مصفوفات

المــصــفــوفــات الرياضية

ساهم بشكل رئيسي في تحرير هذا الموضوع

المصفوفةMatrix هي تعبير عن مجموعة مكونة من m×n عنصراً عددياً حقيقياً أوعقدياً مرتبةً بـ m سطر وn عمود على الشكل التالي :

${\displaystyle {\begin{bmatrix a_{11 &a_{12 &a_{13 &\cdots &a_{1n \\a_{21 &a_{22 &a_{13 &\cdots &a_{2n \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1 &a_{m2 &a_{m3 &\cdots &a_{mn \end{bmatrix$

وندعوالأعداد ${\displaystyle a_{11 ,a_{12 ,.....a_{m1 ,a_{m1 ,a_{mn \,$ بعناصر هذه المصفوفة

ونرمز لها اختصاراً بالرمز ${\displaystyle a_{ij \,$

حيث يشير الدليل الأول i في العنصر ${\displaystyle a_{ij \,$ إلى رقم السطر الواقع فيه هذا العنصر

والدليل الثاني j في العنصر ${\displaystyle a_{ij \,$ إلى رقم العمود الواقع فيه هذا العنصر أيضاً

حيث i=1,2,……,m و j=1,2,….,n

ونرمز عادة للمصفوفة بأحرف لاتينية كبيرة مثل ……. A , B , C , D

واختصاراً نخط : ${\displaystyle A=\left[a_{ij \right]_{m\times n \,$

أوبالشكل : ${\displaystyle A=\left[a_{ij \right]$ حيث : i = 1 , 2 , ثلاثة …… , m و J = 1 , 2 , ثلاثة … , n

ونقول إذا المصفوفة ${\displaystyle A\,$ من المرتبة ${\displaystyle m\times n\,$

مثال :

${\displaystyle {\begin{pmatrix 2&4&6&11\\7&1&3&5\end{pmatrix \,$

m=2 عدد الأسطر , n=4 عدد الأعمدة

ونقول إذا المصفوفة من المرتبة ${\displaystyle 2\times 4\,$

نلاحظ أنَّ : ${\displaystyle a_{13 =6\,$ , ${\displaystyle a_{24 =5\,$

انواع المصفوفات

1.المصفوفة المستطيلة: هي المصفوفة التيقد يكون فيها m≠n مثال:التمرين السابق فيه A مصفوفة مستطيلة فيها: m=2 ≠ n=4

2.المصفوفة المربعة: ويكون فيها m=n ونقول فقط في هذه الحالة حتى هذه المصفوفة من المرتبة n وندعوالعناصرaij من المصفوفة A المربعة التيقد يكون فيها i=j عناصر القطر الرئيسي

أي العناصر ${\displaystyle a_{11$ , ${\displaystyle a_{22$ , ${\displaystyle a_{33$ ,… ${\displaystyle a_{nn$

مثال : مصفوفة مربعة من المرتبة الثالثة لأن m=3 و n=3

${\displaystyle {\begin{pmatrix 2&-i&1\\3&-1&2\\-1&-1&-1\end{pmatrix \,$

ملاحظة: أي عدد حققي أوعقدي يمكن اعتباره مصفوفة مربعة مرتبتها هي [1]

3. المصفوفة السطرية : هي المصفوفة التيقد يكون فيها m=1

A= ${\displaystyle {\begin{pmatrix a_{11 &a_{12 &\cdots &a_{1m \end{pmatrix \,$

4. المصفوفة العمودية: هي المصفوفة التيقد يكون فيها n=1

${\displaystyle {\begin{pmatrix a_{11 \\a_{21 \\a_{31 \\\vdots \\a_{n1 \end{pmatrix \,$

5.المصفوفة الحقيقية: هي المصفوفة التيقد يكون جميع عناصرها أعداداً حقيقة وفي حال حوت المصفوفة A عدد عقدي واحد على الأقل بين عناصرها فإننا ندعوها مصفوفة عقدية

6.المصفوفة الصفرية: هي المصفوفة التيقد يكون جميع عناصرها أصفاراً

7.المصفوفة المثلثية العلوية: هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الواقعة تحت القطر الرئيسي أصفار أي أن :

${\displaystyle a_{ij$ ≠0 عندما i≤j

${\displaystyle a_{ij$ =0 عندما j>i

8.المصفوفة المثلثية السفلية: هي مصفوفة مربعةقد يكون فيها جميع العناصر الواقعة فوق القطر الرئيسي أصفار أي أن: :

${\displaystyle a_{ij$ ≠0 عندما i≥j

${\displaystyle a_{ij$ =0 عندما j<i

ملاحظة:

ليس من الضروري حتى تكون جميع العناصر الواقعة فوق القطر الرئيسي في مصفوفة مثلثية علوية لا تساوي الصفر.

ويمكن لبعض العناصر الواقعة تحت القطر الرئيسي في مصفوفة مثلثية سفلية حتى تكون معدومة.

9.المصفوفة القطرية: هي مصفوفة مربعة مثلثية سفلية وعلوية بنفس الوقت ويمكن لبعض عناصر القطر الرئيسي فيها حتى تكون معدومة .

i≠j ; 0 = ${\displaystyle a_{ij$ ≈ A قطرية

i≠j ; 0 != ${\displaystyle a_{ij$

10.المصفوفة الواحدية: هي مصفوفة قطرية جميع عناصر قطرها الرئيسي هي الواحد ويرمز لها بالرمز In

11.المصفوفة السلمية : هي مصفوفة قطرية جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي عدداً حقيقياً غير معدوم وليكن Y

${\displaystyle {\begin{pmatrix Y&0&0&0\\0&Y&0&0\\0&0&Y&0\\0&0&0&Y\end{pmatrix \,$

المصفوفة الواحدية هي حالة خاصة من المصفوفة السلمية .

In= ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix \,$

تعريف : إذا كانت ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{m\times n$ و ${\displaystyle B=[b_{ij ]_{r\times q$ مصفوفتين نقول إذا A و B لهما نفس الشكل إذا كان m=r,q=n

المصفوفتان المتساويتان

نقول عن مصفوفتين A وB أنهما متساويتان إذا كان لهما نفس الشكل وكانت العناصر المتقابلة في كلا المصفوفتين متساوية

مثال : A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&0&-1&2\\4&5&-3&1\end{pmatrix \,$

B = ${\displaystyle {\begin{pmatrix x_{1 &x_{2 &x_{3 &x_{4 \\x_{5 &x_{6 &x_{7 &x_{8 \end{pmatrix \,$

تكون A وB متساويتان : نلاحظ حتى الشرط الأول محقق : A وB ,لهما نفس العدد من الأسطر وهو2 ونفس العدد من الأعمدة وهو4

أي حتى لهما نفس الشكل : الشرط الثاني : العناصر المتقابلة يجب حتى تكون متساوية في كلا المصفوفتين

${\displaystyle X_{1 =1$ , ${\displaystyle X_{2 =0$ , ${\displaystyle X_{3 =-1$

${\displaystyle X_{4 =2$ , ${\displaystyle X_{5 =4$ , ${\displaystyle X_{6 =5$

${\displaystyle X_{7 =-3$ , ${\displaystyle X_{8 =1$

منقول مصفوفة

لتكن ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{m\times n$ ندعوالمصفوفة ${\displaystyle A^{t$ بمنقول المصفوفة A وهي مصفوفة جديدة نحصل عليها من وضع أسطر المصفوفة A أعمدة وأعمدة A أسطراً مع المحافظة على ترتيب العناصر في هذه الأسطر والأعمدة .أي أن : ${\displaystyle A^{t =\left[a_{ij \right]_{m\times n \,$ مثال :

A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&3&5\\7&9&11\\0&2&-1\end{pmatrix \,$

${\displaystyle A^{t$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&7&0\\3&9&2\\5&11&-1\end{pmatrix \,$

ملاحظة ان منقول منقول المصفوفة هي المصفوفة الاولية نفسها . ${\displaystyle A^{t^{t$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&3&5\\7&9&11\\0&2&-1\end{pmatrix \,$

المصفوفة المتناظرة

لتكن ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{n$ مصفوفة مربعة من المرتبة n نقول عن هذه المصفوفة أنها متناظرة إذا تحقق الشرط التالي : ${\displaystyle a_{ij =a_{ji$ <-> ${\displaystyle A^{t$ = A

مثال ليكن لدينا المصفوفة المتناظرة A

A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&-1&4\\-1&3&5\\4&5&4\end{pmatrix \,$

${\displaystyle A^{t$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&-1&4\\-1&3&5\\4&5&4\end{pmatrix \,$ = A

المصفوفة المتناظرة تخالفياً

لتكن ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{n$ مصفوفة مربعة من المرتبة n نقول عن المصفوفة أنها متناظرة تخالفياً إذا تحقق :

${\displaystyle A^{t$ - = A

من التعريف نلاحظ حتى ${\displaystyle a_{ji$ - = ${\displaystyle a_{ij$ عندما j ≠ i

عندما i=j لدينا 2 ${\displaystyle a_{ii$ = 0 <--- ${\displaystyle a_{ii$ = ${\displaystyle -a_{ii$

أي حتى جميع عناصر القطر الرئيسي أصفار . مثال :

A= ${\displaystyle {\begin{pmatrix 0&1&-4\\-1&0&3\\4&-3&0\end{pmatrix \,$

${\displaystyle A^{t$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 0&-1&+4\\+1&0&-3\\-4&+3&0\end{pmatrix \,$

A= -1 * ${\displaystyle {\begin{pmatrix 0&-1&+4\\+1&0&-3\\-4&+3&0\end{pmatrix \,$ =- ${\displaystyle A^{t$

مرافق مصفوفة

مرافق عدد : ملاحظة : إذا كان a + i b عدداً عقدياً فإن مرافقه

${\displaystyle {\overline {a+ib$ = a - i b

تعريف : مرافق مصفوفة :

لتكن ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{m\times n$ مصفوفة ما .... ندعوالمصفوفة ${\displaystyle {\overline {A ={\overline {[a_{ij ] _{m\times n$ أو ${\displaystyle {\overline {A =[{\overline {a_{ij ]_{m\times n$ حيث ${\displaystyle a_{ij$ مرافق العدد ${\displaystyle a_{ij$ كما هومعهد بحقل الأعداد العقدية C

مثال A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&3&2\\4&i&5\end{pmatrix \,$

من المرتبة ${\displaystyle 3\times 2$

فيكون مرافق هذه المصفوفة هو A = ${\displaystyle {\begin{pmatrix 1&3&2\\4&-i&5\end{pmatrix \,$

من المرتبة ${\displaystyle 3\times 2$

المصفوفة الهرميتية

لتكن ${\displaystyle A=[a_{ij ]_{n$ مصفوفة مربعة ... نقول عن المصفوفة A أنها مصفوفة هرميتية إذا تحقق الشرط التالي : ${\displaystyle {\overline {A ^{t =A$

نلاحظ حتى المصفوفة المتناظرة حالة خاصة من المصفوفة الهرميتية عندما تكون المصفوفة حقيقية بحتة ${\displaystyle [a_{ij ]_{n$ = ${\displaystyle [{\overline {a_{ji ]_{n$