درس:مقدمة في الأعداد العقدية
مجموعة الأعداد العقدية
تعهد مجموعة الأعداد العقدية التي نرمز لها بالرمز (C|) بأنها جميع الكميات من الشكل a+ib فإذا كان Z ∈ |C يمكن كتابته بالشكل Z=a+ib
نسمي a بالقسم الحقيقي للعدد العقدي ونرمز له بالرمز Re(Z)=a
نسمي b بالقسم التخيلي للعدد العقدي ونرمز له بالرمز Im(Z)=b
كما نسمي i بالوحدة التخيلية وتساوي (-1)√ (جذر الـ -1) أي (i = √(-1
تساوي عددين عقديين
إذا كان و ينتميان إلى (C|)
نقول حتى إذا كان و
العمليات على الأعداد العقدية
جمع (طرح) عددين عقدين
إذا كان و ينتميان إلى (C|)
فعندئذ يعهد جمع (طرح) هذين العددين بالشكل التالي :
(∓ = ∓ + i (∓
ضرب عددين عقديين
إذا كان و ينتميان إلى (C|)
عندئذ نعهد جداءهما بالشكل :
(× = − +i( +
قسمة عددين عقديين
إذا كان و ينتميان إلى (C|)
عندئذ نعهد قسمة Z =
فبفرض Z = α + iβ
لدينا
نعوض فنجد
( = (α + iβ)(
(+i = (α - β )+i(α + β
بالمطابقة نجد
= α - β
= α + β
بحل جملة المعادلتين السابقتين بحسب أي طريقة (حسب كرمر مثلاً) تنتج α وβ التين تمثلان مركبات العدد العقدي Z = /
الحل :
ويكون :
طويلة العدد العقدي
إذا كان ينتمي إلى (C|) فعندئذ تعهد طويلة ها العدد بالشكل |Z| وتساوي (Z|=√(a^2+b^2| وهي دوماً أكبر أوتساوي الصفر
مرافق عدد عقدي
إذا كان ينتمي إلى (C|) فعندئذ يعهد مرافقه بالشكل التالي إذا كان
نظريات
نظرية 1
- طويلة العدد العقدي يساوي إلى طويلة مرافقه
- مربع طويلة عدد عقدي يساوي إلى العدد العقدي بمرافقه
- القيمة المطلقة للقسم الحقيقي للعدد العقدي أصغر أوتساوي العدد العقدي
- القيمة المطلقة للقسم التخيلي للعدد العقدي أصغر أوتساوي العدد العقدي
- أصغر أوتساوي
- أصغر أوتساوي
نظرية 2
- مرافق مجموع عددين عقديين يساوي إلى مرافق الأول مجموعاً إليه مرافق الثاني
- مرافق ضرب عددين عقديين يساوي إلى مرافق الأول مضرب بمرافق الثاني
- مرافق قسمة عددين عقديين يساوي إلى مرافق الأول مقسوماً عليه مرافق الثاني بحيث الثاني لا يساوي الصفر
تعريف المتحول العقدي
إذا كان متحولين عندئذ يسمى بالمتحول العقدي
نظرية
إن معادلة الدائرة التي مركزها ونصف قطرها r تعطى بالعلاقة
تعريف القرص الدائري المغلق
هومجموعة من النقاط Z تحقق المتراجحة أصغر أوتساوي r قرص دائري مغلق مركزه
تعريف القرص الدائري المفتوح
هومجموعة من النقاط Z تحقق المتراجحة أصغر تماماً من r قرص دائري مفتوح مركزه
إذا كان r تساوي إبسلون (حيث إبسلون صغير بما فيه الكفاية) نسمي النقاط Z التي تحقق المتراجحة أصغر تماماً من إبسلون بجوار النقطة
تعريف الحلقة الدائرية المغلقة
إذا كان و دائرتان متحدتان بالمركز نصف قطريهما على الترتيب و بحيث حتى أصغر من عندئذ تسمى مجموعة النقاط Z التي تحقق المتراجحة بحلقة دائرية مغلقة مركزها ,وبشكل مشابه تعهد الحلقة الدائرية المفتوحة .
الشكل المثلثي أوالقطبي للعدد العقدي
إذا كان عدداً عقدياً فعندئذٍ يعهد الشكل المثلثي لهذا العدد بالشكل : < حيث (r=√(x^2+y^2 وθ هي زاوية العدد العقدي أومضمونه أوسعته
(θ=Arg(Z وِArg هوالوسيط
يتم الصول على الزاوية θ كما يلي :
- إذا كان x أكبر من صفر (θ=arc tan (y/x
- إذا كان x أصغر من الصفر وy أكبر أوتساوي الصفر θ=arc tan(y/x)+π
- إذا كان x أصغر من الصفر وy أصغر من الصفر θ=arc tan(y/x)-π
- إذا كان x تساوي الصفر وy أكبر من الصفر θ=π/2
- إذا كان x تساوي الصفر وy تساوي الصفر θ=-π/2
الشكل الأسي للعد العقدي
إذا كان عدداً عقدياً عندئذ يعهد العدد لاأسي لهذا العدد بالشكل التالي (Z=r e^(iθ
حيث (r=√(x^2+y^2 وtan θ = y/x
ملاحظة :
إذا كان (Z=r e^(iθ عندئذ فإن مرافقه يساوي (Z=r e^(-iθ
e^(i(θ_1+θ_2
e^(i(θ_1-θ_2
نظرية
- e^(iθ)=cosθ+i sinθ
- ((e^(iθ)=e^(i(θ+2πk بحيث k = ∓1 ,∓2 ,∓3,....etc
قوى وجذور العدد العقدي
إذا كان n عدداً طبيعياً وكان Z عدداً عقدياً فإننا نرمز لجداء Z بنفسه n مرة Z^n
فإن كان (Z=r e^(iθ فإن (Z^n=r^n e^(inθ
إذا كان r=1 فعندئذ (e^(iθ)n=e^(inθ
e^(iθ)n=(cosθ+i sinθ)^n
(e^(iθ)n=(cos nθ+i sin nθ
وتسمى العلاقة الأخيرة بعلاقة ديم وافر
إذا كان Z عدداً عقدياً وطلب منا ايجاد الجذر النوني لهذا العدد فإننا نتبع المراحل التالية :
من العلاقة الأخيرة يعطى الجذرالنوني للعدد العقدي