جبر شامل
الجبر الكامل هوفرع الجبر الذي يفهم الخواص والبنى العامة المشهجرة بين جميع فروع الجبر .
مقدمة
من وجهة نظر الجبر الكامل ، الجبر أوالجبر التجريدي هومجموعة A مزودة بجموعة من العمليات على A .نقول حتى هناك عملية نونية (من الرتبة نون) فهم على A تمثل دالة رياضية تأخذ n عنصر من المجموعة A وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من A .
لذلك فإن المجموعة الصفرية 0-ary operation (أوnullary operation) يمكن حتى تمثل عنصرا وحيدا من A أوما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل a.
باللقاء العملية الأحادية 1-ary operation (unary operation) ببساطة تعبير عن دالة من A إلى A يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ~x . العملية الثنائية تمثل برمز يخط بين مدخلي العملية : x * y .
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين : f(x،y،z) أو f(x1،...،xn). يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية infinitary مثل :
بعد تعريف العمليات ، يمكن ان تحدد طبيعة الجبر عن طريق بدهيات axiom ، وهي تأخذ في الجيبر الكامل شكل قوانين مساواة equational laws . أحد أمثلة البدهية التوزيعية للعملية الثنائية ، هي التي تعطى بالمعادلة :
x * (y * z) = (x * y) * z.
يقصد بكل بدهية حتى تنطبق على جميع القيم التي يمكن ل x، y، وz حتى تأخذها من ضمن المجموعة التي تم التعريف عليها : A .
يمكن حتى ننظر للجبر الكامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج model theory نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات relationship)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط . من جهة أخرى البنى هي مثل البنى التي يتم تعريفها في التصانيف التي تملك جداء (نظرية التصنيف) محدد .
