هندسة المجسمات
هندسة المجسمات solid geometry هوفرع من الرياضيات يبحث في خواص الأشكال الهندسية في فضاء ثلاثي الأبعاد. ففي هذا الفضاء يمكن تعيين عدد غير منتهٍ من المستويات بحيث يمر مستوٍ واحد فقط من أي ثلاث نقط غير واقعة على استقامة واحدة. ويعد المستوي ممتداً إلى ما لانهاية في جميع الاتجاهات الواقعة عليه. فالمستوي يفصل الفضاء إلى منطقتين بحيث لا يمكن لأي مستقيم يصل بين نقطة من الأولى إلى نقطة من الثانية إلا ويكون قاطعاً للمستوي في نقطة واحدة ولا يمكن حتى يبتره في نقطتين، وإلا انطبق على المستوي نفسه.
والهندسة الفراغية أوالهندسة الصلبة هي الهندسة الإقليدية مطبقة في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد مشابه للفضاء الذي نعيش فيه . تهتم الهندسة الفراغية بدراسة الأشكال الهندسية الثلاثية الأبعاد مثل المكعب ، الموشور ، المخروط
السطح المنشوري (الموشوري)
هوالسطح المتولد من حركة مستقيم موازٍ لنفسه ويستند إلى مضلع غير واقع في مستويه.
بفرض ب جـ د هـ مضلعاً والمستقيم ب بَ غير واقع في مستويه، إذا تحرك هذا المستقيم مع بقائه موازياً لنفسه وظل مستنداً إلى المضلع، فإنه يولد سطحاً منشورياً. (يسمى ب بَ مولد السطح، ويسمى المضلع ب جـ د هـ مرشد السطح.)
ـ المجسمات: لنبدأ من أحد المجسمات البسيطة وهوالمنشور (الموشور): نحصل على منشور ببتر السطح المنشوري بمستويين متوازيين، والاقتصار على الحيز الذي يحده السطح المنشوري والمستويان المتوازيان اللذان بتراه. فهذا المجسم مكون من قاعدتين متوازيتين عليا وسفلى هما مضلعان طبوقان، وأوجهه الجانبية هي متوازيات أضلاع. وأبسط شكل للمنشور هوالمكعب، قاعدتاه مربعان وأوجهه الجانبية هي أيضاً مربعات، وكلها طبوقة، فإذا كان ل هوطول ضلع جميع من هذه المربعات تكون مساحة سطحه الخارجي كله 6ل2، أما حجمه فيساوي ل3.
ويلي المكعب متوازي المستطيلات، وهومنشور قاعدته مستطيل ومولده عمودي على القاعدة، وحجمه يساوي جداء طوله في عرضه في ارتفاعه.
وبوجه عام: حجم أي منشور يساوي جداء مساحة القاعدة في الارتفاع، (حيث الارتفاع هوطول العمود المشهجر بين القاعدتين). أما السطح الخارجي فيحسب بجمع مساحات أوجهه كلها.
التاريخ
The Pythagoreans dealt with the regular solids, but the pyramid, prism, cone and cylinder were not studied until the Platonists. Eudoxus established their measurement, proving the pyramid and cone to have one-third the volume of a prism and cylinder on the same base and of the same height. He was probably also the discoverer of a proof that the volume enclosed by a sphere is proportional to the cube of its radius.
المواضيع
Basic topics in solid geometry and stereometry include
- incidence of planes and lines
- dihedral angle وزاوية مجسمة
- the cube, cuboid, parallelepiped
- the tetrahedron and other pyramids
- prisms
- octahedron, dodecahedron, icosahedron
- cones and cylinders
- the sphere
- other quadrics: spheroid, ellipsoid, paraboloid and hyperboloids.
Advanced topics include
- projective geometry of three dimensions (leading to a proof of Desargues' theorem by using an extra dimension)
- further polyhedra
- descriptive geometry.
أشكال مجسمة
Whereas a sphere is the surface of a ball, it is sometimes ambiguous whether the term refers to the surface of the figure or the volume enclosed therein, notably for a cylinder. The following table includes major types of shapes that either constitute or define a volume.
| Figure | Definitions | Images | |
|---|---|---|---|
| Parallelepiped |
|
||
| Rhombohedron |
|
||
| Cuboid |
|
||
| Polyhedron | Flat polygonal faces, straight edges and sharp corners or vertices. |
|
|
| Uniform polyhedron | Regular polygons as faces and is vertex-transitive (i.e., there is an isometry mapping any vertex onto any other). |
|
|
| Prism | A polyhedron comprising an n-sided polygonal base, a second base which is a translated copy (rigidly moved without rotation) of the first, and n other faces (necessarily all parallelograms) joining corresponding sides of the two bases. | ||
| Cone | Tapers smoothly from a flat base (frequently, though not necessarily, circular) to a point called the apex or vertex. |
A right circular cone and an oblique circular cone
|
|
| Cylinder | Straight parallel sides and a circular or oval cross section. |
|
|
| Ellipsoid | A surface that may be obtained from a sphere by deforming it by means of directional scalings, or more generally, of an affine transformation. |
Examples of ellipsoids with equation
|
|
| Lemon | A lens (or less than half of a circular arc) rotated about an axis passing through the endpoints of the lens (or arc). | ||
| Hyperboloid | A surface that generated by rotating a hyperbola around one of its principal axes. |
الهرم
يتكون من قاعدة مضلعة الشكل. وأوجهه الجانبية مثلثات لها رأس مشهجر هورأس الهرم.
الهرم الثلاثي
هوأبسط الأهرامات، وقاعدته مثلث.
حجم الهرم الثلاثي يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. لأن جميع منشور ثلاثي يمكن تقسيمه إلى ثلاثة أهرامات ثلاثية متكافئة.
ولما كان بالإمكان تجزئة أي هرم إلى أهرام ثلاثية، كان حجم أي هرم يساوي أيضاً ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع.
السطح الأسطواني
هوكالسطح المنشوري إلا حتى دليله ل منحنٍ بدلاً من المضلع.
الأسطوانة
هي في الحقيقة منشور تحولت قاعدته المضلعة إلى منحنٍ مغلق. فحجم الأسطوانة يساوي جداء مساحة القاعدة في الارتفاع.
تكون الأسطوانة دورانية إذا كانت قاعدتها دائرة ومولداتها عمودية على مستوي هذه الدائرة. وتتولد الأسطوانة الدورانية من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه. وإذا قص سطح هذه الأسطوانة وفرد يصبح مستطيلاً طوله هومحيط دائرة القاعدة وارتفاعه هومولد السطح الأسطواني، فالسطح الجانبي لأسطوانة دورانية يساوي محيط القاعدة في المولد.
السطح المخروطي
هوالسطح المتولد من حركة مستقيم يمر من نقطة ثابتة ويستند إلى منحنٍ. تسمى م رأس السطح، والمستقيم ب بَ مولده.
المخروط
هوهرم تحولت قاعدته إلى منحنٍ مغلق، فحجم المخروط يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع.
دوران مثلث قائم حول إحدى ضلعيه القائمتين، فيتولد سطحه من دوران الوتر.
مساحة السطح الجانبي للمخروط الدوراني تساوي نصف محيط القاعدة في طول المولد.
الكرة
على فرض حتى هناك نقطة م وعدداً ر. إذا مجموعة نقط الفضاء التي تبعد عن م مسافة ر تشكل سطح كرة مركزها م ونصف قطرها ر.
بفرض ب نقطة في الفضاء تبعد عن مركز الكرة م مسافة ل.
فحين تكون ل = ر تكون النقطة ب على سطح الكرة. وحين تكون ل < ر تكون ب خارج الكرة. وحين تكون ل > ر تكون ب داخل الكرة. فالكرة سطح مغلق.
بفرض س مستقيماً يبعد عن مركز الكرة مسافة ج
حين تكون ج < ر، تكون جميع نقط هذا المستقيم خارج الكرة. وحين تكون ج = رقد يكون المستقيم مماساً للكرة.
أما حين تكون ج > ر فيكون المستقيم قاطعاً للكرة في نقطتين. فيتعين عليه وتر
فإذا كان طرفا بترة مستقيمة مثل ب جـ واقعين داخل الكرة، تكون البترة بتمامها داخل الكرة. فالكرة سطح مغلق محدب.
إن وضع مستوي بالنسبة لكرة يتوقف أيضاً على بعد هذا المستوي عن مركز الكرة. فإذا كان هذا البعد أكبر من رقد يكون المستوي خارج الكرة، وإذا كان هذا البعد يساوي رقد يكون المستوي مماساً للكرة.
أما إذا كان هذا البعد أصغر من ر فيكون المستوي قاطعاً للكرة وفق دائرة مركزها هومسقط مركز الكرة على المستوي .
وحينقد يكون المستوي ماراً من مركز الكرة فإنه يبترها وفق دائرة قطرها هوقطر الكرة، وتوصف بأنها دائرة عظمى، لأنه لا يمكن حتى توجد على سطح الكرة دائرة أكبر من ذلك.
مساحة سطح الكرة: لما كانت جميع الكرات متشابهة كانت مساحات سطوح الكرات متناسبة مع مربعات أنصاف أقطارها. أوبتعبير آخر إذا النسبة بين مساحة سطح أي كرة ومربع نصف قطرها هي نسبة ثابتة وقد عثر أنها تساوي أربعة π، فإذا رمزنا لمساحة سطح الكرة بالرمز سطقد يكون لدينا
ومنه سط = أربعة π ر2، إلى غير ذلك فإن مساحة سطح الكرة هي أربعة أمثال مساحة دائرة عظمى عليها.
لتكن هناك أسطوانة دورانية (الشكل-9) مرسومة خارج الكرة بحيثقد يكون سطحها الجانبي ملامساً للكرة ومستوي جميع من قاعدتيها مماس للكرة. إذا مساحة السطح الجانبي لهذه الأسطوانة تساوي مساحة سطح الكرة؛ لأن كلاً منهما يساوي أربعة π ر2.
المنطقة الكروية
هي منطقة من سطح الكرة محصورة بين مستويين متوازيين قاطعين للكرة .
إن مساحة هذه المنطقة تساوي مساحة المنطقة اللقاءة لها من السطح الأسطواني التي ارتفاعها هوازدياد المنطقة الكروية أي ل إذاً مساحتها تساوي 2 π ر ل.
ملاحظة: يُستفاد من هذه العلاقة بين الكرة والأسطوانة في رسم خرائط مسطحة للكرة الأرضية.
القبة الكروية
هي منطقة كروية إحدى قاعدتيها هي مستوٍ مماس للكرة.
حجم الكرة
إذا جزئ سطح الكرة إلى أجزاء صغيرة يصبح انحناء الكرة في جميع جزء منها ضعيفاً بحيث يمكن عد هذا الجزء مستوياً، ومن ثم يمكن عده قاعدة لمخروط رأسه في مركز الكرة. فحجم جميع من هذه الأهرامات يساوي ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. والارتفاع كما يلاحظ هو- في جميع الأهرامات - نصف قطر الكرة. فللحصول على حجم الكرة تجمع مساحات قواعد الأهرامات كلها فيحصل على سطح الكرة أربعة π ر2 وثم يضرب بثلث نصف القطر (1/3)ل. فحجم الكرة يساوي (4/3) π ر3.
القطاع الكروي
هوجزء من الكرة قاعدته قبة كروية ورأسه مركز الكرة .
يُحسب حجم هذا القطاع بالطريقة نفسها التي اتبعت في حساب حجم الكرة أي بتجزئة القاعدة إلى أجزاء صغيرة يمكن عدها قواعد لمخاريط رأسها مشهجر في مركز الكرة (فارتفاعها المشهجر هور) ومجموعها هومساحة سطح القبة، فحجم القطاع: (1/3) (2 π ر. ل. ر) = (2/3) π ر2 ل.
حجم القبة الكروية
لحساب حجم القبة الكروية ب جـ د لَ يجب حتى يحسب أولاً حجم القطاع الكروي، ثم يطرح منه حجم المخروط الذي قاعدته هي قاعدة القبة وارتفاعه م هـ حيث هـ هي مركز قاعدة القبة وهي مسقط مركز الكرة م على القاعدة...
التقنيات
Various techniques and tools are used in solid geometry. Among them, analytic geometry and vector techniques have a major impact by allowing the systematic use of linear equations and matrix algebra, which are important for higher dimensions.
التطبيقات
A major application of solid geometry and stereometry is in computer graphics.
انظر أيضاً
- Ball regions
- Euclidean geometry
- Dimension
- Point
- Planimetry
- Shape
- Lists of shapes
- Surface
- Surface area
- أرخميدس
المصادر
- هندسة المجسمات
الهامش
- ^ ...paraphrased and taken in part from the 1911 Encyclopædia Britannica.
- ^ Robertson, Stewart Alexander (1984). . Cambridge University Press. p. 75. ISBN .
- ^ Dupuis, Nathan Fellowes (1893). . Macmillan. p. 53. Retrieved December 1, 2018.
- ^ Weisstein, Eric W. "Lemon". Wolfram MathWorld. Retrieved 2019-11-04.
- ^ الهندسة الفراغية, الموسوعة العربية
المراجع
- Kiselev, A. P. (2008). Geometry. Book II. Stereometry. Translated by Givental, Alexander. Sumizdat.
| مواضيع في الهندسة الرياضية | |
| هندسة إقليدية ثلاثية الأبعاد (هندسة فراغية) | |
| إسقاط ثلاثي الأبعاد 3D projection| رسومات حاسوبية ثلاثية الأبعاد> تقسيم فضاء ثنائي > إقتفاء شعاع> مسح جراهام| حلقات بوروميان| كريستال| قضبان Cuisenaire| نظرية دي سارغو| مخروط دائري سليم| مجسم زائد| مجسم درجة ثانية| متعدد سطوح> ( عيب (هندسة)| موشور| بريسماتويد Prismatoid | قرص عسل| هرم| متوازي الأنابيب Parallelepiped )| رباعي سطوح > ( رباعي سطوح هيروني| صلب أفلاطوني Platonic solid | صلب أرخميدي Archimedean solid| صلب كبلر بوينسوت| صلب جونسن| شكل متعدد السطوح موحد| مركب متعدد الوجوه Polyhedral| معضلة هلبرت الثالثة| دلتاهيدرون Deltahedron )| سطح نظامي Surface normal| مجال 3، جسم شبه كروي spheroid ، مجسم ناقص ellipsoid | مكبر صوت بتري مكافىء Parabolic microphone | عاكس بتري مكافىء Parabolic reflector| مبتر عرضي Cross section| سفيريكون Sphericon| إسقاط رسومي فراغي Stereographic| قياسات فراغية Stereometry |
