في الفيزياء، يشير الزخم الزاوي النسبي (بالإنجليزية: Relativistic angular momentum) إلى الصيغ الرياضية والمفاهيم الفيزيائية التي تعهد الزخم الزاوي في النسبية الخاصة والنسبية العامة. تختلف الكمية النسبية بشكل طفيف عن الكمية ثلاثية الأبعاد في الميكانيكا الكلاسيكية.

الزخم الزاوي هوكمية ديناميكية مشتقة من المسقط والزخم، وهوكمية مهمة؛ فالزخم الزاوي هومقياس «مقدار الحركة الدائرية» لجسم ما ومقاومته للتوقف عن الدوران. أيضًا، بنفس الكيفية التي يتوافق بها حفظ الزخم مع التناظر الانتنطقي، فإن حفظ الزخم الزاوي يتوافق مع التناظر الدوراني – تربط مبرهنة نويثر بين التناظر وقوانين الحفظ. في حين حتى هذه المفاهيم كانت مُكتشفة في الأصل في الميكانيكا الكلاسيكية – فهي أيضًا سليمة ومهمة في النسبية الخاصة والعامة. من ناحية الجبر التجريدي؛ تصف مجموعة لورنتز أومجموعة بوانكريه بشكل عام ثبات الزخم الزاوي، والزخم الرباعي، والتناظرات الأخرى في الزمكان.

يُجمع بين الكميات الفيزيائية التي تظل منفصلة في الفيزياء الكلاسيكية بشكل طبيعي في النسبية الخاصة والنسبية العامة من خلال فرض مسلمات النسبية. الجدير بالذكر؛ تتحد إحداثيات المكان والزمان في الموضع الرباعي، وتتحد الطاقة والزخم في الزخم الرباعي. تعتمد مكونات هذه المتجهات الأربعة على الإطار المرجعي المستخدم، وتتغير تحت تحويلات لورنتز إلى إطارات قصورية أخرى أوالإطارات المتسارعة.

الزخم الزاوي النسبي أقل وضوحًا. التعريف الكلاسيكي للزخم الزاوي هوالضرب الاتجاهي للموضع x مع الزخم p للحصول على متجه زائف x × p، أوبدلاً من ذلك كحاصل ضرب خارجي للحصول على موتر مضاد للتماثل من الدرجة الثانية x ∧ p. ما الذي يتحد معه هذا إذا عثر ما يتحد معه،يا ترى؟ هناك كمية متجهة أخرى لا تؤخذ بالنقاش كثيرًا – فما يؤيد مركز كتلة النظام هوالعزم المتغير بمرور الوقت للناقل القطبي الكامل (وليس عزم القصور الذاتي)، وهذا يتحد مع المتجه الزائف الكلاسيكي للزخم الزاوي لتشكيل موتر مضاد للتناظر من الدرجة الثانية، بنفس الكيفية تمامًا التي يتحد بها المتجه القطبي للمجال الكهربائي مع المتجه الزائف للمجال المغناطيسي لتشكيل موتر المجال الكهرومغناطيسي المضاد للتناظر. لتوزيعات الكتلة والطاقة الدوارة (مثل المدوارات والكواكب والنجوم والثقوب السوداء) بدلاً من الجسيمات النقطية، يُعبر عن موتر الزخم الزاوي بموتر الإجهاد-الطاقة للجسم الدوار.

في النسبية الخاصة وحدها، في إطار السكون لجسم دوار؛ هناك زخم زاوي داخلي مشابه لـ «اللف المغزلي» في ميكانيكا الكم وميكانيكا الكم النسبية، لكن بالنسبة لجسم ممتد بدلاً من جسيم نقطي. في ميكانيكا الكم النسبية، توجد خاصية اللف المغزلي للجسيمات الأولية وهذا يُعد مساهمة إضافية في مؤثر الزخم الزاوي المداري، مما يؤدي إلى إجمالي مؤثر موتر الزخم الزاوي. على أي حال، يمكن التعبير عن إضافة «اللف المغزلي» الجوهرية إلى الزخم الزاوي المداري لجسم ما من خلال متجه باولي-لوبانسكي الزائف.

تعريفات

الزخم الزاوي المداري ثلاثي الأبعاد

للمرجع والخلفية، يعطي الزخم الزاوي صيغتان متعلقتان بالأمر.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعهد الزخم الزاوي المداري للجسيم مع متجه الموضع اللحظي ثلاثي الأبعاد x) = x ، y ، z) ومتجه الزخم p_x) = p ، p_y ، p_z)، على أنه المتجه المحوري

${\displaystyle \mathbf {L =\mathbf {x \times \mathbf {p$

الذي يضم ثلاثة مكونات يعطيها التبديل الدائري للاتجاهات الكارتيزية بشكل منظم (مثلًا تغيير x إلى y، y إلى z، z إلى x، مع التكرار)

${\displaystyle {\begin{aligned L_{x &=yp_{z -zp_{y \,,\\L_{y &=zp_{x -xp_{z \,,\\L_{z &=xp_{y -yp_{x \,.\end{aligned$

ومن التعريفات المتصلة بالموضوع هوتصور الزخم الزاوي المداري كعنصر مستوٍ. يمكن تحقيق ذلك عبر استبدال الضرب الخارجي بالضرب الاتجاهي في لغة الجبر الخارجي، ويصبح الزخم الزاوي موترًا مضاد للتناظر مضاد للتباين من الدرجة الثانية.

${\displaystyle \mathbf {L =\mathbf {x \wedge \mathbf {p$

أوبكتابة x = (x₁, x₂, x₃) = (x, y, z) ومتجه الزخم P = (P₁، P₂، P₃) = (p_x، p_y، p_z) يمكن اختصار المكونات بشكل مضغوط في تدوين مؤشر الموتر.

${\displaystyle L^{ij =x^{i p^{j -x^{j p^{i$

حيث المؤشرات i وj تأخذ قيمًا 1، 2، 3. على الجانب الآخر، يمكن حتى تُعرض المكونات كاملةً بشكل نظامي في مصفوفة ثلاثة × ثلاثة مضادة للتماثل:

${\displaystyle {\begin{aligned \mathbf {L &={\begin{pmatrix L^{11 &L^{12 &L^{13 \\L^{21 &L^{22 &L^{23 \\L^{31 &L^{32 &L^{33 \\\end{pmatrix ={\begin{pmatrix 0&L_{xy &L_{xz \\L_{yx &0&L_{yz \\L_{zx &L_{zy &0\end{pmatrix ={\begin{pmatrix 0&L_{xy &-L_{zx \\-L_{xy &0&L_{yz \\L_{zx &-L_{yz &0\end{pmatrix \\&={\begin{pmatrix 0&xp_{y -yp_{x &-(zp_{x -xp_{z )\\-(xp_{y -yp_{x )&0&yp_{z -zp_{y \\zp_{x -xp_{z &-(yp_{z -zp_{y )&0\end{pmatrix \end{aligned$

هذه القيمة مضافة، وفي نظام معزول، يظل الزخم الزاوي الكلي للنظام محفوظًا.

عزم الكتلة الديناميكي

في الميكانيكا الكلاسيكية، الكمية ثلاثية الأبعاد لجسيم ما كتلته m يتحرك بسرعة u.

${\displaystyle \mathbf {N =m\left(\mathbf {x -t\mathbf {u \right)=m\mathbf {x -t\mathbf {p$

لها أبعاد لعزم الكتلة –حاصل ضرب الطول في الكتلة. وترتبط بالسرعة النسبية الإضافية لمركز الكتلة للجسيم أونظام الجسيمات، كما قيس في الإطار المرجعي للمختبر. لا يوجد رمز واحد ولا حتى اسم واحد لهذه الكمية. قد يدونها الفهماء برموز أخرى إذا عملوا (μ مثلاً)،وقد يبتكرون أسماء أخرى، وقد يعهدوا N على أنها سالب ما يُستخدم هنا. تتميز الصيغة المذكورة بالأعلى بأنها تشبه تحويل جاليليوالمعتاد للموضع، وهوبدوره التحويل الإضافي غير النسبي بين الأُطر القصورية.

هذا المتجه مضاف أيضًا: ففي نظام جسيمات، يأتي الناتج المتجه من نتيجة ما يأتي:

${\displaystyle \sum _{n \mathbf {N _{n =\sum _{n m_{n \left(\mathbf {x _{n -t\mathbf {u _{n \right)=\left(\mathbf {x _{\mathrm {COM \sum _{n m_{n -t\sum _{n m_{n \mathbf {u _{n \right)=M_{\mathrm {TOT (\mathbf {x _{\mathrm {COM -\mathbf {u _{\mathrm {COM t)$

حيث مركز كتلة الموضع والسرعة للنظام والكتلة الكلية هما على الترتيب

${\displaystyle \mathbf {x _{\mathrm {COM ={\frac {\sum _{n m_{n \mathbf {x _{n {\sum _{n m_{n$, ${\displaystyle \mathbf {u _{\mathrm {COM ={\frac {\sum _{n m_{n \mathbf {u _{n {\sum _{n m_{n$, ${\displaystyle M_{\mathrm {TOT =\sum _{n m_{n$.

في نظام معزول، N محفوظة في الزمن، وهوما يُرى من خلال الاشتقاق بالنسبة للزمن. الزخم الزاوي L متجه زائف بينما N متجه (قطبي) «عادي»، وهولهذا ثابت أثناء الدورانات.

N_total الناتجة لنظام متعدد الجسيمات له الصورة الفيزيائية التي تقول أيًا تكن الحركة المعقدة لكل الجسيمات، فهي تتحرك بالكيفية التي يتحرك بها مركز الكتلة في خط مستقيم. لا يعني هذا بالضرورة حتى جميع الجسيمات «تتبع» مركز الكتلة، ولا حتى جميع الجسيمات تتحرك جميعًا تقريبًا في نفس الاتجاه في نفس الوقت، فحركة جميع الجسيمات مقيدة فقط بما يتعلق بمركز الكتلة.

في النسبية الخاصة إذا كان هناك جسيم يتحرك بسرعة  uبالنسبة إلى إطار المختبر، إذن

${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u )m_{0 c^{2 ,\quad \mathbf {p =\gamma (\mathbf {u )m_{0 \mathbf {u$

حيث

${\displaystyle \gamma (\mathbf {u )={\frac {1 {\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u \cdot \mathbf {u {c^{2$

هومعامل لورنتز وm₀ هوكتلة سكون الجسيم. يستخدم بعض الكتاب الكتلة النسبية

${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {u )m_{0$

أوالسرعة المحققة

${\displaystyle \mathbf {w =\gamma (\mathbf {u )\mathbf {u$

ويكون عزم الكتلة النسبي الموافق باستخدام رموز m₀، m، u، p، E في نفس الإطار المرجعي للمختبر

${\displaystyle \mathbf {N =m\mathbf {x -\mathbf {p t={\frac {E {c^{2 \mathbf {x -\mathbf {p t=\gamma (\mathbf {u )m_{0 (\mathbf {x -\mathbf {u t)$

ويُعرّف هنا بحيث تكون المعادلة النسبية بمصطلحات الكتلة النسبية والتعريف الكلاسيكي لهما نفس الصيغ. المكونات الديكارتية هي

${\displaystyle {\begin{aligned N_{x =mx-p_{x t&={\frac {E {c^{2 x-p_{x t=\gamma (u)m_{0 (x-u_{x t)\\N_{y =my-p_{y t&={\frac {E {c^{2 y-p_{y t=\gamma (u)m_{0 (y-u_{y t)\\N_{z =mz-p_{z t&={\frac {E {c^{2 z-p_{z t=\gamma (u)m_{0 (z-u_{z t)\end{aligned$

يتجنب التعبير عن N من ناحية الطاقة-الكتلة النسبية والعزم بدلًا من كتلة السكون والسرعة عوامل لورنتز الزائدة. مع ذلك، لا يوافق بعض الفهماء على الكتلة النسبية إذ أنها يمكن حتى تكون كمية مضللة إذا طُبقت في معادلات معينة.

انظر أيضًا

• مبادرة توماس
• مشكلة الجسمين في النسبية العامة
• ميكانيكا نسبية

مراجع