تحليل حقيقي
التحليل الحقيقي أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية والدوال الفهم عليها . يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على انه نسخة مدققة من فهم الحسبان (التفاضل والتكامل) يفهم مصطلحات مثل المتتاليات ونهاياتها ، الاستمرار في الدوال ، الاشتقاق الرياضي ، التكاملات الرياضية واخيرا متتاليات الدوال . بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function' ، كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال المعممة generalized function .
عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في نظرية المجموعات المبسطة naive set theory أوelementary set theory ، ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة الرياضية ، ثم مقدمة للأعداد الطبيعية وتقنيات البرهان الهامة للاستقراء الرياضي mathematical induction .
من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقية بشكل بدهي (أكسيوماتي) أويتم تشكيلها من متتاليات كاوشي Cauchy sequence وحد ديديكايند Dedekind cut للأعداد المنطقة rational number . النتائج البدئية تشتق أولا ، اهمها خواص القيمة المطلقة absolute value ، مثل متراجحة المثلث triangle inequality ومتراجحة برنولي Bernoulli's inequality .
مصطلح التقارب convergence يعتبر مفهوما مركزيا في التحليل الحقيقي ، فهويقدم من خلال نهايات المتتاليات. يمكن اشتقاق عدة قوانين رياضية تحكم عملية الانتهاء ، وبالتالي يمكن حساب عدة نهايات . كما يفهم هنا أيضا المتسلسلات اللامنتهية Infinite series وهي تعبير عن نوع خاص م المتتاليات . من ثم تقدم متسلسلات القوى Power series القدرة على تعريف دوال مركزية متعددة مثل الدالة الأسية exponential function والدوال المثلثية trigonometric function . من ثم يتم تقديم أنماط مهمة من المجموعات الجزئية مثل المجموعات المفتوحة open set والمجموعات المغلقة closed set ، المجموعات المضغوطة compact sets أوcompact space مع خواصها المتنوعة مثل مبرهنة بولزانو-فايرشتراس Bolzano-Weierstrass theorem ومبرهنة هايني-بوريل Heine-Borel theorem .
من أبرز أقسام التحليل الحقيقي :
- مجموعة الأعداد حقيقية
- متتاليات حقيقية
- متسلسلات حقيقية
- نهاية الدوال الحقيقية
- دوال متصلة حقيقية
- اشتقاق الدوال حقيقية
- تكامل دوال حقيقية
اقرأ أيضا
- قائمة مواضيع التحليل الحقيقي