مساحة

المساحة المجمعة لهذه الأشكال الهندسية هي 15.57 مربع تقريباً.

المساحة Area، قياس لمنطقة محصورة في نطاق معين على سطح، وأبسط شكل لها هي المنطقة المحصورة بين أربع خطوط بنفس الطول، اثنان منها متوازية والإثنان الثانية متعامدة مع الأولى، أي على شكل مربع. ومن هذا الشكل يتم اشتقاق جميع أشكال المساحة الأخرى، وعندماقد يكون طول هذه الخطوط وحدة قياس طول واحدة، فإن المساحة المحصورة بينها تعتبر وحدة قياس مساحة واحدة، وبالتالي فإذا كان هناك مربع، طول ضلعه متر واحد، فإن مساحته تساوي مترا مربعا واحدا.

يمكن حساب المساحة بعدد مربعات وحدة المساحة الجزئية والكاملة. في النظام الدولي للوحدات الوحدة القياسية للمساحة هوالمتر المربع (كما هومكتوب m²)، وهومساحة مربع طول ضلعه متر واحد. شكل ذومساحة ثلاثة متر مربع لديه نفس المساحة لثلاثة من هذه المربعات ذات المتر الواحد طولا. وهناك الكثير من الصيغ المعروفة للمساحات لأشكال بسيطة مثل المثلثات والمستطيلات والدوائر. باستخدام هذه الصيغ، يمكن حساب مساحة أي مضلع من خلال تقسيم المضلع إلى مثلثات أوالدوائر للحصول على الأشكال المنحنية مع الحدود، وعادة ما يحتاج حساب التفاضل والتكامل لحساب المجال. في الواقع، كانت معضلة تحديد مجال الأرقام دافعا كبيرا للتطور التاريخي في حساب التفاضل والتكامل. إذا أخذنا شكلا صلبا مثل كرة، مخروط أواسطوانة، تسمى مساحة سطح حدود هذا الشكل بمساحة السطح. حسبت معادلات مساحات السطح للأشكال البسيطة من قبل الإغريق، ولكن حساب المساحة السطحية للشكل هي الأكثر تعقيدا وعادة ما يحتاج حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

التعريف الرسمي

الوحدات

A square metre quadrat made of PVC pipe.

التحويلات

Although there areعشرة mm in 1 cm, there are 100 mm² in 1 cm².

حساب مساحة المربع الذي يبلغ طوله وعرضه 1 متر تكون:

1 متر x 1 متر = 1 م²

3 متر x 2 متر = 6 م². هذا يعادلستة مليون مليمتر مربع. التحويلات الأخرى هي:

1 كيلومتر مربع = 1,000,000 متر مربع
1 متر مربع = 10,000 سنتيمتر مربع = 1,000,000 مليمتر مربع
1 سنتيمتر مربع = 100 مليمتر مربع.

وحدات غير مترية

في الوحدات الغير مترية، التحويل بين وحدتين مربعين هوتربيع التحويل بين وحدات الطول اللقاءة.

1 قدم = 12 بوصة،

العلاقة بين القدم المربع والبوصة المربعة

1 قدم مربع = 144 بوصة مربعة،

حيث 144 = 12² = 12 × 12. بشكل مشابه:

1 ياردة مربعة =تسعة قدم مربع
1 ميل مربع = 3,097,600 ياردة مربعة = 27,878,400 قدم مربع

بالإضافة غلى ذلك، يضم التحويل العوامل التالية::

1 بوصة مربعة = 6.4516 سنتيمتر مربت
1 قدم مربع = 0.09290304 متر مربع
1 ياردة مربعة = 0.83612736 متر مربع
1 ميل مربع = 2.589988110336 كيلومتر مربع

وحدات أخرى وتضم التاريخية

1 are = 100 متر مربع
1 هكتار = 100 ares = 10,000 متر مربع = 0.01 كيلومتر مربع

الفدان والذي يشيع استخدامه أيضاً لقياس مساحات الأراضي، حيث

1 فدان = 4,840 ياردة مربعة = 43,560 قدم مربع.

الفدان يساوي حوالي 40% من الهكتار.

التاريخ

مساحة الدائرة

مساحة المثلث

مساحة الرباعي

مساحة المضلع العامة

تحديد المساحة باستخدام التفاضل والتكامل

معادلات قياس المساحة

معادلات السداسي

المستطيلات

مساحة هذا المستطيل هي

lw

.

Equal area figures.

مساحة المستطيل = الطول × العرض

مسلمة مساحة المستطيل والتي تنص على حتى مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه وهذا شيء بديهى يمكن إدراكه بدون البرهنة عليه وذلك بملاحظة أنه عند فرض مستطيل عرضه الوحدة (لكىقد يكون عرضه غير مؤثر في المساحة بحيثقد يكون الطول وحده هوالذي يتحكم في قيمة المساحة) وطوله عدد معين من الوحدات نلاحظ حتى عدد الوحدات المربعة والتي تشكل مساحة المستطيل يساوى عدد الوحدات الطولية التي تشكل طول المستطيل وبزيادة عدد وحدات الطول نلاحظ حتى مساحة المستطيل تزداد بنفس المقدار ومن ذلك يتضح حتى مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه.

التنصيف، متوازي المستطيلات، والمثلثات

مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع

وتخط بالإنجليزية على الصورة

{\displaystyle A=b.h/2

حيث: b هي طول القاعدة، وh هي طول الارتفاع.

مساحة الأشكال المنحنية

الدوائر

A circle can be divided into sectors which rearrange to form an approximate parallelogram.

منطق رئيسي: مساحة الدائرة

مساحة الدائرة ${\displaystyle A=\pi r^{2 \,$ حيث: r هي نصف قطر الدائرة.

الكرة

مساحة سطح الكرة ${\displaystyle A=4\pi r^{2 \,$ حيث: r هي نصف قطر الكرة.

البتر الناقص

منطق رئيسي: بتر ناقص#المساحة

مساحة السطح

منطق رئيسي: مساحة السطح

Archimedes showed that the surface area of a sphere is exactly four times the area of a flat disk of the same radius, and the volume enclosed by the sphere is exactly 2/3 of the volume of a cylinder of the same height and radius.

المعادلات العامة

Integration can be thought of as measuring the area under a curve, defined by f(x), between two points (here a and b).

The area between two graphs can be evaluated by calculating the difference between the integrals of the two functions

قائمة المعادلات

صيغ إضافية شائعة للمساحة:
الشكل	الصيغة	المتغيرات
المثلث المنتظم (مثلث متساوي الأضلاع)	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3 {4 s^{2 \,\!$	${\displaystyle s$ is the length of one side of the triangle.
المثلث	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c) \,\!$	${\displaystyle s$ is half the perimeter, ${\displaystyle a$ , ${\displaystyle b$ and ${\displaystyle c$ are the length of each side.
المثلث	${\displaystyle {\tfrac {1 {2 ab\sin(C)\,\!$	${\displaystyle a$ and ${\displaystyle b$ are any two sides, and ${\displaystyle C$ is the angle between them.
المثلث	${\displaystyle {\tfrac {1 {2 bh\,\!$	${\displaystyle b$
مثلث متساوي الساقين	${\displaystyle {\frac {1 {2 b{\sqrt {a^{2 -{\frac {b^{2 {4 ={\frac {b {4 {\sqrt {4a^{2 -b^{2$	${\displaystyle a$ is the length of one of the two equal sides and ${\displaystyle b$ is the length of a different side.
المعين/الطائرة	${\displaystyle {\tfrac {1 {2 ab$	${\displaystyle a$
Parallelogram	${\displaystyle bh\,\!$	${\displaystyle b$ is the length of the base and ${\displaystyle h$ is the perpendicular height.
شبه منحرف	${\displaystyle {\frac {(a+b)h {2 \,\!$	${\displaystyle a$ and ${\displaystyle b$ are the parallel sides and ${\displaystyle h$ the distance (height) between the parallels.
سداسي الأضلاع المنتظم	${\displaystyle {\frac {3 {2 {\sqrt {3 s^{2 \,\!$	${\displaystyle s$ is the length of one side of the hexagon.
المثمن المنتظم	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2 )s^{2 \,\!$	${\displaystyle s$ is the length of one side of the octagon.
مضلع منتظم	${\displaystyle {\frac {1 {4 nl^{2 \cdot \cot(\pi /n)\,\!$	${\displaystyle l$ is the side length and ${\displaystyle n$ is the number of sides.
المضلع المنتظم	${\displaystyle {\frac {1 {4n p^{2 \cdot \cot(\pi /n)\,\!$	${\displaystyle p$ is the perimeter and ${\displaystyle n$ is the number of sides.
المضلع المنتظم	${\displaystyle {\frac {1 {2 nR^{2 \cdot \sin(2\pi /n)=nr^{2 \tan(\pi /n)\,\!$	${\displaystyle R$ is the radius of a circumscribed circle, ${\displaystyle r$ is the radius of an inscribed circle, and ${\displaystyle n$ is the number of sides.
المضلع المنتظم	${\displaystyle {\tfrac {1 {2 ap={\tfrac {1 {2 nsa\,\!$	${\displaystyle p$
الدائرة	${\displaystyle \pi r^{2 \ {\text{or \ {\frac {\pi d^{2 {4 \,\!$	${\displaystyle r$
قطاع دائري	${\displaystyle {\frac {\theta {2 r^{2 \ {\text{or \ {\frac {L\cdot r {2 \,\!$	${\displaystyle L$
البتر الناقص	${\displaystyle \pi ab\,\!$	${\displaystyle a$
إجمالي مساحة سطح الاسطوانة	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!$	${\displaystyle r$ and ${\displaystyle h$ are the radius and height, respectively.
المساحة الخارجية لسطح الاسطوانة	${\displaystyle 2\pi rh\,\!$	${\displaystyle r$ and ${\displaystyle h$ هي نصف القطر والارتفاع على التوالي.
إجمالي مساحة سطح الكرة	${\displaystyle 4\pi r^{2 \ {\text{or \ \pi d^{2 \,\!$	${\displaystyle r$ and ${\displaystyle d$ هي نصف القطر والقطر على التوالي.
إجمالي مساحة سكح الشكل الهرمي	${\displaystyle B+{\frac {PL {2 \,\!$	${\displaystyle B$ هي مساحة القاعدة، ${\displaystyle P$ is the base perimeter and ${\displaystyle L$ is the slant height.
إجمالي مساحة سطح pyramid frustum	${\displaystyle B+{\frac {PL {2 \,\!$	${\displaystyle B$ is the base area, ${\displaystyle P$ is the base perimeter and ${\displaystyle L$ is the slant height.
تحويل المساحة المربعة إلى دائرية	${\displaystyle {\frac {4 {\pi A\,\!$	${\displaystyle A$
تحويل المساحة الدائرية إلى مربعة	${\displaystyle {\frac {\pi {4 C\,\!$	${\displaystyle C$

من أجل تعيين مساحة متعدد الأضلاع فيمكن تقسيمه إلى مثلثات، ثم جمعها بعد حساب مساحاتها. وإذا كانت الإحداثيات

{\displaystyle (x_{i ,y_{i ),i=1\dots n

لعدد

{\displaystyle n

من الأركان لمتعدد الأضلاع معروفة، فيمكن حساب المساحة بواسطة معادلة جاوس لشبه المنحرف:

{\displaystyle A={\frac {1 {2 \sum _{i=1 ^{n (y_{i +y_{i+1 )(x_{i -x_{i+1 )

حيث:

{\displaystyle x_{n+j =x_{j

و

{\displaystyle y_{n+j =y_{j

الأشكال أخرى يمكن تقريبها لمضلع متعدد الأضلاع وتكملة حسابها بالتقريب.

العلاقة بين المساحة والمحيط

الكسور

منصفات المساحة

منطق رئيسي: تنصيف

تحسينات

انظر أيضاً

Brahmagupta quadrilateral, a cyclic quadrilateral with integer sides, integer diagonals, and integer area.
Equi-areal mapping
Heronian triangle, a triangle with integer sides and integer area.
List of triangle inequalities#Area
One-seventh area triangle, an inner triangle with one-seventh the area of the reference triangle.

Routh's theorem, a generalization of the one-seventh area triangle.

Orders of magnitude (area)—قائمة المساحات حسب الحجم.
Pentagon#Derivation of the area formula
Planimeter, an instrument for measuring small areas, e.g. on maps.
Quadrilateral#Area of a convex quadrilateral
Robbins pentagon, a cyclic pentagon whose side lengths and area are all rational numbers.

المصادر

^ Area - from Wolfram MathWorld
^ Surface Area - from Wolfram MathWorld
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة MathWorld
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة AF
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة MathWorldSurfaceArea