متتالية فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي أوأعداد فيبوناتشي في الرياضيات هي الأرقام التي تكون في المتتالية التالية:

{\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots .

بتعريفها فإن أول من أرقام فيبوناتشي هما 0 و1، ويكون جميع رقم هونتاج مجموع الرقمين السابقين له. بعض المدارس حذفت الرقم 0 الأساسي واستبدلته بالرقم 1 مرتين.

تبليط المربعات بحيثقد يكون الجانبين هما ارقام فيبوناشي المتتالية في الطول

يوبانا^‏‏ (وتعني بالكيشوا أداة عد) وهي آلة حسابية استخدمها الإنكا. يعتقد الباحثون بأن تلك الحسابات اعتمدت على أرقام فيبوناشي لتقليل عدد الحبوب اللازمة لكل حقل.

لولب فيبوناتشي بطريقة رسم أقواس متصلة بالزوايا المتقابلة من المربعات في تبليط فيبوناتشي، ويستخدم لأحجام المربعات التالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، انظر الدوامة المضىية^‏‏

تعهد المتتالية F_n لرقم فيبوناتشي بالوصف الرياضياتي بالعلاقة المتكررة^‏‏

{\displaystyle F_{n =F_{n-1 +F_{n-2 ,\!\,

مع القيم الناتجة منها

{\displaystyle F_{0 =0\quad {\text{and \quad F_{1 =1.

سميت متتالية فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردوالبيسي والمعروف باسم فيبوناتشي (باللاتينية: Fibonacci) وتعني ابن بوناشيوfilius Bonaccio. وكتابه الذي ألفه سنة 1202 ومسماه ليبري أباتشي^‏‏ حيث عهد المتتالية في رياضيات الغرب الأوروبي، وقد كانت تلك المتتالية معروفة وموصوفة بالسابق في الرياضيات الهندية.

استخدمت أرقام فيبوناتشي في تحليل الأسواق المالية، في استراتيجيات مثل ارتداد فيبوناتشي وفي خوارزميات االكمبيوتر مثل تقنية فيبوناتشي للبحث^‏‏ وهيكلة بيانات تكدس فيبوناتشي^‏‏. وهي تظهر أيضا في الترتيبات البيولوجية، مثل تفريعات الأشجار، ترتيب الأوراق على الساق^‏‏ وطرف الثمرة من الأناناس وتفتح الخرشوف والسرخس غير المتجعد وترتيب مخروط الصنوبر^‏‏.

الأصول

عهد الهنود القدماء متتالية فيبوناتشي قبل ظهورها في أوروبا، حيث طبقوها في فهم أوزان الشعر^‏‏.

واتى الدافع لذلك من العروض السنسكريتية، حيث المقاطع الطويلة لها فترة = 2 والمقاطع القصيرة لها فترة = 1. يمكن تشكيل أي نمط له فترة ن وذلك بإضافة مبتر قصير إلى نمط من فترة ن − 1، أومبتر طويل لنمط من فترة ن − 2 ، وبالتالي فإن عروض الشعر تظهر حتى عدد أنماط فترة ن هومجموع الرقمين السابقين من التسلسل. وبعد ذلك بدأ المؤلفون باستخدام الخوارزميات لتصنيف أوعدم تصنيف تلك الأنماط (بمعنى إيجاد النمط المرقم بالكاف من الفترة ن)، مما أدى لاكتشاف أرقام فيبوناتشي عليا. وقد استعرض دونالد كانوث تلك النتيجة في كتابه فن برمجة الحاسوب.

وقد بدأ ليوناردوالبيسي المعروف باسم فيبوناتشي بدراسة تلك المتتالية في أوروبا في كتابه ليبر أباتشي^‏‏ (1202). واعتبر النموعلى افتراض (وهوغير سليم في فهم الأحياء) مجموعة ارانب كالتالي: حقل به زوج من الأرانب حديثي الولادة إحداهما ذكر والآخر انثى، فالأرانب بإمكانها التزاوج عند بلوغ الشهر، لذا ففي نهاية الشهر التالي تكون الأنثى قد ولدت زوج من الأرانب؛ بافتراض أنه لم يمت أي أرنب خلال مدة معينة وبافتراض حتى في جميع شهر ينتج زوج من الأرانب (ذكر وأنثى) بدأ من الشهر التالي. فكان اللغز الذي طرحه فيبوناتشي هو: كم سيكون عدد الأزواج في السنة الواحدة؟

في نهاية الشهر الأول سيحصل تزاوج، ولكن يبقى حتى هناك زوجا واحدا فقط.
في نهاية الشهر التالي، الأنثى تلد زوجا جديدا، لذا سيكون هناك زوجين من الأرانب في الحقل.
في نهاية الشهر الثالث، الأنثى الأصل تلد زوجا جديدا، مما يصبح العدد هوثلاثة أزواج من الأرانب في الحقل.
في نهاية الشهر الرابع الأنثى الأصل تلد زوجا من الأرانب، والأنثى التي ولدت قبل شهرين تلد أول زوج لها من الأرانب. مما يصبح العدد هوخمسة أزواج.

وفي نهاية المطاف عند الشهر ن، عدد الأزواج من الأرانب يساوي عدد الأزواج المواليد (حيث هوعدد الأزواج في الشهر ن-2) زائد عدد الأزواج الأحياء عند آخر شهر. هذا هوأوالعدد ن لمتتالية فيبوناتشي.

لائحة متتالية فيبوناتشي

أول 21 من أرقام فيبوناتشي (sequence A000045 in OEIS)، ومرقمة بالعلامة F_ن حيث ن = 0, 1, 2,... ,20 هي:

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

قد يظهر ملاحظا حتى المرة 21 (13+34) تساوي 987. أوتلكم المرة 34 (21+55) تساوي 2584. باستخدام العلاقة المكررة يمكن للتسلسل حتى يمتد إلى مؤشر سلبي ن. نتيجة ترضي المعادلة

فتكون المعادلة لتلك النتائج

{\displaystyle F_{-n =(-1)^{n+1 F_{n .\!\,

وهذا التسلسل كاملا

{\displaystyle \ldots ,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots

الصيغة العامة

الصيغة العامة لمتتالية فيبوناتشي هي : ${\displaystyle F(n)={\frac {1 {\sqrt {5 (\varphi ^{n -\varphi '^{n )$ مع : ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5 {2 \,$ و ${\displaystyle \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5 {2 \,$

وهذه بعض القيم: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,...

ويقترب ناتج قسمة جميع رقم بما قبله من 1.618 شيئا فشيئا للرقم المضىي ويسمى هذا الرقم أيضا برقم التناسب المقدس والنسبة المضىية.

علاقتها بمسألة سيراكيز

أنظر أيضا

فيبوناتشي

مصادر

^ http://www.quipus.it/english/Andean%20Calculators.pdf
^ Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28–30, 1986. ISSN 0047-6269].
^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
^ S. Douady and Y. Couder (1996). "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF). Journal of Theoretical Biology. 178 (178): 255–274. doi:10.1006/jtbi.1996.0026.
^ Jones, Judy (2006). "Science". An Incomplete Education. Ballantine Books. p. 544. ISBN . Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
^ A. Brousseau (1969). "Fibonacci Statistics in Conifers". Fibonacci Quarterly (7): 525–532.
^ Susantha Goonatilake (1998). . Indiana University Press. p. 126. ISBN .
^ Donald Knuth (2006). . Addison-Wesley. p. 50. ISBN .
^ Rachel W. Hall. Math for poets and drummers. Math Horizons 15 (2008) 10-11.
^ Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN . Chapter II.12, pp. 404–405.
^ Knott, Ron. "Fibonacci's Rabbits". جامعة سري كلية الهندسة والعلوم الفيزيائية.
^ By modern convention, the sequence begins with F₀=0. The Liber Abaci began the sequence with F₁ = 1, omitting the initial 0, and the sequence is still written this way by some.
^ The website [1] has the first 300 F_n factored into primes and links to more extensive tables.