الموجة المستقرة standing wave، وتعهد أيضاً باسم الموجة الراكدة أوالموجة الواقفة stationary wave، هي موجة تظل في مكان ثابت. ويمكن لهذه الظاهرة حتى تحدث إما لأن الوسط يتحرك في الاتجاه المعاكس للموجة، أوتحدث في وسط ساكن نتيجة تداخل بين موجتين تتحركان في اتجاهين متضادين. في الحالة الأخيرة، لموجات ذات سعة متساوية وتتحركان في اتجاهين مضادين، هناك في المتوسط صافي انتشار الطاقة الصافي مساوياً لصفر.

الموجات المستقرة في resonators هم أحد الأسباب للظاهرة المسماة رنين.

الوسط الذي تتم فيه الحركة

وكمثال للنوع الأول، في بعض ظروف الأرصاد الجوية تتشكل الموجات الراكدة في الغلاف الجوي في خلف سلاسل الجبال. ومثل هذه الموجات يستغلها طياروالانزلاق الجوي.

الموجات الراكدة وhydraulic jumps يتشكلوا أيضاً في الأنهار سريعة الجريان وتيارات المد مثل سالتشتراومن مالستروم.

الموجات المتضادة

تحدث الموجات المستقرة stationary waves حدثا التقت موجتان متقدمتان progressive مغذاتان ومتماثلتان تردداً، وتنتشر إحداهما في اتجاه يعاكس انتشار الأخرى، وينتج من تراكبهما أوتداخلهما تكوّن أجزاء تهتز بسعة عظمى تسمى بطون الاهتزاز antinodes ويرمز لها بالحرفA، يفصل ما بينها بالتناوب أجزاء تنعدم أوتكاد تنعدم فيها سعة الاهتزاز، وتسمى العقد nodes ويرمز لها بالحرف N. وتظهر الموجة المستقرة وكأنها تهتز مراوحة في مكانها، لذلك وُصفت بالمستقرة، وهي تختلف بذلك عن الموجة المتقدمة التي تبدوكأن سعة الاهتزاز فيها هي التي تنتشر وتتقدم. وتكون المسافات بين العقد متساوية كما هومبين في الشكل 1، ويؤلف الاهتزاز ما بين عقدتين متجاورتين ما يشبه المغزل.

الوصف الرياضي

وتحدث الأمواج المستقرة في جميع الحركات الموجية سواء أكانت ميكانيكية أم صوتية أم ضوئية أم كهرمغنطيسية. ويعطى مطال الاهتزاز y في أي موجة متقدمة بالعلاقة التالية:

Let the harmonic waves be represented by the equations below:

${\displaystyle y_{1 \;=\;y_{0 \,\sin(kx-\omega t)$

و

${\displaystyle y_{2 \;=\;y_{0 \,\sin(kx+\omega t)$

حيث:

• y₀ هي سعة الموجة,
• ω (تسمى التردد الزاوي، مقاساً ب radian في الثانية) هي 2π مضروبة في التردد (بالهرتس),
• k (ويسمى رقم الموجة ويقاس ب radians في المتر) هي 2π مقسومة على طول الموجة λ (ب المتر)، و
• x وt هما متغيران للمسقط الطولي والزمن، على الترتيب.

لذلك فمعادلة الموجة الناتجة y ستكون مجموع y₁ وy₂:

${\displaystyle y\;=\;y_{0 \,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0 \,\sin(kx+\omega t).$

وباستخدام trigonometric identity للتبسيط، يمكن وصف الموجة المستقرة كالتالي:

${\displaystyle y\;=\;2\,y_{0 \,\cos(\omega t)\;\sin(kx).$

حيث a: السعة وl: طول الموجة وv: سرعة الانتشار وx: البعد عن نقطة اتُّخذت مبدءاً للاهتزاز. فإذا انعكست هذه الموجة ناظمياً عند نهاية وسط الانتشار انعكاساً كلياً أوجزئياً بحسب شروط النهاية، تولّدت موجة منعكسة تكون معادلتها، إذا كان الانعكاس كلياً، كما يلي:

وينتج إذن من تراكب الموجتين الواردة والمنعكسة أوتداخلهما موجةٌ تكون معادلتها كما يلي، وفقاً لمبدأ التراكب (الانضمام) superposition:

وهي موجة مستقرة ينعدم الانزياح أوالاهتزاز فيها عند نقاطٍ تبعد عن نهاية الانعكاس بالأبعاد وهي مواضع العقد.

ويكون الاهتزاز أعظمياً وسعته 2a عند نقاط تكون أبعادها وهي مواضع مراكز البطون، وتتناقص سعة الاهتزاز باطّراد على جانبيْ البطن حتى تنعدم عند العقدة. وإذا كان الانعكاس يتم عند نهاية طليقة كانت الموجة الواردة والموجة المنعكسة متفقتيْن في الطور عند الانعكاس فيتولد بطن اهتزاز عند الطرف العاكس، ولكن يظل مظهر الموجة المستقرة كما كان وكذلك المسافات الفاصلة بين العقد، غير حتى مواضع هذه العقد يتعيّن بالأبعاد

ولعل أفضل تجربة يتضح فيها تكوُّن الأمواج المستقرة هي تجربة مِلْد Melde التي يُثبَّت فيها طرف خيط أفقي بأحد فرعيْ شوكةٍ رنانة ويمر طرفه الآخر على بكرة، وينتهي بكفة تُحمَّل بالأوزان. تُجعل الرنانة تهتز في مستوٍ متعامد مع الخيط وتُغذَّى اهتزازاتها كهربائياً، فيهتز الخيط بتردد يساوي تردد الرنانة. ولما كان طول الخيط L ثابتاً وكذلك كتلة واحدة الطول m منه، فإن المتغير الوحيد هوقوة الشد F التي يحدثها الوزن M. فمن أجل وزنٍ معين مناسب ينقسم الخيط المهتز إلى عدد سليم من المغازل، كما هومبين في الشكل 2. ويكون البعد ما بين عقدتين متعاقبتين l/2، كما ذكر من قبل؛ وبزيادة الوزن أوإنقاصه يتغير عدد المغازل P (الشكل 1). فتتحقق معه العلاقة: ثابت = FP2، حيث F قوة شد الخيط. وتنتج هذه العلاقة من قانون الأوتار المهتزة، وهو:

حيث يشير n على تردد الرنانة.

الموجات الطبيعية

إن تجربة مِلْد تظهِر الأمواج المستقرة الناجمة عند تراكب أوتداخل اهتزازتين عرضانيتين أوتداخلهما (أي منحى الاهتزاز في كلٍ منهما عمودي على منحى انتشار الاهتزاز) غير أنه يمكن أيضاً توليد أمواج مستقرة نتيجة تراكب موجتين طولانيتين (منحى الاهتزاز يتفق مع منحى الانتشار) مثل الموجات الصوتية. وأشهر تجربة في هذا المجال تجربة أنبوب كونْدِت Kundt؛ وهوأنبوب أسطواني زجاجي سُدَّتْ إحدى نهايتيه وجُعل عند النهاية الأخرى منه منبع صوتي ، يملأ الأنبوب غازاً ما، وتنثر فيه كمية صغيرة من مسحوق خفيف مثل ذرات الليكوبوديوم أوالفلين نثراً منتظماً على طول الأنبوب. فإذا جُعل طول الأنبوب موافقاً لحدوث عدد سليم من المغازل حين يصدر الصوت، اهتزت ذرات الفلين في أماكن البطون وكوّنت عدة أكوام متساوية الأبعاد (الشكل 3). ويمكن حتىقد يكون المنبع الصوتي قضيباً ثُبِّت في منتصفه C وزُوِّد أحد طرفيه D بقرص يكاد يسد الأنبوب، ويتم توليد الصوت بِدلْك هذا القضيب بقماش مقلّف أومصمَّغ. كذلك قد يحدث المنبع الصوتي قرص هاتف متصلاً بهزازة مناسبة، أوبلورة كوارتز تولّد صوتاً تردده فوق الصوتي. ويستفاد من تجربة أنبوب كوندت في قياس سرعة الصوت في الغازات v ودراسة تغيّر هذه السرعة بتغير شروط الغاز، وذلك اعتماداً على العلاقة v =l n. إذا ما يحدث في أنبوب كوندت يحدث مثله في جميع الآلات الموسيقية الهوائية، إذ تتكون بالطريقة نفسها أمواج طولانية مستقرة في الهواء الذي يملأ الآلة من أجل جميع نغمة تصدر منه.

الموجات الضوئية

وتحدث الموجة الضوئية المستقرة، على غرار ما في تجربة مِلْد، نتيجة تداخل الموجة الضوئية الوحيدة اللون المنعكسة مع الموجة الواردة، إلا حتى مشاهدة هذه الموجة أصعب بكثير، لأن طول المغزل في هذه الحالة من مرتبة أجزاء المكرون (10-4مم)، لصغر طول الموجة الضوئية (0.4-0.7 مكرون). وقد أمكن في أواخر القرن التاسع عشر تصوير الأمواج المستقرة باستعمال فِلمْ طبقته الحساسة دقيقة الحبيبات، وأدى ذلك إلى اكتشاف طريقة دقيقة في التصوير الملوَّن (طريقة لبمان Lippmann). وتجدر الإشارة أخيراً إلى حتى الأمواج المستقرة الكهرمغنطيسة تتكون على طول هوائيات البث الإذاعي aerials.

انظر أيضاً

• قائمة مواضيع الموجات:

Amphidromic point, Clapotis, Longitudinal mode, Modelocking, Seiche, Trumpet, Voltage standing wave ratio, Wave

• List of electronics topics:

Cavity resonator, Characteristic impedance, Cymatics, Impedance, Normal mode

المصادر والهامش

• خالد عقيل. "الأمواج المستقرة". الموسوعة العربية. Retrieved 2009-06-20.

وصلات خارجية

• Vibrations and Waves - a chapter from an online textbook
• Standing Waves experiment Shows how the point moves with frequency change.
• Java applet of standing waves on a vibrating string.
• Java applet of transverse standing wave
• Java applet showing the production of standing wave on a string by adjusting frequency

للاستزادة

ـ الاهتزازات والأمواج (1)، ترجمة تربدار وقسام ومعصراني (مطبوعات جامعة دمشق، 1981). ـ الفيزياء الحديثة للجامعات، الجزء الأول (الميكانيك والصوت)، ترجمة قدورة وسمان وحصري (مطبوعات جامعة دمشق 1973).