يمكن استعمال جميع من قانوني كرشوف وقانون أوم في تحليل جميع الدارات الكهربائية. لكن ذلك قد يحدث صعبا في كثير من الحالات، لذلك فإننا سنتناول بعض النظريات التي تستخدم في تسهيل تحليل الدارات الكهربائية.، وذلك في الحالات الخاصة بدارات التيار المستمر.

مبدأ الانضمام Superposition Theorem

وينص على ما يلي:

إن التيار (أوالفلطية) في فرع ما والناجم عن عدة منابع مستقلة متواقتة التأثير في شبكة خطية، يساوي مجموع التيارات (أوالفلطيات) الناتجة في هذا الفرع عن جميع من المنابع على حدة.

مثال:لنحسب التيار ${\displaystyle I\,$ المبين في الدارة التالية:

في الدارة منبعان، منبع للتيار ومنبع للفلطية. سنقوم بحساب التيار ${\displaystyle I\,$ عندماقد يكون منبع التيار مفصولا، ثم نقوم بحسابه عندماقد يكون منبع الفلطية مفصولا، وبعد ذلك نقوم بجمع النتيجتين، فنحصل على التيار ${\displaystyle I\,$ العملي.

ملاحظة: عند حذف منبع تيار نستعيض عنه بدارة مفتوحة، بينما نستعيض عن منبع الفلطية بدارة مغلقة.

1.التيار الناجم عن منبع الفلطية فقط: بتطبيق قانون كرشوف للفلطية على الحلقة اليسرى من الدارة المشروحة في الشكل نجد: خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle 1_0 – 5I_1 -10 I_1 = 0\, ومنه نجد: ${\displaystyle I_{1 =3/2A\,$

2.التيار الناجم عن منبع التيار فقط: لقد حصلنا على دارة مقاومة تفرعية، ومن أجل الحصول على ${\displaystyle I_{2 \,$ نقوم بتطبيق قانون تجزئة التيار حيث:${\displaystyle R_{E ={\frac {R_{1 R_{2 {R_{1 +R_{2 \,$

وبالتالي:${\displaystyle -I_{2 =I{\frac {R_{E {R_{2 =I{\frac {\frac {R_{1 R_{2 {R_{1 +R_{2 {R_{2 =I{\frac {R_{1 {R_{1 +R_{2 =5\times {\frac {5 {5+10 ={\frac {5 {3 \,$ [أضفنا إشارة ناقص لأن تيارنا ${\displaystyle I_{2 \,$ يعاكس جهة التيار الذي ينطبق عليه قانون تجزئة التيار (لاحظ أنه يعاكس جهة تيار المنبع: التيار الأساسي) ] أيقد يكون: ${\displaystyle I2=-5/3\,$

و"بانضمام" النتيجتين اللتين حصلنا عليهما في 1 و2قد يكون: ${\displaystyle I=I_{1 +I_{2 =2/3-5/3=-1A\,$

نظرية تيفنن Thevenin's Theorem

تتيح هذه النظرية استبدال أية مجموعة ثابتة من المولدات والمقاومات الموصولة بثنائي قطب (الحمل الموصول بين A وB) بمنبع فلطية، فتختزل الدارة الحالية إلى العنصر المراد دراسته بشكل منفصل، ومنبع فلطية يكافئ بقية الدارة: قوته المحركة الكهربائية ${\displaystyle E_{T \,$ وموصول مع مقاومة ${\displaystyle R_{T \,$، تربط معه على التسلسل، تفيد هذه النظرية في تبسيط دراسة الدارات المعقدة على نحوكبير.

لتطبيق هذه النظرية نتبع المراحل التالية: 1.نحدد العنصر المراد دراسته. 2.نفصل العنصر المراد دراسته من الدارة، فيهجر مكانه نقطتين A وB وتكون بينهما الدارة مفتوحة. 3.نقوم بحساب فرق الكمون بين النقطتين، والذي سيمثل ${\displaystyle E_{T \,$ ، وذلك باستخدام قوانين كرشوف أوإحدى النظريات. 4.نقوم بحساب المقاومة المكافئة ${\displaystyle R_{T \,$ بعد إلغاء جميع المنابع. 5.نقوم بهجريب دارة تيفنن المكافئة والمكوّنة من الحمل المطلوب دراسته موصولا على التسلسل مع المنبع ${\displaystyle E_{T \,$ والمقاومة ${\displaystyle R_{T \,$.

نظرية نورتون

تشبه نظرية نورتون إلى حد بعيد نظرية تيفنن، إلا أنها بدلا من حتى تستعيض عن بقية أجزاء الدارة بمولد ومقاومة، تستعيض عنها بمولد تيار ${\displaystyle J_{N \,$ توصل معه على التفرع ناقلية${\displaystyle G_{N \,$.

العلاقة بين دارتي نورتون وتيفنن

${\displaystyle E_{T =J_{N \times R_{N ={\frac {J_{N {G_{N \,$

سترى أمثلة عملية على هاتين النظريتين في المحاضرة القادمة إذا شاء الله تعالى.

نظرية النقل الأعظمي للاستطاعة

تنص هذه النظرية على حتى مقاومة الحمل ${\displaystyle R_{L \,$ في دارة ما تمتص استطاعة عظمى إذا كانت مساوية للمقاومة الداخلية للمنبع أي ${\displaystyle R_{S \,$. يمكن التحقق من ذلك باستخدام القوانين التي تعهدنا عليها. فالتيار المار بالحمل يعطى بالعلاقة: ${\displaystyle I_{l ={\frac {V_{S {R_{S +R_{L \,$

وبالتالي تكون الاستطاعة التي يسحبها الحمل: ${\displaystyle P=I_{L ^{2 \times R_{L ={\frac {V_{S ^{2 \times R_{L {(R_{S +R_{L )^{2 \,$

نقوم باشتقاق العلاقة السابقة بالنسبة لـ ${\displaystyle R_{L \,$، فتكون الاستطاعة عظمى عندما: ${\displaystyle {\frac {\mathit {dP {R_{L =0\,$، فنجد حتى ذلكقد يكون عندما ${\displaystyle R_{L =R_{S \,$

نظرية ميلمان المباشرة

تكافئ مجموعة مكونة من n منبع فلطية مربوطة على التفرع منبع فلطية واحد بحيثقد يكون:

${\displaystyle E=R\sum _{k=1 ^{n {\frac {E_{k {R_{k \,$

حيث ${\displaystyle E_{k \,$ و${\displaystyle R_{k \,$ فلطية ومقاومة جميع منبع من المنابع المذكورة

وR هي المقاومة المكافئة لمجموعة مقاومات المنابع مربوطة على التفرع وتعطى بالعلاقة: ${\displaystyle R={\frac {1 {\sum _{k=1 ^{n {\frac {1 {R_{k \,$

نظرية ميلمان العكسية

تكافئ مجموعة مكونة من n منبع تيار مربوطة على التسلسل منبع تيار واحد بحيثقد يكون:

${\displaystyle J=G\sum _{k=1 ^{n {\frac {J_{k {G_{k \,$

حيث ${\displaystyle J_{k \,$ و${\displaystyle G_{k \,$ تيار وناقلية جميع منبع من المنابع المذكورة,

وG الناقلية المكافئة لمجموعة ناقليات المنابع مربوطة على التسلسل وتعطى بالعلاقة:

خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle G=\frac{1 {\sum _{k=1 ^{n {\frac{1 {G_{k \,

نظرية كينلي (التكافؤ نجمة – مثلث)

في بعض الحالات، نقابل أثناء تحليلنا للدارات عقدة توصل إليها ثلاثة أطراف تسمى النجمة. تسمح نظرية كينلي بتحويل هذه النجمة إلى مثلث، كما هومبين في الشكل. لفهم مقاومات المثلث بدلالة مقاومة النجمة (أي للانتنطق من اليمين إلى اليسار)، نستخدم العلاقات التالية:

${\displaystyle R_{\mathit {BC ={\frac {R_{A R_{B +R_{A R_{C +R_{B R_{C {R_{A \,$

${\displaystyle R_{\mathit {AC ={\frac {R_{A R_{B +R_{A R_{C +R_{B R_{C {R_{B \,$

${\displaystyle R_{\mathit {AB ={\frac {R_{A R_{B +R_{A R_{C +R_{B R_{C {R_{C \,$

أي المقاومة التي تصل بين عقدتين في المثلث هي مجموع الجداءات الثنائية غير المكررة لمقاومات النجمة مقسومة على المقاومة المتصلة بالعقدة اللقاءة..

ولفهم مقاومات النجمة بدلالة مقاومة المثلث (أي للانتنطق من اليسار إلى اليمين) نستخدم العلاقات التالية:

${\displaystyle R_{C ={\frac {R_{\mathit {CA R_{\mathit {CB {R_{\mathit {AB +R_{\mathit {AC +R_{\mathit {BC \,$

${\displaystyle R_{B ={\frac {R_{\mathit {BC R_{\mathit {BA {R_{\mathit {AB +R_{\mathit {AC +R_{\mathit {BC \,$

${\displaystyle R_{A ={\frac {R_{\mathit {AC R_{\mathit {AB {R_{\mathit {AB +R_{\mathit {AC +R_{\mathit {BC \,$

أي المقاومة المتصلة بعقدة ما، في نجمة، هي جداء المقاومتين المتصلتين بهذه العقدة في المثالث، مقسومة على مجموع مقاوماته [أي المثلث].

مثال: أوجد المقاومة المكافئة لمجموعة المقاومات الموصولة بين a وb. ثم احسب التيار ${\displaystyle i\,$ المار في الدارة.

الحل: نقوم بتحويل النجمة abc إلى مثلث. فيكون

${\displaystyle R_{a R_{b +R_{a R_{c +R_{b R_{c =10\ast 20+20\ast 5+5\ast 10=350\,$

ومنه نجد أن:

${\displaystyle R_{\mathit {ab ={\frac {350 {R_{c ={\frac {350 {5 =70{\mathit {ohms \,$

${\displaystyle R_{\mathit {ac ={\frac {350 {R_{b ={\frac {350 {20 =17.5{\mathit {ohms \,$

${\displaystyle R_{\mathit {bc ={\frac {350 {R_{a ={\frac {350 {10 =35{\mathit {ohms \,$

وتصبح الدارة على النحوالتالي:

كل من المقاومات التالية موصولة على التفرع: (30 و70) و(17.5 و12.5) و(35 و15). بضمّها وحسابها تصبح الدارة على النحوالتالي:

وبالتالي تصبح المقاومة المكافئة بين ab:

خطأ رياضيات (وظيفة مجهولة): {\displaystyle R = \textup{(7.292 + 10.5) {\textbar {\textbar 21 = 9.632 ohms\,

${\displaystyle R=(7.292+10.5)||21=9.632ohms\,$

وأصبح من الممكن إيجاد التيار i الذي يعطى بالعلاقة:

${\displaystyle i={\frac {V {R ={\frac {120 {9.632 \approx 12.458A\,$

تمرين

احسب التيار ${\displaystyle I_{1 \,$ في الدارة المبينة في الشكل أدناه باستخدام نظرية نورتون.

فكرة الحل: لا بد أولاً من إيجاد منبع التيار المكافئ للحمل الموصول بين A وB، وبعد ذلك يتم وصل هذا المنبع إلى الحمل، وتتم فهم التيار ${\displaystyle I_{1 \,$.

من أجل إيجاد منبع التيار المكافئ، علينا حتى نقوم بإيجاد المقاومة المكافئة، وذلك بفصل جميع منابع الدارة (حيث نقوم بفتح الدارة عند جميع منبع تيار وقصرها عند جميع منبع فلطية):

وبالتالي المقاومة المكافئة هي: ${\displaystyle R_{s =4+2=6{\mathit {ohms \,$.

المستوى الثانية الآن هي إيجاد قيمة التيار المحرك الكهربائي للمنبع المكافئ للدارة ${\displaystyle J_{N \,$ والمار من A إلى B. من أجل ذلك، نقوم بوصل الدارة بين هاتين النقطتين. ونقوم بعدها بحساب التيار بإحدى الطرق الممكنة.

من أجل حساب ${\displaystyle J_{N \,$ سنقوم بتطبيق نظرية الانضمام، حيث سنقوم بالإبقاء على منبع واحد فقط، وحساب ${\displaystyle J_{N \,$ في هذه الحالة، ومن ثمقد يكون التيار المطلوب هومجموع النتائج التي حصلنا عليها:

التيار الخارج من المنبع 3A يتفرع إلى فرعين: فرع يمر في المقاومات، وفرع آخر يمر في AB. وبما حتى المقاومة فيالفرع الأخير معدومة، فإن التيار بأكمله يمر عبر المقاومة الصفرية أي: ${\displaystyle J_{\mathit {N1 =3A\,$

يمكننا في هذه الحالة استخدام قانون مجزئ التيار، فالتيار الخارج من المنبع يتفرع إلى فرعين. نلاحظ حتى القانون يعطينا قيمة التيار في الفرع AB والذي يعاكس جهة ${\displaystyle J_{N \,$، لذلك لا بد من وضع إشارة سالبة. أي ${\displaystyle J_{\mathit {N2 =-2\times {\frac {2 {2+4 =-2/3A\,$

بتطبيق قانون أوم نجد بسهولة أن: ${\displaystyle J_{\mathit {N3 ={\frac {10 {4+2 =5/3A\,$

إذاً يمكننا حتى نقول الآن وحسب نظرية الانضمام حتى التيار ${\displaystyle J_{N \,$ هو: ${\displaystyle J_{N =J_{N1 +J_{N2 +J_{N3 =4A\,$

هكذا نكون قد أوجدنا قيمة جميع من المقاومة والتيار المحرك للمنبع، بقي فقط حتى نقوم بوصل هذا المنبع مع الحمل AB ودراسة تأثيره.

الآن، ومن أجل حساب ${\displaystyle I_{1 \,$ نقوم باستخدام قانون مجزئ التيار، فنجد: ${\displaystyle I_{1 =-4\times {\frac {6 {9 =-{\frac {3 {8 A\,$