أعداد أولية فيما بينها

يكون عددان أوليين فيما بينهما Coprime integers عندماقد يكون القاسم المشهجر الأكبر بينهما والذي يمكن إيجاده باستعمال خوارزمية اقليدس، مساويا للعدد 1. كما هوالشأن على سبيل المثال لا الحصر مع العددين 15 و32.

خصائص

العددان أربعة و9 أوليان فيما بينهما. لذلك قطر الشبكة المكونة من أربعة *تسعة نقطة لا يمر بأي نقطة من نقط الشبكة

متطابقة بوزو: العددان السليمان a وb أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا عثر عددان سليمان x وy بحيث ${\displaystyle ax+by=1$ .
مبرهنة گاوس: إذا كان a وb أوليين فيما بينهما وa يقسم الجذاء bc، فإن a يقسم c.

تعميمات

الاحتمالات

ليكن a وb عددين سليمين اُختيرا بصفة عشوائية. من الطبيعي حتى يطرح المرء السؤال ما احتمال حتىقد يكون هذان العددان أوليين فيما بينهما ؟

احتمال حتىقد يكون عدد ما قابلا للقسمة على عدد ما ${\displaystyle p$ ، هو ${\displaystyle 1/p$ . على سبيل المثال، خلال النظر إلى الأعداد الطبيعية الواحد تلوالآخر، يلاحظ حتى جميع سابع عدد قابلٌ للقسمة على 7. إذن، احتمال حتىقد يكون عدد ما قابل للقسة علىسبعة هو1/7. وبالتالي، احتمال حتىقد يكون عددان قابلين للقسمة على عدد ${\displaystyle p$ ، هما معا، هو ${\displaystyle 1/p^{2$ ، واحتمال حتى أحدهما أوكلاهما، غير قابل للقسمة على ${\displaystyle p$ هو ${\displaystyle 1-1/p^{2$ .

{\displaystyle \prod _{p ^{\infty \left(1-{\frac {1 {p^{2 \right)=\left(\prod _{p ^{\infty {\frac {1 {1-p^{-2 \right)^{-1 ={\frac {1 {\zeta (2) ={\frac {6 {\pi ^{2 \approx 0.607927102\approx 61\%.

حيث تشير ζ إلى دالة زيتا لريمان.

توليد جميع أزواج الأعداد الأولية فيما بينها

ترتيب توليد أزواج الأعداد الأولية فيما بينها بواسطة هاته الخوارزمية. الزوج الأول (2,1) بُين باللون الأحمر, أبناؤه الثلاث بُينوا باللون البرتنطقي, الجيل الثالث بُين باللون الأصفر, إلى غير ذلك في ترتيب ألوان قوس قزح.

الفرع الأول: ${\displaystyle (2m-n,m)$
الفرع الثاني: ${\displaystyle (2m+n,m)$
الفرع الثالث: ${\displaystyle (m+2n,n)$