قياس (رياضيات)
يعتبر القياس في الرياضيات دالة تقوم بربط عدد ما يدعى الحجم أوالسعة أوالاحتمال بمجموعة جزئية من مجموعة كبرى. وهذا المفهوم للقياس الرياضي يعتبر أساسيا في التحليل الرياضي ونظرية الاحتمالات. تتطور هذا المفهوم من الحاجة لإجراء مكاملة على مجموعات اعتبارية غير معينة بدلا من إجراء التكامل بالكيفية التقليدية.
نظرية القياس تشكل أحد أجزاء التحليل الحقيقي الذي يبحث في جبر سيگما، القياسات ، دوال القياس والتكاملات. وتعتبر ذات اهمية خاصة في نظرية الاحتمالات والإحصاء.
التعريف
رسمياً, القياس μ هوتعبير عن دالة فهم على يدعى (Σ) على المجموعة X بقيم ضمن المجال [0, ∞] بحيث يتم تحقيق الخواص التالية :
- المجموعة الخالية لها قياس صفر:
- قابلية الإضافة العدودة أوقابلية الإضافة-سيگما: إذا كان E1, E2, E3, ... تعبير عن متتالية عدودة من مجموعات متفارقة disjoint sets مثنى مثنى ضمن Σ, فيكون قياس اجتماع جميع E مساويا ل مجموع القياسات لجميع E:
الثلاثية (X,Σ,μ) تدعى عندها فضاء القياس measure space ، وعناصر Σ تدعى مجموعات مقيسة أوقابلة للقياس measurable sets .
انظر أيضاً
- Outer measure
- Inner measure
- قياس هاوسدورف Hausdorff measure
- Product measure
- Pushforward measure
- Lebesgue measure
- قياس المتجهات Vector measure
- Almost everywhere
- Lebesgue integration
- Caratheodory extension theorem
- Measurable function
- Geometric measure theory
- Volume form
- Fuzzy measure theory
الهامش
*