متسلسلة تايلور

عودة للموسوعة

متسلسلة تايلور

بازدياد درجة عديدة حدود تيلور، فإنها تقترب من الدالة السليمة. هذا الرسم يُظهر (بالأسود) وتقريب تيلور، وعديدات الحدود بدرجات 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
دالة أسية (بالأزرق)، ومجموع أول n+1 حد من متسلسلة تيلور لها عند 0 (بالأحمر).

متسلسلة تيلور أومجموع تايلور Taylor series هوتعبير عن متسلسلة تمكن المرء من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا إعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للإشتقاق n مرة في النقطة فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

حيث تساوي:

ويمكن إعتبار متعدد الحدود (polynom)


متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي حتى الجزء يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في جميع النقاط x

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق متعدد حدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم الكثير من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة حتى جميع التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم حتى نأخذ بعين الإعتبار الدقة التي نريد حتى نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين حتى نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أومترين في مسقط الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.


مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي ، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة .

المثال الأكثر بساطة هوالدالة الأسية قرب النقطة صفر :


متسلسلة تيلور متعددة المتغيرات

The Taylor series may also be generalized to functions of more than one variable with

مثال

Second-order Taylor series approximation (in gray) of a function around origin.

Compute a second-order Taylor series expansion around point of a function

Firstly, we compute all partial derivatives we need

The Taylor series is

which in this case becomes

Since log(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have

for |y| < 1.


قائمة متسلسلات مكلورين لبعض الدوال الشائعة

انظر أيضاً قائمة المتسلسلات الرياضية
The real part of the cosine function in the complex plane.
An 8th degree approximation of the cosine function in the complex plane.
The two above curves put together.
An animation of the approximation.

Several important Maclaurin series expansions follow. All these expansions are valid for complex arguments x.

دالة أسية:

لوغاريتم طبيعي:


متسلسلة هندسية محدودة:

متسلسلة هندسية غير محدودة:

Variants of the infinite geometric series:

الجذر التربيعي:

Binomial series (includes the square root for α = 1/2 and the infinite geometric series for α = −1):

with generalized binomial coefficients

Trigonometric functions:

حيث Bs هي أرقام برنولي.

Hyperbolic functions:

Lambert's W function:

The numbers Bk appearing in the summation expansions of tan(x) and tanh(x) are the Bernoulli numbers. The Ek in the expansion of sec(x) are Euler numbers.

انظر أيضاً

مواضيع في التحليل الرياضي

المبرهنة الأساسية للتكامل | دالة رياضية | نهاية دالة | دالة مستمرة | التكامل مع كثيرات الحدود | مبرهنة القيمة الوسطى | التكامل الشعاعي | تكامل الموترات

التفاضل

قاعدة الجداء | قاعدة كيوتنت | قاعدة التسلسل | التفاضل الضمني | مبرهنة تايلور | المعدل المرتبط

تكامل

قاعدة الاستبدال | التكامل بالتجزئة | التكامل بالاستبدال المثلثي | التكامل بالأقراص | التكامل بالأسطوانات | التكامل غيرالمتلائم | قائمة التكاملات

  • مبرهنة تيلور
  • Linear approximation
  • Laurent series
  • Analyticity of holomorphic functions — a proof that a holomorphic function can be expressed as a Taylor power series
  • Newton's divided difference interpolation
  • Difference engine
  • Mean value theorem
  • Madhava series

الهامش

  1. ^ Most of these can be found in (Abramowitz & Stegun 1970).


المصادر

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing 
  • Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 
  • Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 

وصلات خارجية

  • Eric W. Weisstein, Taylor Series at MathWorld.
  • Madhava of Sangamagramma
  • Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
  • "Discussion of the Parker-Sochacki Method"
  • Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
  • Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
  • Cinderella 2: Taylor expansion
  • Taylor series
  • Inverse trigonometric functions Taylor series
تاريخ النشر: 2020-06-04 19:41:46
التصنيفات: Missing redirects, Smooth functions, Mathematical series, رياضيات, تحليل رياضي, بذرة رياضيات

مقالات أخرى من الموسوعة

سحابة الكلمات المفتاحية، مما يبحث عنه الزوار في كشاف:

آخر الأخبار حول العالم

المسكوت عنه فى الأزمة الأوكرانية

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:32
مستوى الصحة: 89% الأهمية: 85%

5 دول غربية تتفق على الحفاظ على عزيمتها تجاه روسيا

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:56
مستوى الصحة: 78% الأهمية: 86%

شاهد.. السنغال تصعق مصر

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:00
مستوى الصحة: 94% الأهمية: 92%

"حرب السماوات" في الشرق الأوسط

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:33
مستوى الصحة: 80% الأهمية: 87%

محامي حسني مبارك ينفي خبر وفاته

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:55
مستوى الصحة: 91% الأهمية: 99%

نظام طاقة جديد

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:35
مستوى الصحة: 79% الأهمية: 87%

ليبيا.. مسؤولو برقة يعلنون دعمهم لحكومة باشاغا

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:53
مستوى الصحة: 81% الأهمية: 98%

سحب تنظيم كأس إفريقيا من المغرب والجزائر

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:00
مستوى الصحة: 85% الأهمية: 86%

لوكسمبورغ تجمد أصولا روسية بقيمة 2.5 مليار يورو

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:53
مستوى الصحة: 92% الأهمية: 94%

مونديال قطر.. مباراة مصيرية بين البرتغال ومقدونيا الشمالية

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:59
مستوى الصحة: 83% الأهمية: 89%

الخطر النووي جدِّي... ولا بد من مخرج لروسيا

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:31
مستوى الصحة: 80% الأهمية: 93%

مجلس التعاون الخليجي يدعو "جميع الأطراف" لوقف القتال في اليمن

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:58
مستوى الصحة: 79% الأهمية: 87%

الملكة إليزابيث الثانية تظهر علنا لأول مرة منذ 5 أشهر

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:57
مستوى الصحة: 85% الأهمية: 95%

ما الذي يخبئه {الحوثي} في الحديدة؟

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:34
مستوى الصحة: 95% الأهمية: 95%

تشكيك أميركي-بريطاني بجدية روسيا بشأن كييف والمفاوضات

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:08
مستوى الصحة: 76% الأهمية: 87%

بوتين لا يتجاوب مع ماكرون.. على الجنود بماريوبول الاستسلام

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:07
مستوى الصحة: 77% الأهمية: 94%

ترودو: العقوبات ضد روسيا ستؤثر على حياة الكنديين

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:56
مستوى الصحة: 94% الأهمية: 94%

قديروف: على القوات الروسية دخول كييف وانتزاعها

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:58
مستوى الصحة: 91% الأهمية: 90%

السفير الروسي لدى هولندا يتلقى وزوجته تهديدات بالقتل

المصدر: RT Arabic - روسيا التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:16:54
مستوى الصحة: 82% الأهمية: 97%

إطلاق نار في إحدى ضواحي تل أبيب.. ومقتل 5 أشخاص

المصدر: العربية - السعودية التصنيف: سياسة
تاريخ الخبر: 2022-03-29 21:17:08
مستوى الصحة: 81% الأهمية: 91%

تحميل تطبيق المنصة العربية