طوبولوجيا
عودة للموسوعة
في الرياضيات، الطوبولوجيا أوالتوبولوجيا (بالإنجليزية: Topology) حدثة يونانية (من topos وتعني مكان أوبنى وlogos تعني دراسة أوفهم) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض فهماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية.
تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعهد عادة باللامتباينات الطوبولوجية، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا.
يمكن القول على سبيل التبسيط حتى هذا الفهم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر. كذلك يمكن القول حتى الطوبولوجيا هوالفهم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من فراغ إلى فراغ آخر بواسطة التشاكل. لفهم معنى حدثة التشاكل فإنه ينطق عن دالة ما أنها تشكل تشاكلا إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضاً مستمرة وشاملة ومتباينة.
تعريف
الطوبولجيا من النظريات (الهجريبات) الحديثة في الرياضيات التي نشأت في القرن التاسع عشر وتبلورت خلال القرن العشرين. رغم حتى جذوره تمتد في الهندسة والتحليل الرياضي إلا أنه بنموه استقل عنهما وأصبح الآن أداة تخدم جميع الرياضيات.
وقد نما الطوبولوجيا من نواحي هندسية كما في الطوبولوجيا التجميعي (التوافقي) combinatorial على أيدي أويلر وأوغست فيرديناند موبيوس وفيليكس كلاين وريمان وتبلور على يد هنري بوانكاريه. ونما من التحليل الرياضي وامتدادا لنظرية الفئات كما في الطوبولوجيا التحليلي (العام)، ومن ثم فإن نموه اتبع خطين أحدهما المجالات التي ينظر فيها إلى الفراغات الطوبولوجية على أنها تكوينات هندسية معممة ويكون الهجريز فيها على هجريب الفراغات نفسها، ومن هذه المجالات التي استحدثت الهومولجيا (الطوبولوجيا الجبري) على أيدي ايلنبرج وستينرود (1930)، والهومولجيا عل يد أيلنبرج (1945)، ودراسات الطي التي أثارتها أعمال هنري بوانكاريه (1900)، ونظرية الأبعاد التي أثارتها أعمال ريمان (1850 - 1870).
أما الخط الثاني ففي التحليل الرياضي حيث ينظر إلى الفراغات الطوبولجية حاملة للدوال المستمرة حيث تحتل الدوال المستمرة أهمية كبرى فيها. ومن هذه المجالات نظرية باناخ وفراغات هيلبرت وجبريات باناخ والنظرية الحديثة للتكامل (تكامل لوبيغ) ونظرية القياس والتحليل التوافقي الحديث والتحليل الدالي.
وهذ يوضح حتى الطوبولوجيا أصبح أساساً لمعظم الرياضيات المعاصرة. وعموماً فالأساس النظري لكل أنواع الطوبولوجيا هوهجريب الفراغ الطوبولوجي والطوبولوجيا التحليلي (العام).
ويعتبر كانتور من الأوئل المخترعين للطوبولوجيا التحليلي، فقدم دراسة لفئات جزئية من الفراغ الطوبولوجي وعليها قدم المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا مثل الفئات المقفولة والفئات المفتوحة والانغلاق ونقطة النهاية والداخل والخارج،....خاصة على خط الأعداد. أما تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق الفئات المفتوحة ويسمى طوبولوجيا الفئات المفتوحة point set topology فقدمه كازيميرز كوراتوفسكي (1922)، وعن طريق الجوار فقدمه فيليكس هاوسدورف (1914). وقد سبقهما فرشيه (1906) وريسز (1907 - 1908) في تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق تقارب المتتابعات ولكن تعريفاتهم كانت غير سقمية، وقدم أندريه كولموغوروف (1935) وريسز (1907)، وهاوسدروف (1914)، وتشينوف (1930) أنواعا من الفراغات الطوبولوجية على أساس بديهيات الانفصال. وببساطة الأنواع (الفروع أوالمجالات الأساسية للطوبولوجيا) :
- الطوبولوجيا التحليلي (طوبولوجيا فئات النقط)
- الطوبولوجيا الهندسي (التجميعي).
- الطوبولوجيا الجبري.
التاريخ
كانت بدايات الطبولوجيا في البحث عن أجوبة لتساؤلات هندسية في أواسط القرن الثامن. وتعتبر المسألة التي طرحها العالم الرياضي ليونهارد أويلر عام 1736 بعنوان جسور كونيغسبرغ السبعة أول ورقة درس أكاديمي في الطوبولوجيا.
تم استخدام مصطلح طوبولوجيا للمرة الأولى في ألمانيا عام 1847 من قبل العالم الرياضي الألماني يوهان بينيدكت ليستينغ أما الحدثة الإنجليزية فقد ظهرت للمرة الاولى في عام 1833 في مجلة تخصصر البريطانية. وخلال الفترة الممتدة بين اواخر القرن التاسع عشر وأواسط القرن العشرين تم وضع الكثير من الخط التي أسست للطوبولوجيا لتكون فرعا رياضيا مستقلا. وتستند الطوبولوجيا الحديثة بشكل كبير على نظرية المجموعات. من أشهر فهماء الطبولوجيا في بدايات القرن العشرين الرياضي فيليكس هاوسدورف الذي قدّم في عام 1914 مفهوم الفضاءات الطبولوجيا وما سيعهد لاحقاً باسم فضاء هاوسدورف.
انظر أيضاً
- فيليكس هاوسدورف
- ليونهارد أويلر
- نظرية المجموعات
مراجع
- ^ "ما هي التبولوجيا؟". 2015-01-24. مؤرشف من الأصل في 18 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر 2018.
- ^ "ما هي الطوبولوجيا". أنا أصدق الفهم. 2016-10-13. مؤرشف من الأصل في 21 سبتمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر 2018.
التصنيفات: طوبولوجيا, بنى رياضية, دخيل إغريقي, مقالات بدون هوامش منذ يوليو 2018, جميع المقالات بدون هوامش, مقالات تحتوي نصا بالإنجليزية, صفحات تستخدم خاصية P373, صفحات تستخدم خاصية P227, بوابة طوبولوجيا/مقالات متعلقة, بوابة رياضيات/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات
