نظام العد numeral system، هوطريقة عرض الأعداد برسوم محددة والتعامل معها للتعبير عن قيمتها وكيفية تطبيق العمليات الحسابية عليها.وتستخدم أنظمة عد مختلفة لعرض الأعداد. فمثلاً العددين ₁₆(2A) و₈(52) يعنيان نفس القيمة ₁₀(42) ولكن بطريقة عرض مختلفة. طريقة عرض الأعداد بأنظمة مختلفة هونفس طريقة عرض الحدثات في اللغات المتنوعة فمثلاً الحدثة cheval (حدثة فرنسية) والحدثة equus (حدثة لاتينية) والحدثة horse (حدثة إنجليزية) لهم نفس المعنى "حصان".

مثلما نستخدم الرسوم (الحروف) لإنشاء الحدثات في اللغة، كذلك نستخدم الرسوم (الأرقام) لعرض الأعداد. وكما نفهم فإن عدد الحروف في أي لغة محدد لذا نعيد تكرارها لإنشاء حدثات جديدة ومتعددة. نفس الشي مع الأرقام فعددها محدود (على سبيل المثال، في النظام العشري هناكعشرة أرقام فقط ، وفي الثنائي عددين فقط) مما يحتم علينا تكرارها لإنشاء الأعداد. تعهد أنظمة العد التي تستخدم هذه الطريقة بالأنظمة الموضعية وتمثل نتاج التطور البشري على مدى العصور المتنوعة، هذا النوع من الأنظمة العددية يستخدم موضع (مكان) الرقم (الرمز أوالرسم) لتحديد " قيمة " الرمز في العدد، حيث تستخدم الدالة التالية لتوضيح طريقة عرض أي عدد بأستخدام رموز النظام العددي الموضعي :

n = ± Sk-1 × bk-1 + Sk-2 × bk-2 +...+ S1 × b1 + S0 × b0 + S-1 × b-1 + S-2 × b-2 + ... + S-L × b-L

حيث حتى الرمز (n) يمثل عدد ما. والرمز (±) يمثل إشارة العدد (n) (سالبة أوموجبة). والرمز (S) يمثل " أحد " رموز النظام العددي . والرمز (b) يشير لأساس النظام العددي (عشري أوثنائي أو...)،بينما يشيران (k) أسفل الرمز (S)، و(L) أس الرمز (b) إلى الترتيب المكاني للرمز.

يجب الإشارة هنا لمجموعة من الملاحظات على الدالة السابقة نسردها فيما يلي :

إذا أفترضنا حتى العدد (1234.5678)₁₀ هوعدد من النظام العشري (وهوأكثر الأنظمة تداولاً في واقعنا) نجد أنه يملك خصائص الدالة السابقة ونتطرق لها فيما يلي :

1- الرمز (b) يعتبر عدداً هاماً لتحديد نوع النظام العددي حيث حتى جميع نظام يملك أساس (Base أوradix ) خاص به وهذا العدد يساوي عدد الرموز المستخدمة في نظام محدد. في مثالاً العددي قيمة (b) هي "عشرة " لأن عدد الرموز المستخدمة في النظام العشري عددها عشرة رموز (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9).

2- القيمة الموضعية للرمز (S) أو(b) أما حتى تكون سالبة أوموجبة حيث حتى القيمة الموجبة(k) هي إشارة إلى حتى الرمز ينتمي إلى عدد سليم، والقيمة السالبة (L) إشارة إلى حتى الرمز ينتمي إلى عدد كسري. لذا فإن الرمز ذوالقيمة الموجبةقد يكون يمين الفاصلة (. أو,) والرمز ذوالقيمة السالبةقد يكون يسار الفاصلة.

3- لتمييز العدد السليم من العدد الكسري في الحياة اليومية فإنه يفصل بينهما بفاصلة (. أو,) لتسهيل عملية قراءة العدد.

4- من الدالة السابقة نلاحظ حتى القيمة الموضعية لأول رمز من اليمين في "الجزء السليم " من العدد(في المثال الرمز 4) هي صفر، بينما القيمة الموضعية لآخر رمز من " الجزء السليم" من العدد (في المثال الرمز 1) هي (k-1)حيث k هوعدد المواضع التي خط عليها الجزء السليم من العدد(عدد المواضع للجزء السليم في المثال (4) مواضع).

5- من الدالة السابقة نلاحظ حتى القيمة الموضعية لأول رمز من اليسار في " الجزء الكسري " من العدد (في المثال الرمز 5) هي (-1)، بينما القيمة الموضعية للآخر رمز من " الجزء الكسري " من العدد (في المثال الرمز 8) هي (L-) حيث L هوعدد المواضع التي خط عليها الجزء الكسري من العدد(عدد المواضع للجزء الكسري في المثال (4) مواضع).

التاريخ

كان لدى الرومان نظام عدّ يعتمد على رسم تتابع من الأشكال، تعبر في مجموعها عن عدد ما وليس فيها استخدام للخانات أوالصفر، أنظر الأعداد الرومانية. ونجح الهنود والمايا بالوصول إلى تقييم الأرقام تبعاً لمراكزها في الخانات وقام الهنود بإيجاد رسم معين لكل رقم مما مكنهم من القيام بعمليات حسابية كبيرة استحالت على غيرهم.

ولكن الهنود لم يعهدوا الصفر في بداية نظامهم، فكان يضطرون لوضع علامة لتمييز العدد 408 عن 48 مثلاً، وقاموا بشغل الفراغ الضروري للعمليات الرياضية بدائرة أونقطة وأطلقوا عليه اسم الفراغ أوالثقب ورسموه على شكل دائرة أونقطة. ويبدوحتى العرب هم من أعطوا الصفر قيمة حسابيّة بالرغم من حتى الهنود كانوا قد استخدموه كشكل للتمييز، وأبقى العرب على رسمه الهندي، وأوضح الخوارزمي في كتاباته دور الصفر في عمليات الجمع والطرح مثل 75-35 = 40 فنطق: "في عمليات الطرح، إذا لم يكن هناك باق، نضع صفراً ولا نهجر المكان خاليا حتى لا يحدث لبس بين خانة الآحاد وخانة العشرات".ويضيف "إن الصفر يجب انقد يكون عن يمين الرقم، لأن الصفر على يسار الاثنين مثلا 02 لا يغير من قيمتها ولا يجعل منها عشرين" ونلاحظ حتى الشعوب التي اخذت النظام العربي المطور عن النظام الهندي قد نقلوهذا النظام حرفيا في طريقة كتابته اي من اليمين إلى اليسار وبعضهم حتى نظام قرائتها كالألمان مثلا.

ومن الأنظمة التي استخدمت أيضا انظمة تعتمد على تقسيم الأعداد إلى منازل من ستين وأخرى من 12، ومن الموروث الحضاري لهذه الأنظمة نظام الوقت، الدقائق والساعات المستخدم.

ويبدوا ان البابلين استخدموا نظاما ستينيا في كتابة ارقامهم التي كانت على الشكلين V و> تعبيرا عن الواحد والعشرة، ورسموهم في مجموعات يعبر تتابعها عن ضرب جميع مجموعة إلى بستين مرفوعة لقوة مقدارها ترتيب المجموعة ابتداء من الصفر، تماماً كما في النظام العشري الذي ابدلت فيه الخانات بالمجموعات.

أنظمة العد الرئيسية

النظام العشري

النظام الأوسع انتشاراً هوالنظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلاً الرقمستة يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية، وقد تم ابتداع الصفر في فترة متأخرة نسبياً عن ابتداع الأرقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير عن خلوهذه الخانة من القيمة.

النظام الثنائي

النظام الثنائي هونظام يستخدم بشكل واسع في الحاسوب، حيث يشكل حجر الأساس لتصميم عمل الحواسب الحالية، وهومرتبط بالمنطق بشكل كبير والترانزيستور والبوابات الالكترونية هي تطبيقات عملية على نظام العد الثنائي والمنطق.

نظام التشفير الثنائي العشري

هونظام يتم فيه تمثيل الرقم العشري باستخدام النظام الثنائي ليتمكن الحاسوب من التعامل معها. وفيه يتم تمثيل جميع خانة عشرية بأربعة خانات ثنائية للحصول على الرقم بنظام البي.سي.دي.

يمكن لأربع خانات بالنظام الثنائي تمثيل الأرقام العشرية من ٠ إلى ١5 ولكن بما حتى الخانة العشرية يمكنها تمثيل من ٠ إلى ٩ فقط فتبقى ستة احتمالات غير مستخدمة لكل أربع خانات في نظام البي.سي.دي.

النظام الأوسع انتشارا هوالنظام العشري المعتمد على الخانات والصفر للتعبير عن الاختلافات بين قيم رسم الرقم الواحد فمثلا الرقمستة يحمل قيمة ستون عندما يوضع في الخانة الثانية، وقد تم ابتداع الصفر في فترة متأخرة نسبيا عن ابتداع الأرقام واستخدم مع نظام الخانات للتعبير عن خلوهذه الخانة من القيمة.

النظم الموضعية المفصلة

الموضع	3	2	1	0	−1	−2	. . .
Weight	${\displaystyle b^{3$	${\displaystyle b^{2$	${\displaystyle b^{1$	${\displaystyle b^{0$	${\displaystyle b^{-1$	${\displaystyle b^{-2$	${\displaystyle \dots$
Digit	${\displaystyle a_{3$	${\displaystyle a_{2$	${\displaystyle a_{1$	${\displaystyle a_{0$	${\displaystyle c_{1$	${\displaystyle c_{2$	${\displaystyle \dots$
Decimal example weight	1000	100	10	1	0.1	0.01	. . .
Decimal example digit	4	3	2	7	0	0	. . .

الأعداد من 0 إلى 20 بأنظمة عد مختلفة

انظر أيضاً

المصادر

المراجع

• Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3.
• D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, "Positional Number Systems".
• A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
• J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
• Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund (1993). Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. ISBN .
• Schmandt-Besserat, Denis (1996). How Writing Came About. University of Texas Press. ISBN .
• Zaslavsky, Claudia (1999). Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. ISBN .

وصلات خارجية

• Numerical Mechanisms and Children's Concept of Numbers
• Software for converting from one numeral system to another
• Online conversion of fractional numbers between numeral systems
• Open source numeral systems converter
• Open source numeral systems calculator
• Online multi numeral system converter