الطوبولوجيا التفاضلية

في الرياضيات، الطوبولوجيا التفاضلية هي الحقل الذي يتعامل مع دالة قابلة للمفاضلة differentiable على متعدد فروع Manifold قابل للمفاضلة أيضا ، يظهر طبيعياً مِنْ دراسة نظرية المعادلات التفاضلية .

أما الهندسة التفاضلية فهي دراسة الهندسة بإستعمال حساب التفاضل والتكامل. هذه الحقولِ مترابطة ، ولها الكثير من التطبيقاتِ في الفيزياء، بشكل خاص في نظرية النسبية. وهم سويةقد يكونون النظرية الهندسية لمتعددات الفروع القابلة للمفاضلة - الذي يمكّن أيضاً من دراستهم مباشرة من وجهة نظر نظام ديناميكي .

جوهري لقاء عرضيِ

منذ البداية وحتى منتصف القرن التاسع عشر، درِست الهندسة التفاضلية من وجهة نظر عرضية : حيث يتم اعتبار المنحنى ،والسطح واقعين في فضاء إقليدي ذوأبعاد أكثر (على سبيل المثال سطح في فضاءِ بيئيِ مِنْ ثلاثة أبعاد). إنّ النَتائِجَ الأسهلَ تلك في هندسة تفاضلية للأقواسِ. كانت البداية بعملِ ريمان،حيث طُوّرتْ وجهة نظر الجوهرية ، وفيها لا يمكن الكَلام عن نقلخارج' الجسمِ الهندسيِ خارجا لأنه يعتَبَرُ أساسا معهدا بشكل حر .

إنّ وجهةَ النظر الجوهرية أكثر مرونة، فهوعلى سبيل المثال مفيدة في النسبيةِ حيث لا يمكن أَن يؤخذ الزمكان بشكل عرضي. وفق وجهة النظر الجوهرية من الصعب تعريف التقوس وتراكيب أخرى مثل الإتصال الرياضي، لذا هناك صعوبات تفرضها وجهة النظر هذه .

وجهتي النظر هاتين يُمْكِنُ أَنْ تُصالحا، وبمعنى آخر: الهندسة العرضية يُمْكِنُ أَنْ تعتَبر كإضافة هجريبِ إلى الجوهريةِ .

هندسة المنحنيات التفاضلية

قائمة بمواضيع المنحنيات
Frenet-Serret formulas
المنحنيات في الهندسة التفاضلية
عنصر خط
انحناء Curvature
نصف قطر الانحناء Radius of curvature
Osculating circle
منحني Curve

هندسة السطوح التفاضلية

سطح محكوم Ruled surface
سطح مخروطي Conical surface
انحناء متوسط Mean curvature
Theorema egregium
مبرهنة غاوس-بينيت Gauss-Bonnet theorem

الحسبان على متعددات التفرع Gauss-Bonnet theorem

حسبان متعدد المتغيرات,
متعدد التفرع Manifold
شعاع مماسي أومتجه مماسي Tangent vector
فضاء مماسي Tangent space
حزمة مماسات Tangent bundle
فضاء مماسي مرافق Cotangent space
حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
حقل شعاعي Vector field
حقل تينسوري Tensor field
شكل تفاضلي Differential form
مشتق خارجي Exterior derivative
مبرهنة فوربينيوس Frobenius theorem
اتصال (رياضيات) Contact (mathematics

طوبولوجيا تفاضلية

تشاكل تفاضلي Diffeomorphism
- Large diffeomorphism
قابلية توجيه Orientability
مبرهنة ويتني المضمرة Whitney embedding theorem
قيمة حرجة Critical value
نقطة سادل Saddle point
نظرية مورس Morse theory
مشتق لاي Lie derivative
مبرهنة هيري بول Hairy ball theorem
مبرهنة بوانكاريه-هوبف Poincaré-Hopf theorem
مبرهنة ستوكس Stokes' theorem
De Rham cohomology
مفارقة سميل Smale's paradox

حزم ليفية Fiber bundles

Fiber bundle
حزمة مبدئية Principal bundle
- حزمة إطار Frame bundle
- حزمة هوبف Hopf bundle
حزمة مترافقة Associated bundle
حزمة شعاعية Vector bundle
- حزمة مماسية Tangent bundle
- حزمة مماسية مرافقة Cotangent bundle
- حزمة خط Line bundle
حزمة مفصلية Jet bundle

هندسة ريمانية

List of coordinate charts
تينسور متري Metric tensor
متعدد تفرع ريماني Riemannian manifold
هندسة لااقليدية Non-Euclidean geometry
- زيادة زاوية Angle excess
- عالم-كرة Sphere-world
معامل نجمة هودج Hodge star operator
حقل شعاع قاتل Killing vector field
جيوديسي Geodesic
- جيوديسي أولي Prime geodesic
Geodesic flow
إسقاط أسي Exponential map
Injectivity radius
حقل جاكوبي Jacobi field
مبرهنة المجانسة Uniformization theorem
مبرهنة مايرز Myers theorem
فضاء متناظر Symmetric space
سطح فائق Hypersurface
مبرهنة ناش المضمرة Nash embedding theorem
مبرهنة الانضغاط لغروموف Gromov's compactness theorem
حدسية هسيانغ-لاوسون Hsiang-Lawson's conjecture
متعدد تفرع جزئي ريماني Riemannian submanifold

بنى متعددة

متري جوهري Intrinsic metric
متعدد تفرع ريماني كاذب Pseudo-Riemannian manifold
متعدد تفرع ريماني-جزئي Sub-Riemannian manifold
نسبية عامة General relativity
هولونومي (تقييد تام) Holonomy ، هولونومي محلية
G-structure
متعدد تفرع معقد Complex manifold ،
متعدد تفرع معقد تقريبا Almost complex manifold
متعدد تفرع كيلر Kähler manifold
- Calabi-Yau spaces
Hyperkähler manifold
Symplectic topology
هندسة اتصال Contact geometry
G2 manifold
Foliation
شروط التكاملية للجمل التفاضلية
هندسة فينسلر Finsler geometry
هندسة معلومات Information geometry

انحناء Curvature

الموضوعة الرئيسية : انحناء متعدد تفرع ريماني

Theorema Egregium
مبرهنة غاوس-بونيت Gauss-Bonnet theorem
اسقاط غاوس Gauss map
شكل أصلي ثان Second fundamental form
شعاع انحناء Curvature vector
شكل الانحناء Curvature form
تينسور الانحناء Curvature tensor
انحناء جيوديسي Geodesic curvature
انحناء مقياسي Scalar curvature
انحناء مبتري Sectional curvature
انحناء ريتشي Ricci curvature ، انبساط ريتشي Ricci flat
انحناء ويلي Weyl curvature
جريان ريتشي Ricci flow
سطح أصغري Minimal surface
تواصل (رياضيات) Connection (mathematics)
- شكل التواصل Connection form
  - مبرهنة شيرن-غاوس-بونيت Chern-Gauss-Bonnet theorem
  - Chern-Weil homomorphism
- تواصل كارتان Cartan connection
  - تطبيقات تواصل كارتان Cartan connection applications
  - Vierbein
  - نظرية ابنشتاين-كارتان Einstein-Cartan theory
- مشتق متباين مترافق Covariant derivative
- تواصل ليفي-كيفيتا Levi-Civita connection
- إطار متحرك Moving frame
- نقل متوازي Parallel transport
- عزم (هندسة تفاضلية) Torsion (differential geometry