تعريف

هي مجموعة طرق تمثيل الأعداد وكتابتها بـ أنظمة العد

وضع قواعد هذه الأنظمة العالم العربي :الخوارزمي^[]

من أشهر نظم العد: الثنائي والثماني والعشري والسداسي عشر ولكنها غير محصورة في هذه النظم.

إن اشهر نظام عددي هوالنظام العربي- الهندي الذي ينتشر بشكل واسع في العالم .

مقدمة

في أي نظام عددي هناك عدة أمور يجب فهمها ومراعاتها :

مجال الأرقام التي يمكن التمثيل بها Domain
الأساس Base ولتوضيح هذا المفهوم نأخذ المثال التالي:

يمكن تمثيل أي عدد بشكل معادلة من الشكل لتأخذ شكل عشري

${\displaystyle ax^{n-1 +bx^{n-2 +cx^{n-3 +dx^{n-4 ...\,$

حيث n يمثل عدد الخانات، x أساس نظام العد.

بحيثقد يكون لكل حد :رقم أحد الخانات مضروباً بالعدد الأس (القاعدة) مرفوعا لقوة معينة

يوضع بجانب جميع عدد , رقم صغير يشير على نظام العد. أمثلة:

${\displaystyle 0101_{2 \,$ يشير على النظام الثنائي
${\displaystyle 18596_{10 \,$ النظام العشري
${\displaystyle 1576_{8 \,$ يشير على النظام الثماني
${\displaystyle A3F45_{16 \,$ النظام السداسي عشري

فوائد أنظمة العد

الثنائي

يستعمل من قبل الحاسب والدارات الكهربائية بشكل مباشر لفهم التعليمات البرمجية حيث يتميز بكونه يأخذ قيمتين 0و1 بحيث تتميز دارة إلكترونية بحالتين للجسيم حالة مرور تيار كهربائي اوعدمه وتتميز كما هوحال الديود والترانزستور ,و دارة كهربائية بحالة مغنطة الجسم اوعدمه كما هوحال القرص الصلب .

السداسي عشري

يستعمل لعنونة أماكن ذاكرة الوصول العشوائي RAM حيث يأخذ جميع قسم من الذاكرة رقم سداسي عشري.

العشري

مهم كونه النظام المتداول بالعالم وكونه يعتمد على عدد أصابع اليدين (كون الإنسان القديم اخترع نظام العد العشري اعتماداً على عدد أصابعه )

نظرة عامة عن أنظمة العد

النظام العشري Decimal System

المجال : (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9)
الأساسعشرة أي حتى أي عدد مكتوب بالنظام العشري يخط بدلالة ${\displaystyle 10^{x$

مثال على ذلك العدد ${\displaystyle 1234.21_{10 \,$ أويخط كالتالي: ${\displaystyle 1234.21_{d$

بشكل سلسلة كالتالي :

${\displaystyle 1\times 10^{3 +2\times 10^{2 +3\times 10^{1 +4\times 10^{0 +2\times 10^{-1 +1\times 10^{-2 \,$

${\displaystyle 1234.21=1000+200+30+4+0.2+0.01\,$

النظام الثنائي Binary System

التمثيل الموجب

ان التمثيل التالي يدعى التمثيل الموجب للاعداد الثنائية بحيث يمكن فقط تمثيل الاعداد الموجبة فقط . بحيث يتم تمثيل العدد على n خانة تمثل جميع خانة مضاعفات العدد 2 مضروبة برقم خانتها مطروحاً منها واحد , فالخانة الاولى تدل على ${\displaystyle 2^{0$ بينما الخانة رقمعشرة تمثل ${\displaystyle 2^{9$

المجال : (0-1)
يعتمد الأساس 2 أي حتى العدد ${\displaystyle 1011_{2 \,$ أو ${\displaystyle 1011_{B \,$ يخط بشكل سلسلة :

${\displaystyle 1\times 2^{3 +0\times 2^{2 +1\times 2^{1 +1\times 2^{0 \,$

${\displaystyle 8+0+2+1=11_{10 \,$

تمثيل المطال والإشارة Sign Magnitutde

يعتمد نفس التمثيل السابق ولكن لتميل الاعداد السالبة التي لا يستطيع التمثيل السابق تمثيلها نخصص خانة لتدل على اشارة الرقم طالما كان الرقم موجب تملك القيمة 0 وفي حال كان سالب تملك قيمة 1 تكون تلك الخانة عادة الخانة الاخيرة من الرقم . ان الترميز السابق لا يعتمد من قبل الحاسب وانما هناك نظم ترميز اخرى .

مثال لتمثيل العدد ثلاثة ممثلاً علىخمسة خانات

3 = ${\displaystyle (2^{0 )*1+(2^{1 )*1+(2^{2 )*0+(2^{3 )*0+(2^{4 )*0$

مثال لتمثيل العدد 3- ممثلاً علىخمسة خانات

3 - = ${\displaystyle (2^{0 )*1+(2^{1 )*1+(2^{2 )*0+(2^{3 )*0+(2^{4 )*1$

الاتمام الى 2 complement 2's

ان النظام المتبع في تمثيل الاعداد على الحاسب هي الاتمام الى 2 . يتم تمثيل جميع خانة كما في التمثيل الثنائي الموجب ولكن الخانة الاخيرة يتم ضربها باشارة سالبة وذلك لتمثيل الاعداد الموجبة والسالبة .

مثال : لتمثيل العدد ثلاثة علىخمسة خانات

3 = ${\displaystyle (2^{0 )*1+(2^{1 )*1+(2^{2 )*0+(2^{3 )*0+(2^{4 )*0$

3- = ${\displaystyle (2^{0 )*1+(2^{1 )*0+(2^{2 )*1+(2^{3 )*1+(-2^{4 )*1$

استخدامات: يستخدم الترميز الثنائي بشكل اساسي في الحاسب اكثر من غيره من انظمة العد الاخرى .

النظام الست عشري Hexadecimal System

المجال (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-F-E-D-C-B-A)
قاعدة هذا النظام هي 16

الأرقام من الصفر حتىتسعة كما هي لكن بدءاً منعشرة إلى 15 يرمز لها بالحروف من A إلى F كالتالي:

${\displaystyle A=10\,$ , ${\displaystyle B=11\,$ , ${\displaystyle C=12\,$ , ${\displaystyle D=13\,$ , ${\displaystyle E=14\,$ , ${\displaystyle F=15\,$