمى دالة زوجية. وإذا كانت تعطي قيمةً ما عندما تُطبق على عدد ما وتعطي لقاء هذه القيمة عندما تطبق على لقاء هذا العدد، فإن هذه الدالة تسمى دالة فردية.

الدوال الشمولية والدوال التباينية والدوال التقابلية

تكون دالة ما تقابلا، وقد ينطق دالة تقابلية إذا كانت في آن واحد شمولية وتباينية. أما الدالة الشمولية فهي دالة تضمن وجود سابق لكل عنصر من عناصر مجموعة الوصول. وأما الدالة التباينية فهي جميع دالة تضمن الاختلاف عند اختلاف المداخل.

إذا كانت الدالة f تقابلا، فإن لها دالة الدالة العكسية مجموعة انطلاقها هي مجموعة وصول الدالة f، ومجموعة وصولها هي مجموعة انطلاق f.

الدوال التزايدية والدوال التناقصية والدوال الرتيبة

الدوال التزايدية هن دوال تكبر قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها والدوال التناقصية فهن دوال تنقص قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها. وأما الدوال الرتيبة فهن الدوال اللائي يحافظن على ترتيب ما، أي أنهن إما تزايدية أوتناقصية وليس الصفتين معا.

الدوال الحقيقية والدوال المركبة

الدالة المركبة والدالة التحليلية

المتتاليات

إذا كانت مجموعة انطلاق دالة ما مجموعة الأعداد السليمة الطبيعية، فإن هذا الدالة تسمى متتالية.

الداول الذاتية الاستنادىء

هي دوال يُحتاج في تعريفها إلى استنادىء الدالة ذاتها، دالة العاملي مثالا.

أنواع أخرى

والدالة الثابتة والدالة المستمرة والدالة الضمنية والدالة الأسية والدالة الصريحة والدالة المتطابقة.

تاريخ

صاغ مصطلح «function» بالإنكليزية العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.

تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.

معرض صور

مراجع

^ MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra (الطبعة First). New York: Macmillan. صفحات 1–13.
^ Heins, Maurice (1968). . Academic Press. صفحة 4. مؤرشف من الأصل في 24 يناير 2020.
^ Apostol, Tom (1967). . John Wiley. صفحة 53. ISBN . مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019.