الموسيقى والرياضيات
عودة للموسوعةنظرية الموسيقى ليس لديها أسس بديهية أومُسَلَّمَات في الرياضيات الحديثة، ومع ذلك يمكن وصف أساس الصوت الموسيقي رياضيا (في فهم الصوتيات) بحيث يعرض "مجموعة رائعة من خصائص الأعداد". عناصر الموسيقى من الشكل، والإيقاع، والمتر، وطبقات النوتات ووتيرة نبضها يمكن حتى تكون مرتبطة بقياس الوقت والتردد، وتقدم نظائر جاهزة في الهندسة.
أدت محاولة إنشاء طرق جديدة لهجريب الموسيقى وسماعها والتواصل معها إلى تطبيقات موسيقية لنظرية المجموعات والجبر التجريدي ونظرية الأعداد. قام بعض الملحنين بدمج النسب المضىية وأعداد فيبوناتشي في عملهم.
التاريخ
على الرغم من حتى الصينيين والهنود والمصريين وبلاد ما بين النهرين قد درسوا المبادئ الرياضية للصوت، فإن الفيثاغوريين (ولا سيما فيلولاوس وأرخيتاس) في اليونان القديمة كانوا أول باحثَيْن عُرِفَ أنهم حققوا في التعبير عن المقاييس الموسيقية من حيث النسب العددية، ولا سيما نسب الأعداد السليمة الصغيرة. كان ممضىهم المركزي هوحتى "الطبيعة كلها تتكون من انسجام ناشئ عن أعداد".
منذ زمن أفلاطون، كان التناغم يُعتبر فرعًا أساسيًا للفيزياء، يُعهد الآن باسم الصوتيات الموسيقية. يُظهر منظِّروالهنود والصين الأوائل مناهِج مماثلة: سعى الجميع إلى إظهار حتى القوانين الرياضية للتوافقيات والإيقاعات كانت أساسية، ليس فقط لفهمنا للعالم انما أيضاً لرفاهية الإنسان. كونفوشيوس، مثل فيثاغورس، اعتبر الأعداد الصغيرة 1,2،3,4 مصدراً لكل الكمال.
الوقت والإيقاع والمتر
بدون حدود الهجريب الإيقاعي - وهوترتيب أساسي متساوٍ ومنتظم لتكرار النبض واللكنة والعبارة والمدة - لن تكون الموسيقى ممكنة. الاستخدام الموسيقي الحديث لمصطلحات مثل المترِ (أي الأنماط واللكنات المتكررة) والميزان يعكس أيضًا الأهمية التاريخية للموسيقى، جنبًا إلى جنب مع فهم الفلك، في تطوير العد والحساب والقياس الدقيق للوقت والتردد الأساسي للفيزياء.
غالبًا ما تبني عناصر الشكل الموسيقي أوالصيغة الموسيقية أبعاداً صارمة دقيقة أوهياكل متشابهة (قوى الرقمين 2 و3).
شكل موسيقي
الشكل الموسيقي هوالخطة التي يتم من خلالها تمديد بترة قصيرة من الموسيقى. يستخدم مصطلح "الخطة" أيضًا في الهندسة المعمارية، والتي غالباً ما يتم مقارنة الشكل الموسيقي بها. مثل المعماري، يجب على الملحن حتى يأخذ في الاعتبار الوظيفة التي يهدف العمل من أجلها والوسائل المتاحة وممارسة الاقتصاد والاستفادة من التكرار والترتيب. تُظهر الأنواع الشائعة من الأشكال المعروفة بإسم "الثنائية" و"الثلاثية" مرة أخرى أهمية القيم الصغيرة في وضوح الموسيقى وجاذبيتها.
التردد والانسجام
السُّلم الموسيقي تعبير عن مجموعة منفصلة من الدرجات الموسيقية المستخدمة في خلق الموسيقى أووصفها. السلم الموسيقي الأكثر أهمية في التنطقيد الغربية هو"diatonic scale" لكن تم استخدام مقاييس أخرى كثيرة في عصور تاريخية مختلفة وأجزاء من العالم. جميع درجة تقابل تردد معين، معبراً عنه بالهرتز (Hz)، يشار إليه أحيانًا بدورات في الثانية (cps). السلم له فاصل زمني من التكرار، عادة ماقد يكون الأوكتاف. يشير اوكتاف أي درجة إلى تردد مرتين بالضبط لهذه الدرجة.
النجاحات في الموجات فوق الصوتية هي نوتات موجودة عند الترددات أربعة وثمانية وستة عشر مرة، وما إلى ذلك، من التردد الأساسي. تسمى النوتات أوالدرجات الموسيقية على ترددات نصف، وربع، وثمانية، وما إلى ذلك من الأساسيات، أوكتافات فرعية. لا توجد حالة في التناغم الموسيقي حيث إذا اعتبرت درجة معينة من التوافق، تعتبر أوكتافاتها غير ذلك. لذلك، عادةً ما يتم العثور على أي نوتة أونغمة وأوكتافاتها بشكل مشابه في الأنظمة الموسيقية (على سبيل المثال، سيتم تسمية جميع شيء باسم doh أوA أوSa ، حسب الحالة).
عند التعبير عن عرض النطاق الترددي، يمتد أوكتاف A 2 –A 3 من 110 هرتز إلى 220 هرتز (الامتداد = 110 هرتز). الاوكتاف التالي يمتد من 220 هرتز إلى 440 هرتز (الامتداد = 220 هرتز). يمتد الاوكتاف الثالث من 440 هرتز إلى 880 هرتز (الامتداد = 440 هرتز) وهلم جرا. يمتد جميع أوكتاف متتالي إلى ضعف نطاق التردد الخاص بأوكتاف سابق.
نظرًا لأننا مهتمون غالبًا بالعلاقات أوالنسب بين النوتات (المعروفة بالفواصل الزمنية ) بدلاً من النوتات الدقيقة نفسها في وصف السلم، فمن المعتاد الإشارة إلى جميع درجات السلم من حيث نسبتها من درجة معينة، والتي يتم إعطاء قيمة واحدة (غالبًا ما تتم كتابتها 1/1 )، وبشكل عام النوتة تعمل كمنشط أوقرار للسلم أوالمقام الموسيقي. للمقارنة بين حجم الفاصل، وغالبا ما تستخدم سنتا (cents).
نصف تون | النسبة | الفترة | طبيعي | نصف خطوة |
---|---|---|---|---|
0 | 1: 1 | انسجام | 480 | 0 |
1 | 16:15 | نصف طفيفة | 512 | 16:15 |
2 | 9: 8 | الثانية الكبرى | 540 | 135: 128 |
3 | 6: 5 | طفيفة الثالثة | 576 | 16:15 |
4 | 5: 4 | الرئيسية الثالثة | 600 | 25:24 |
5 | 4: 3 | الرابعة كاملة | 640 | 16:15 |
6 | 45:32 | تريتون سلم موسيقي | 675 | 135: 128 |
7 | 3: 2 | الخامس الكامل | 720 | 16:15 |
8 | 8: 5 | السادس طفيفة | 768 | 16:15 |
9 | 3: 5 | السادس الكبرى | 800 | 25:24 |
10 | 9: 5 | القاصر السابع | 864 | 27:25 |
11 | 15: 8 | السابعة الكبرى | 900 | 25:24 |
12 | 2: 1 | اوكتاف | 960 | 16:15 |
الضبط الفيثاغوري يعتمد فقط على التوافق التام، أوكتاف (مثالي)، خامس، رابع مثالي. وبالتالي فإن الثلث الرئيسي لا يعتبر ثلثًا ولكنه ديتون، حرفيًا "نغمتان" ، وهو(9: 8) 2 = 81:64 ، بدلاً من المستقل والتوافقي فقط 5: أربعة = 80:64 أدناه مباشرة. النغمة بأكملها هي فاصل ثانوي، مشتق من أخمسي الكمال، (3: 2) 2 = 9: 8.
تناغم المزاجية المتساوية
في الحالة المزاجية المتساوية، ينقسم الأوكتاف إلى أجزاء متساوية على مقياس لوغاريتمي. في حين أنه من الممكن بناء مقياس مزاج متساوٍ مع أي عدد من النوتات (على سبيل المثال، نظام النغمات العربية ذو24 نغمة)، فإن الرقم الأكثر شيوعًا هو12، والذي يشكل مقياس لوني متساوي المزاج. في الموسيقى الغربية، يُفترض عادةً التقسيم إلى اثني عشر فاصلًا ما لم يتم تحديد خلاف ذلك.
بالنسبة إلى المقياس اللوني، يتم تقسيم الأوكتاف إلى 12 جزءًا متساويًا، جميع نصف نغمة (نصف درجة) هوالفاصل الزمني للجذر الثاني عشر لخطوتين بحيث تضيف اثنا عشر من هذه المراحل النصفية المتساوية إلى أوكتاف بالضبط. باستخدام الأدوات المقلقة، من المفيد جدًا استخدام مزاج (temperament) متساوٍ بحيث ينتقل التوتر بالتساوي عبر الأوتار. في التقليد الموسيقي الأوروبي، تم استخدام مزاج مساولموسيقى العود والإيتار في وقت أبكر بكثير من الآلات الموسيقية الأخرى، مثل لوحات المفاتيح الموسيقية. بسبب هذه القوة التاريخية، أصبح الآن مزاجه المتساوي الإثني عشر نغمة هونظام التجويد السائد في العالم الغربي، وفي كثير من دول العالم غير الغربي.
وصلات رياضية
نظرية المجموعات
تستخدم نظرية المجموعات الموسيقية لغة نظرية المجموعات الرياضية بطريقة أولية لتنظيم الأمور الموسيقية ووصف علاقاتها. لتحليل بِنية بترة من الموسيقى (عادةً ال atonal) باستخدام نظرية المجموعة الموسيقية، يبدأ الفرد عادةً بمجموعة من النغمات التي قد تشكل دوافع أوعصب. من خلال تطبيق عمليات بسيطة مثل التبديل والانقلاب، يمكن للمرء اكتشاف هياكل عميقة في الموسيقى. وتسمى العمليات مثل التحول والانعكاس متساوي القياس لأنها تحافظ على الفواصل الزمنية بين النغمات في المجموعة.
الجبر المجرد
للتوسع في أساليب نظرية المجموعة الموسيقية، استخدم بعض المنظرين الجبر المجرد لتحليل الموسيقى. على سبيل المثال، تشكل فصول الملاعب في أوكتاف مقسّم بالتساوي مجموعة أبيلية تضم 12 عنصرًا. من الممكن وصف "التجويد فقط" من خلال زمرة أبيلية حرة.
نظرية التحول هي فرع من نظرية الموسيقى التي وضعها ديفيد لوين. تسمح النظرية بعمومية رائعة لأنها تؤكد على التحولات بين الكائنات الموسيقية، بدلاً من الكائنات الموسيقية نفسها.
اقترح المنظرون أيضًا تطبيقات موسيقية ذات مفاهيم جبرية أكثر تطوراً. تم تطوير نظرية المزاجات العادية على نطاق واسع مع مجموعة واسعة من الرياضيات المعقدة، على سبيل المثال عن طريق ربط جميع مزاج منتظم مع نقطة عقلانية على Grassmannian .
انظر أيضا
- الفاصل الزمني (الموسيقى)
- الجسر الثالث (الرنين التوافقي القائم على أقسام السلسلة المتساوية)
- لعبة حبة الزجاج
- مقياس غير فيثاغوري
- الإغفال والعظمة
- إيقاعات إقليدية ( إيقاعات موسيقية تقليدية تتولد عن خوارزمية إقليدس )
- ضربات
المراجع
- ^ Reginald Smith Brindle, The New Music, Oxford University Press, 1987, pp 42-3
- ^ Reginald Smith Brindle, The New Music, Oxford University Press, 1987, Chapterستة passim
- ^ "Eric - Math and Music: Harmonious Connections". مؤرشف من الأصل في ثلاثة فبراير 2020.
- ^ Alain Danielou, Introduction to the Study of Musical Scales, Mushiram Manoharlal 1999, Chapter 1 passim.
- ^ Sir James Jeans, Science and Music, Dover 1968, p. 155.
- ^ Arnold Whittall, in The Oxford Companion to Music, OUP, 2002, Article: Rhythm
- ^ "Александр Виноград, Многообразие проявлений музыкального метра (LAP Lambert Academic Publishing, 2013)". مؤرشف من الأصل في 12 ديسمبر 2019.
- ^ Imogen Holst, The ABC of Music, Oxford 1963, p.100
- ^ "Algebra of Tonal Functions". مؤرشف من الأصل في 12 نوفمبر 2018.
- ^ "Harmonic Limit". مؤرشف من الأصل فيعشرة يوليو2019.
روابط خارجية
- قاعدة بيانات لجميع المقاييس الموسيقية 2048 الممكنة في 12 لاحظ مزاجه على قدم المساواة وغيرها من البدائل في التضبيط meanone
- بواسطة توماس فيوري
- اثني عشر نغمة مقياس الموسيقية.
- مقياس السونومتر أوالموسيقى كتخصص في الرياضيات.
- الموسيقى: عرض رياضي بقلم ديف بينسون .
- نيكولاس مركاتور استخدام نظرية النسب في الموسيقى عند التقارب
- منح هيرمان هيس للموسيقى والرياضيات دورًا مهمًا في تطوير لعبته Glass Bead.
- الانسجام والنسب. فيثاغورس، الموسيقى والفضاء .
- "الجبر الخطي والموسيقى"
- Notefreqs - جدول تام للترددات ونسب الملاحظات للميدي والبيانووالإيتار والباس والكمان. يتضمن قياسات الحنق (في سم وبوصة) لأدوات البناء.
- مناقشة الرياضيات والموسيقى ، إذاعة بي بي سي راديوأربعة مع ماركوس دوسوتوي، وروبن ويلسون وروث تاتلو( في عصرنا ، 25 مايو2006)
- صور وملفات صوتية من كومنز
التصنيفات: الرياضيات في موسيقى, الرياضيات والثقافة, الرياضيات والفن, مقالات يتيمة منذ يوليو 2019, جميع المقالات اليتيمة, جميع المقالات التي بحاجة لصيانة, جميع المقالات التي بها عبارات بحاجة لمصادر, مقالات ذات عبارات بحاجة لمصادر منذ أكتوبر 2015, بوابة رياضيات/مقالات متعلقة, بوابة موسيقى/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات