مستوى (هندسة)

مستويان متقاطعان في فضاء ثلاثي الأبعاد.

في الرياضيات، المستوى، هوسطح منبسط ثنائي الأبعاد يمتد إلى ما لا نهاية. المستوى هوالتماثل ثنائي الأبعاد للنقطة (صفرية الأبعاد)، الخط (أحادي الأبعاد) والفضاء ثلاثي الأبعاد. قد تمتد المستويات كفضاءات ثانوية لبعض الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، مثل جدران الغرفة التي تمتد إلى ما لا نهاية، أوقد تتمتع بوجود مستقل بها، كما في مجموعة الهندسة الإقليدية.

عندما العمل بشكل حصري على الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد، فإن تعريف المستوى هوالفضاء الكامل. الكثير من المهام الأساسية في الرياضيات، الهندسة، حساب المثلثات، نظرية المخططات، والتخطيط المطبق على الفضاء ثنائي الأبعاد، أوبمعنى آخر، في المستوى.

الهندسة الإقليدية

ثلاثة مستويات متوازية.

المستويات في الفضاء الإقليمي ثلاثي الأبعاد

التحديد بواسطة النقاط أوالخطوط المتضمنة

في الفضاء الإقليدي لأي عدد من الأبعاد، يتم تحديد المستوى بشكل فريد بواسطة واحدة من النقاط التالية:

النقاط الغير خطية الثلاثة.
خط ونقطة ليست على الخط.
خطان متميزان لكن متقاطعان.
خطان متوازيان.

الخصائص

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، تتحقق الخصائص الآتية (والتي لا تتحقق إذا كان عدد الأبعاد يتجاوز الثلاثة):

مستويان قد يحدثا متوازيين وقد يحدثا متقاطعين في مستقيم ما. لا ثالث لهاتين الحالتين.
مستقيم ما قد يحدث موازياً لمستوى ما، أوقد يحدث متقاطعا معه في نقطة، أوقد يحدث ضمنه.
مستقيمان عموديان على نفس المستوى هما مستقيمان متوازيان.
مستويان عموديان على نفس المستقيم هما مستويان متوازيان.

تعريف مستوى بنقطة ومستقيم

تعريف مستوى بثلاث نقط

الوصف المتجهي للمستوى.

كل ثلاث نقط لا تقع على استقامة واحدة تمثل مستوى واحدا. ليكن $p 1 =(x 1, y 1, z 1)$ , $p 2 =(x 2, y 2, z 2)$ , و $p 3 =(x 3, y 3, z 3)$ ثلاث نقط لا تنتمي إلى نفس المستقيم.

الطريقة الأولى

المستوى المار بالنقط $p 1$ , $p 2$ , و $p 3$ يمكن حتى يحدد بشكل وحيد بكونه مجموعة جميع النقط (x,y,z) اللائي يحققن معادلات المحدد التالية:

'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'

الطريقة الثانية

من أجل تحديد معادلة مستوى على الشكل '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"', ينبغي حلحلة نظام المعادلات التالي:

'"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'

يمكن حتى يُحلحل هذا النظام باستعمال قاعدة كرامر بالإضافة إلى التعامل مع العمليات الأساسية للمصفوفات. ليكن

'"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"'.

إذا كان D مختلفا عن الصفر (الأمر كذلك بالنسبة للمستويات اللائي لا يمررن بأصل المَفهم) قيم الأعداد a وb وc يمكن حتى يُحسبن كما يلي:

'"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'

'"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"'

تتعلق هذه المعادلات بالعدد d. بإعطاء قيمة معينة مختلفة عن الصفر للعددd وبتعويضها في هذه المعادلات سيعطي مجموعة حلول واحدة.

الطريقة الثالثة

يمكن حتى يُحدد هذا المستوى أيضا بنقطة وبالمتجهة العمودية. تعطى متجهة مناسبة لهذا الهدف باستعمال الضرب الاتجاهي

'"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'

أما بالنسبة للنقطة $r 0$ فيمكن حتى تكون واحدة من النقط الثلاث المعلومات $p 1$ , $p 2$ أو $p 3$ .

المستقيم القاطع لمستويين

المستوي والزاوية المزدوجة

الزاوية الزوجية تتشكل بين أي مستويين يتقاطعان.

المستويات في مختلف تخصصات الرياضيات

انظر أيضاً

وجه (هندسة)
سطح (هندسة)
مستوى نصفي
مستوى فائق
تقاطع الخط-المستوى
مستوى الإحداثيات
Plane of incidence
مستوى الدوران
مسافة بين نقطة ومستوى
مستوى إسقاط

الهوامش

^ Dawkins, Paul, "Equations of Planes", Calculus III

المصادر

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

وصلات خارجية

نطقب:SpringerEOM
Eric W. Weisstein, Plane at MathWorld.
"Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.