نظرية الشِّوَاش أونظرية الفوضى ( Chaos Theory ) من أحدث النظريات الرياضية الفيزيائية -وتترجم أحيانا بنظرية الفوضى أوالعماء- التي تتعامل مع موضوع الجمل المتحركة (الديناميكية) اللاخطية التي تبدي نوعا من السلوك العشوائي يعهد بالشواش, وينتج هذا السلوك العشوائي إما عن طريق عدم القدرة على تحديد الشروط البدئية (تأثير الفراشة Butterfly Effect) أوعن طريق الطبيعة الفيزيائية الاحتمالية لميكانيك الكم.

تحاول نظرية الشواش حتى تستشف النظام الخفي المضمر في هذه العشوائية الظاهرة محاولة وضع قواعد لدراسة مثل هذه النظم مثل الموائع والتنبؤات الجوية والنظام الشمسي واقتصاد السوق وحركة اللأسهم المالية والتزايد السكاني.

مقدمة عامة

أول من درس في الشواش كان عالم الأرصاد، إدوارد لورنز (Edward Lorenz). ففي عام 1960، كان يعمل على معضلة التنبؤِ بالطقس. على حاسوب مزود بنموذج لمحاكاة تحولات الطقس مؤلف من مجموعة مِنْ اثنتا عشرة معادلة لتشكيل الطقس. يقوم برنامجِ الحاسوبِ هذا بتسقط نظري للطقس.

في أحد أيام 1961، أراد رؤية سلسلة معينة من الحسابات مرة ثانية. ولتَوفير الوقتِ، بدأَ من منتصف السلسلة، بدلاً من بدايتها.

لاحظ لورنز عند عودته، حتى السلسلة قد تطورتَ بشكل مختلف. بدل من تكرار نفس النمط السابق, فقد وقع تباعد في النمطِ، يَنتهي بانحراف كبير عن المخطط الأصلي للسلسلة الأصلية.

وفي النهاية استطاع لورنز تفسير الأمور, فقد قام الحاسوب بتخزين الأعداد بستة منازل عشرية في الذاكرة. لكنه كان يظهر ثلاثة أرقام عشرية فقط. عندما قام لورنز بإدخال عدد من منتصف السلسلة أعطاه الرقم الظاهر ذوالمنازل العشرية الثلاث وهذا أدى لإختلاف سهل جدا عن الرقم الأصلي الموجود في الحسابات. ورغم حتى هذا الخلاف سهل جدا وضئيل فقد تطور مع تسلسل الحسابات إلى فروق ضخمة تجلت بانحرافات المخططات الواضحة.

كانت الأفكار التقليدية وقتها تعتبر مثل هذا التقريب إلى ثلاثة مراتب عشرية دقيقا جدا ولم يكن الفيزيائيون يلقون بالا إلى الفروقات التي يمكن حتى تنتج بعد مدة من هذه الفروقات الضئيلة في الشروط البدئية للتجربة، لكن لورنز غير هذه الفكرة.

اتىَ هذا التأثيرِ لكي يعهد بتأثيرِ الفراشة. فكمية الاختلاف الضئيلة في نقاط بداية المنحنيين كانت صغيرة جدا لدرجة تشبيهها بخفقان جناح فراشة في الهواء لكن آثارها كانت عظيمة لدرجة التنبؤ بإعصار يضرب منطقة من العالم.

من هذه الفكرة، صرّح لورنز بأنّه من المحال تسقط الطقس بدقّة. على أية حال، قادَ هذا الاكتشاف لورنز إلى تشكيل النظرية التي عهدت لاحقا بنظرية الشواش.

بدأ لورنز البحث عن نظام (مجموعة معادلات) أسهل من نظامه ذوالاثني عشر معادلة ليدرس حساسيته للشروط البدئية. اعتمد لورنز نموذجا يصف جملة دولاب مائي مؤلفة من ثلاث معادلات.

حصل لورنز من حديث على حساسية عالية للشروط البدئية في هذا النموذج، فالنموذج كان يقدم نموذجا شواشيا يتغير مخططه بتغير الشروط البدئية لكن المدهش في الموضوع حتى شكل المخططات كان دائما متشابها بشكل لولب مزدوج. تقليديا، كانت توصف الحركات بأنها إما حتى تؤدي إلى حالة مستقرة حيث تصل المتغيرات إلى قيم ثابتة لا تتغير أوحركات دورية تقوم بنفس الحركات على نفس المسارات بشكل مستمر, لكن في هذه الحالة حصل لورنز على حركات ذات شكل متشابه لكنها غير متطابقة وبالتالي غير دورية, وهذا النمط من الحركة هوما أسماه لورنز فيما بعد بجاذب لورنز.

مفاهيم أساسية

• الجملة الخطية أوالنظام الخطي (linear system) تساوي مجموع أجزائها بينما الجملة اللاخطية يمكن حتى تكون أكثر من مجموع أجزائها. هذا يقتضي ضرورة دراسة الجملة ككل وعدم الاكتفاء بدراسة أجزاء الجملة كلا على حدة.
• معظم الظواهر الطبيعية في الكون تتألف من جمل لاخطية في حين تشكل الجمل الخطية نزرا يسيرا من تكوين العالم غالبا ما تظهر بعد إجرائنا لكثير من الإجراءات والتقريبات لجعل شروط الظاهرة نظامية والجملة خطية.

الديناميكا الفوضوية

يمكن تصنيف حركة ما بأنها شواشية إذا أبدت الخواص التالية:

• أن تكون مقيدة.
• حساسة للشروط البدئية.
• قابلية التحويل (transitive).
• تراص مساراتها الدورية (periodic orbits).

الحساسية للشروط البدئية (initial conditions) تعني حتى أي جملتين متماثلتين: تسلكان مسارات مختلفة كليا ضمن فضائهما الطوري إذا اختلفت الشروط البدئية ولوبشكل ضئيل.

قابلية التحويل (transivity) تعني أنه يمكن تطبيق تابع تحويل على أي فترة زمنية ت1 بحيث يقوم بمطها ومطابقتها مع فترة زمنية أخرى ت2.

جواذب الحركة

أهم طرق تمثيل الحركات هي مخططات الطور حيث يقوم جميع محور في نظام الإحداثيات بتمثيل أحد أبعاد حالة الجملة. فمثلا إذا كان الجسيم بحالة راحة يمكن تمثيله بنقطة في حين إذا كانت الجملة تتحرك حركة دورية فسيكون تمثيلها بمنحن مغلق بسيط. فمن المؤكد إذن حتى مخطط الطور لجملة معطاة يعتمد على الشروط البدئية للجملة اضافة إلى مجموعة من المؤشرات (Parameters) لكن في الكثير من الأحيان تبين مخططات الطور بأن حركات الجمل تتطور مع الزمن لتؤدي في النهاية نفس الحركة وذلك مهما كانت الشروط البدئية, كما لوحتى الجملة تنجذب لأداء هذه الحركة. لذلك ندعوهذه الأنماط من الحركات الجاذبة للجمل بالجواذب (Attractors), من هذه الجواذب ما سهل على شكل نقطي أومنحنيات دائرية تدعى بالدوائر الحدية. باللقاء تبدي الحركات الشواشية جواذب غريبة ومعقدة تدعى بالجاذب الغريب) (Strange Attractor).

أنظر أيضا

مراجع

• Li, T. Y. and Yorke, J. A. "Period Three Implies Chaos." American Mathematical Monthly 82, 985-992, 1975.

خط مرجعية

• Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.
• Gutzwiller, Martin (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-387-97173-4.
• Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-471-54571-6.
• Tufillaro, Abbott, Reilly (1992). An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. Addison-Wesley New York. ISBN 0-201-55441-0.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-47685-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Baker, G. L. (1996). Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39511-9.
• Alligood, K. T. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-387-94677-2.
• Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Chaos Theory in the Social Sciences. Perseus Publishing. ISBN 0-472-08472-0.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Strogatz, Steven (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. ISBN 0-7382-0453-6.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.
• Hoover, William Graham (1999,2001). Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos. World Scientific. ISBN 981-02-4073-2. Check date values in: |year= (help)
• Devaney, Robert L. (2003). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd ed,. Westview Press. ISBN 0-8133-4085-3.
• Badii, R.; Politi A. (1997). . Cambridge University Press. ISBN 0521663857.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

خط مبسطة وشائعة

• "Turbulent Mirror" by *John Briggs and David Peat
• "Seven Life Lessons of Chaos" by *John Briggs and David Peat
• The Beauty of Fractals, by H.-O. Peitgen and P.H. Richter
• Chance and Chaos, by David Ruelle
• Computers, Pattern, Chaos, and Beauty, by Clifford A. Pickover
• Fractals, by Hans Lauwerier
• Fractals Everywhere, by Michael Barnsley
• Order Out of Chaos, by Ilya Prigogine and Isabelle Stengers
• Chaos and Life, by Richard J Bird
• Does God Play Dice?, by Ian Stewart
• The Science of Fractal Images, by Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe, Eds.
• Explaining Chaos, by Peter Smith
• Chaos: Making a New Science, New York: Penguin, by James Gleick
• Complexity, by M. Mitchell Waldrop
• Chaos, Fractals and Self-organisation, by Arvind Kumar
• Chaotic Evolution and Strange Attractors, by David Ruelle
• Sync: The emerging science of spontaneous order, by Steven Strogatz
• The Essence of Chaos, by Edward Lorenz
• Deep Simplicity, by John Gribbin
• The Road To Chaos, by Yoshisuke Ueda
• The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory, Edited by Ralph H. Abraham and Yoshisuke Ueda
• by Lawrence A. Cunningham
• Chaos Theory in the Social Sciences, edited by L Douglas Kiel, Euel W Elliott.

مواقع خارجية

• Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
• The Chaos group at the University of Maryland
• The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals.
• Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences
• Interactive live chaotic pendulum experiment, allows users to interact and sample data from a real working damped driven chaotic pendulum
• Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
• Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• (excerpt)
• Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford.