جسيم في حلقة في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a ring ) هوأحد النماذج المسخدمة في ميكانيكا الكم تؤدي إلى كمومية الطاقة (أي حتى تتخذ الطاقة كمات محددة منفصلة) . ويعتبر هذا المثال مشابها لحالة الجسيم في صندوق والمحلولة هناك بإسهاب . ولذلك يسمى هذا النموذج أحيانا " جسيم في صندوق جهدي حلقي " .

تنشأ على محيط الدائرة عددا سليما فقط من أنصاف طول الموجة وتكوّن موجة ساكنة ، كما يمكن تكوّن ترددات خاصة معينة تفي بهذا الشرط ، وبالتالي عدة مستويات طاقة منفصلة.

والاختلاف عن حالة الجسيم في صندوق هوحتى الجسيم هنا يتحرك دائريا وليس في خط مستقيم في حلقة جهد حول نقطة معينة .

وتصاغ معادلة شرودنگر لهذه الحالة كالآتي :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2 {2mr^{2 \cdot {\frac {\partial ^{2 {\partial \phi ^{2 \psi (\mathbf {\phi )\;=\;E\psi (\mathbf {\phi )$

حيث :

E طاقة الجسيم

m كتلة الجسيم

r نصف قطر الحلقة الجهدية

{\displaystyle \psi (\mathbf {\phi )

الدالة الموجية للجسيم .

الصياغة الرياضية

لكي نحصل عل الدوال الموجية وومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود . ويمثل الجهد بالعلاقة:

{\displaystyle V(\phi )={\begin{cases V_{0 ,&{\text{when r=\rho \\\infty ,&{\text{otherwise \end{cases

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

{\displaystyle {\hat {H =-{\frac {\hbar ^{2 {2m\rho ^{2 {\frac {d^{2 {d\phi ^{2 +V_{0

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها :

{\displaystyle \psi ''(\phi )=-{\frac {2m\rho ^{2 {\hbar ^{2 (E-V_{0 )\psi (\phi ).

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وفيها طاقة E الجسيم ، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم :

{\displaystyle \psi _{M (\phi )=\alpha e^{iM\phi .\!\,

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على :

{\displaystyle M={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0 ) {\hbar \rho .\!\,

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام ، وهوأنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

{\displaystyle \psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi ),\!\,

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

{\displaystyle {\begin{aligned \alpha e^{iM\phi &=\alpha e^{iM(\phi +2\pi ) \\e^{iM\phi &=e^{iM\phi e^{2\pi iM \\e^{2\pi iM &=1.\end{aligned \!\,

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون ${\displaystyle M$ عددا سليما . ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق اعادة تشكيل المعادلة:

{\displaystyle E={\frac {M^{2 \hbar ^{2 {2m\rho ^{2 +V_{0 ,\quad M\in \mathbb {Z .\!\,

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية ، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين ${\displaystyle 0$ و ${\displaystyle 2\pi$ (التوحيد معناه حتى الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%) .

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالكيفية التالية:

{\displaystyle \alpha e^{iM\phi =\alpha (i\sin {(M\phi ) +\cos {(M\phi ) )\!\,

وبما حتى مقدار العدد المركب ${\displaystyle z$ معهد بالعلاقة ${\displaystyle |z|={\sqrt {{\text{Im (z)^{2 +{\text{Re (z)^{2$

فنحصل على:

{\displaystyle \alpha ^{2 \int _{0 ^{2\pi \underbrace {\sin ^{2 {(M\phi ) +\cos ^{2 {(M\phi ) _{=1 \mathrm {d \phi =1,

بذلك نحصل على قيمة ${\displaystyle \alpha ={\frac {1 {\sqrt {2\pi$ .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة :

{\displaystyle \psi _{M (\phi )={\begin{cases {\frac {1 {\sqrt {2\pi e^{iM\phi \quad M\in \mathbb {Z ,&{\text{when r=\rho \\0,&{\text{otherwise. \end{cases

حيث

{\displaystyle \rho \!\,

هونصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم .

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على ${\displaystyle M^{2$ حيث M لا تأخذ سوى أعدادا سليمة ، وهذ هومعنى كمومية الطاقة ، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

الانفطار

	ميكانيكا الكم
المفاهيم الرئيسية
	الحالة الكمومية · Superposition ; Interference · Entanglement ; القياس · عدم التأكد ; الاستبعاد · Duality ; فك الترابط · مبرهنة إرنفست
التجارب
	تجربة الشقين; تجربة دڤيسون-گرمر; تجربة شتيرن-گرلاخ; Bell's inequality experiment; تجربة پوپر; قطة شرودنگر
الصياغات
	صورة شرودنگر • صورة هايزنبرگ • صورة التفاعل • ميكانيكا المصفوفات
المعادلات
	معادلة شرودنگر; معادلة پاولي ; معادلة كلاين-گوردون; معادلة ديراك
نظريات متقدمة
	نظرية الحقل الكمومي; Wightman axioms; كهروديناميكا الكم; Electroweak interaction ; Quantum chromodynamics ; الجاذبية الكمومية; مخطط فاينمان
تفسيرات
	كوپنهاگن · Ensemble; نظرية المتغير الخفي · Transactional; العوالم المتعددة · Consistent histories; منطق كمومي; Consciousness causes collapse
الفهماء
	پلانك · شرودنگر · هايزنبرگ · بور · پاولي · ديراك · بوم · بورن · ده برولي · ڤون نويمان · أينشتاين · فاينمان · إڤرت · پنروز ·
	• •

بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية حتى طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة ، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أوانشقاق مستويات الطاقة . فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل ${\displaystyle M$ ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة ، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث ${\displaystyle M^{2$ تمثل نفس الطاقة . هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين ، ويسمى ذلك حتى النظام منفطر انفطارا ثنائيا .

ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان ، أوتعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها .