في الرياضيات ، متسلسلة فورييه (/ ˈfʊrieɪ، _ʔiər /)) هي دالة دورية تتكون من جيوب متناغمة ، بالإضافة إلى الجمع الحسابي باستخدام الحسابات المناسبة ، يمكن إجراء دورة واحدة (أوفترة) من الجمع لتقريب دالة اختيارية في تلك الفترة (أوالالدالة بأكملها إذا كانت دورية أيضًا). على هذا النحو، يعد الجمع توليفًا لدالة أخرى. يعد تحويل الوقت المنفصل لفورييه مثالاً على متسلسلة فوريير. عملية اشتقاق الحسابات التي تصف دالة معينة هي شكل من أشكال تحليل فورييه. بالنسبة للدوالستة على فترات غير محدودة ، فإن التحليل ومقارنة المجماميع هي تحويل فورييه والتحويل العكسي.

الدالة ${\displaystyle s(x)$ (باللون الأحمر) هي مجموع ست دوال جيبية ذات سعة مختلفة وترددات متناغمة. ويسمى جمعهم متسلسلة فورييه. يكشف تحويل فورييه , ${\displaystyle S(f)$ (باللون الأزرق) ، الذي يصور الاتساع لقاء التردد ،ستة ترددات (في التوافقيات الفردية) وسعاتها (1 / عدد فردي)

التاريخ

تم تسمية متسلسلة فورييه تكريمًا لجان باتيست جوزيف فورييه (1768-1830)، الذي قدم مساهمات مهمة في دراسة المتسلسلات المثلثية، بعد التحقيقات الأولية التي قام بها ليونارد أويلر وجان لرون دالمبير ودانيال برنولي. قدم فورييه المتسلسلة لغرض حل معادلة الحرارة في لوحة معدنية ، ونشر نتائجه الأولية في كتابه الصادر في 1807 بعنوان Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (منطقة في انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة)، ونشر كتابه Théorie analytique de la chaleur (النظرية التحليلية للحرارة) في عام 1822. قدم Mémoire تحليل فورييه ، تحديدًا متسلسلة فورييه. من خلال درس فورييه ، ثبت حتى الدالة الاختيارية (المستمرة) يمكن تمثيلها بمتسلسلة مثلثية. تم الإعلان الأول عن هذا الاكتشاف العظيم من قبل فورييه في عام 1807، في الأكاديمية الفرنسية تعود الأفكار المبكرة لتفكيك دالة دورية إلى مجموع دوال تذبذب سهل إلى القرن الثالث ق.م.، عندما اقترح فهماء الفلك القدماء نموذجًا تجريبيًا لحركات الكواكب، استنادًا إلى الفلك الحامل وفلك التدوير.

المعادلة الحرارية هي معادلة تفاضلية جزئية. قبل عمل فورييه، لم يكن هناك حل لمعادلة الحرارة معروفًا في الحالة العامة، على الرغم من حتى حلولًا معينة كانت معروفة إذا تصرف مصدر الحرارة بطريقة بسيطة، وخصوصاً، إذا كان مصدر الحرارة تعبير عن موجة جيبية أوجيب التمام. تسمى هذه الحلول البسيطة أحيانًا في بعض الأحيان باسم الحلول الذاتية. كانت فكرة فورييه هي نمذجة مصدر حراري معقد على أنه تراكب (أوهجريبة خطية) من موجات الجيب وجيب التمام البسيطة، وكتابة الحل كتراكب لحالات الحلول الذاتية اللقاءة. فكرة فورييه كانت نمذجة مصدر حراري معقد كتراكب (أوتجميع خطي) لموجات جيبية وتمام جيبية بسيطة، وكتابة حل كتراكب للحلول الذاتية المناظرة. هذا التراكب أوالتجميع الخطي يسمى متسلسلة فورييه.

من وجهة نظر حديثة ، فإن نتائج فورييه غير معتمدة إلى حد ما ، بسبب الافتقار إلى مفهوم دقيق للدالة والتكامل في أوائل القرن التاسع عشر. في وقت لاحق ، عبر يوهان پيتر گوستاف لجون ديريكلهوبرنارد ريمان عن نتائج فورييه بدقة أكبر وشكلية.

على الرغم من حتى الدافع الأصلي كان حل معادلة الحرارة ، إلا أنه أصبح من الواضح لاحقًا أنه يمكن تطبيق نفس التقنيات على مجموعة واسعة من المشاكل الرياضية والفيزيائية، وخاصة تلك التي تتضمن معادلات تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة ، والتي تكون فيها الحلول الذاتية هي موجات جيبية. ولمتسلسلة فورييه الكثير التطبيقات في الهندسة الكهربائية، وتحليل الاهتزاز، والصوتيات، والبصريات، ومعالجة الإشارات، ومعالجة الصور ، وميكانيكا الكم، والاقتصاد القياسي، ونظرية القشرة رقيقة الجدران، وما إلى ذلك.

تعريف

بفرض ان للدالة قيمة حقيقية, ${\displaystyle s(x)$,   ، قابلة للتكامل على فترة زمنية ${\displaystyle P$، والتي ستكون فترة متسلسلة فورييه. الأمثلة الشائعة لفترات التحليل هي:

${\displaystyle x\in [0,1],$ and ${\displaystyle P=1.$

${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ],$ and ${\displaystyle P=2\pi .$

تحدد عملية التحليل الحسابات ، فهم بعدد سليم ${\displaystyle n$, وهوأيضا عدد دورات ال ${\displaystyle n^{\text{th$متناسقة في فترة التحليل. لذلك ، طول الدورة ، بوحدات ${\displaystyle x$, . والتردد التوافقي اللقاء هو${\displaystyle P/n$. ${\displaystyle n^{th$التوافقيات هي ${\displaystyle \sin \left(2\pi x{\tfrac {n {P \right)$ و${\displaystyle \cos \left(2\pi x{\tfrac {n {P \right)$,، ويتم العثور على اتساعها (الحسابات) عن طريق التكامل على مدى الطول

${\displaystyle P$:

• إذا ${\displaystyle s(x)$قد يكون${\displaystyle P$- بشكل دوري ، فإن أي فاصل من هذا الطول يكفي.
• ${\displaystyle a_{0$و${\displaystyle b_{0$ يمكن تخفيضها إلى ${\displaystyle a_{0 ={\frac {2 {P \int _{P s(x)\,dx$ و${\displaystyle b_{0 =0$.
• تختار الكثير من النصوص ${\displaystyle P=2\pi$ لتبسيط برهان الدوال الجيبية.

عملية التوليف (متسلسلة فورييه العملية) هي:

بشكل عام ، عدد سليم ${\displaystyle N$   غير محدود نظريا. ومع ذلك ، قد لا تتلاقى المتسلسلة أوتساويها تمامًا ${\displaystyle s(x)$   في جميع قيم${\displaystyle x$(مثل انقطاع نقطة واحدة) في فترة التحليل. بالنسبة للدوال "حسنة التصرف" النموذجية للعمليات الفيزيائية ، يتم افتراض المساواة عادة.

إذا كانت ${\displaystyle s(t)$ هي دالة موجودة في فاصل زمني بطول ${\displaystyle P$ (وصفر في مكان آخر) ، فإن الربع العلوي الأيمن هومثال على معاملات متسلسلة فورييه (${\displaystyle A_{n$)قد تبدوعند رسمها لقاء الترددات التوافقية اللقاءة لها. الربع العلوي الأيسر هوتحويل فورييه اللقاء لـ ${\displaystyle s(t).$ إذا مجموع متسلسلة فورييه (غير معروضة)هجرب تجميعًا دوريًا لـ ${\displaystyle s(t),$   في حين حتى تحويل فورييه المعكوس (غير مشروح) يتولف فقط ${\displaystyle s(t).$

باستخدام متطابقة مثلثية:

${\displaystyle A_{n \cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx {P -\varphi _{n \right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n \cos(\varphi _{n ) _{a_{n \cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx {P \right)+\underbrace {A_{n \sin(\varphi _{n ) _{b_{n \cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx {P \right),$

والتعاريف${\displaystyle A_{n \triangleq {\sqrt {a_{n ^{2 +b_{n ^{2$ و${\displaystyle \varphi _{n \triangleq \operatorname {arctan2 (b_{n ,a_{n )$, ، يمكن التعبير عن أزواج الجيب وجيب التمام كجيبي واحد مع إزاحة طور ، مماثلة للتحويل بين الإحداثيات المتعامدة (الديكارتية) والإحداثيات القطبية:

النموذج المألوف للتعميم على القيمة المعقدة ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\begin{array {lll \cos \left({\tfrac {2\pi nx {P -\varphi _{n \right)&{ \equiv {\tfrac {1 {2 e^{i\left({\tfrac {2\pi nx {P -\varphi _{n \right) &{ +{\tfrac {1 {2 e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx {P -\varphi _{n \right) \\&=\left({\tfrac {1 {2 e^{-i\varphi _{n \right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x {P &{ +\left({\tfrac {1 {2 e^{-i\varphi _{n \right)^{* \cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x {P .\end{array$

لذلك ، مع الاثباتات:

${\displaystyle c_{n \triangleq \left\{{\begin{array {lll A_{0 /2&=a_{0 /2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n {2 e^{-i\varphi _{n &={\tfrac {1 {2 (a_{n -ib_{n ),\quad &n>0\\c_{|n| ^{* ,\quad &&n<0\end{array \right\ \quad =\quad {\frac {1 {P \int _{P s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx,$

النتيجة النهائية هي:

دوال ذات قيمة معقدة

إذا ${\displaystyle s(x)$ هي دالة ذات قيمة معقدة لمتغير حقيقي ${\displaystyle x,$ كلا المكونين (الجزء الحقيقي والخيالي) دوال ذات قيمة حقيقية يمكن تمثيلها بمتسلسلة فورييه. مجموعتا المعامِلات والمجموع الجزئي معطاة بواسطة:

${\displaystyle c_{_{Rn ={\frac {1 {P \int _{P \operatorname {Re \{s(x)\ \cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx$     and     ${\displaystyle c_{_{In ={\frac {1 {P \int _{P \operatorname {Im \{s(x)\ \cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx$

${\displaystyle s_{N (x)=\sum _{n=-N ^{N c_{_{Rn \cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx {P +i\cdot \sum _{n=-N ^{N c_{_{In \cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx {P =\sum _{n=-N ^{N \left(c_{_{Rn +i\cdot c_{_{In \right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx {P .$

اثبات ${\displaystyle c_{n \triangleq c_{_{Rn +i\cdot c_{_{In$ عائدات:

هذا مطابق لـ معادلة أربعة باستثناء ${\displaystyle c_{n$ و${\displaystyle c_{-n$   لم تعد اتحادات معقدة. معادلة ${\displaystyle c_{n$ كما هودون تغيير:

${\displaystyle {\begin{aligned c_{n &={\frac {1 {P \int _{P \operatorname {Re \{s(x)\ \cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx+i\cdot {\frac {1 {P \int _{P \operatorname {Im \{s(x)\ \cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx\\[4pt]&={\frac {1 {P \int _{P \left(\operatorname {Re \{s(x)\ +i\cdot \operatorname {Im \{s(x)\ \right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx\ =\ {\frac {1 {P \int _{P s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx {P \ dx.\end{aligned$

الرموز الشائعة الأخرى

التدوين الرقمي ${\displaystyle c_{n$ غير كافية لمناقشة معاملات فورييه للعديد من الدوال المتنوعة لذلك ، يتم استبداله عادة بشكل معدل من الدالة (${\displaystyle s$, ، في هذه الحالة) ، مثل ${\displaystyle {\hat {s (n)$ or ${\displaystyle S[n]$,   ، وغالبًا ما يستبدل الترميز الدالي البرمجة الفرعية:

${\displaystyle {\begin{aligned s_{\infty (x)&=\sum _{n=-\infty ^{\infty {\hat {s (n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P \\[6pt]&=\sum _{n=-\infty ^{\infty S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P &&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation \end{aligned$

في الهندسة خاصة عند المتغير ${\displaystyle x}$

يستخدم تمثيل مجال تردد آخر رائج الاستخدام معاملات متسلسلة فورييه لتعديل مشط ديراك:

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty ^{\infty S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n {P \right),$

حيث تمثل ${\displaystyle f}$${\displaystyle 1/P}$${\displaystyle s_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned {\mathcal {F ^{-1 \{S(f)\ &=\int _{-\infty ^{\infty \left(\sum _{n=-\infty ^{\infty S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n {P \right)\right)e^{i2\pi fx \,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty ^{\infty S[n]\cdot \int _{-\infty ^{\infty \delta \left(f-{\frac {n {P \right)e^{i2\pi fx \,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty ^{\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P \ \ \triangleq \ s_{\infty (x).\end{aligned$

الدالة المبنية ${\displaystyle S(f)$ لذلك يُشار عادةً إلى تحويل فورييه ، على الرغم من حتى تكامل فورييه للدالة الدورية غير متقارب عند الترددات التوافقية.

.

التقارب

، ثم تتقارب متسلسلة فورييه إلى الالدالة في جميع نقطة تقريبًا. يعتمد تقارب متسلسلة فورييه أيضًا على العدد المحدود من القيم القصوى والصغرى في دالة معروفة شعبياً كواحدة من حالة دريكليه لمتسلسلة فورييه. انظر متسلسلة تقارب فورييه. من الممكن تحديد معاملات فورييه لدوال أوتوزيعات أكثر عمومية ، في مثل هذه الحالاتقد يكون التقارب في المعيار أوالتقارب الضعيف مفيدًا عادةً.في التطبيقات الهندسية ، يُفترض عمومًا حتى متسلسلة فورييه تتلاقى في جميع مكان باستثناء فترات التوقف ، لأن الدوال التي تمت لقاءتها في الهندسة يتم التصرف بها بشكل جيد أكثر من تلك التي يمكن حتى يقدمها فهماء الرياضيات كأمثلة مضادة لهذا الافتراض. على وجه الخصوص ، إذا كانت s متواصلة وكان مشتق ${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [x_0,x_0+P]}$

• أربع مجاميع جزئية (سلسلة فورييه) بأطوال 1 و2 وثلاثة وأربعة حدود. إظهار كيف من الممكن أن يتحسن التقريب لموجة مربعة حدثا زاد عدد الحدود. (يمكن رؤية الرسوم المتحركة التفاعلية هنا) here)

• أربع مجاميع جزئية (سلسلة فورييه) بأطوال 1 و2 وثلاثة وأربعة حدود. يوضح كيف من الممكن أن حتى التقريب لموجة سن المنشار يتحسن مع زيادة عدد الحدود.

• مثال على التقارب إلى دالة اختيارية إلى حد ما. لاحظ تطور "الرنين" (ظاهرة جيبس) عند الانتنطق من / إلى الأقسام العمودية.

أمثلة

مثال 1: متسلسلة فورييه بسيطة

رسم لموجة سن المنشار ، اتصال دوري للدالة الخطية ${\displaystyle s(x)=x/\pi$ في الفترة الزمنية ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]$

نستخدم الآن المعادلة أعلاه لإعطاء توسيع متسلسلة فورييه لدالة بسيطة للغاية. فكر في موجة سن المنشار

${\displaystyle s(x)={\frac {x {\pi ,\quad \mathrm {for -\pi <x<\pi ,$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for -\pi <x<\pi {\text{ and k\in \mathbb {Z .$

في هذه الحالة ، يتم إعطاء معاملات فورييه بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned a_{n &={\frac {1 {\pi \int _{-\pi ^{\pi s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]b_{n &={\frac {1 {\pi \int _{-\pi ^{\pi s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2 {\pi n \cos(n\pi )+{\frac {2 {\pi ^{2 n^{2 \sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1 {\pi n ,\quad n\geq 1.\end{aligned$

يمكن حتى يثبت حتى متسلسلة فورييه تتلاقى ${\displaystyle s(x)$ في جميع نقطة ${\displaystyle x$ حيث ان ${\displaystyle s$ قابل للتمييز ، وبالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned s(x)&={\frac {a_{0 {2 +\sum _{n=1 ^{\infty \left[a_{n \cos \left(nx\right)+b_{n \sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2 {\pi \sum _{n=1 ^{\infty {\frac {(-1)^{n+1 {n \sin(nx),\quad \mathrm {for \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z .\end{aligned$

(Eq.7)

عندما ${\displaystyle x=\pi$, تتقارب متسلسلة فورييه إلى 0, وهونصف مجموع الحد الأيمن والأيسر لـ s عند ${\displaystyle x=\pi$. هذا هومثال خاص لنظرية دريكليه لمتسلسلة فورييه.

يقودنا هذا المثال إلى حل لمشكلة بازل.

مثال 2: دافع فورييه

يبدوتوسيع متسلسلة فورييه لدالتنا في المثال 1 أكثر تعقيدًا من المعادلة البسيطة ${\displaystyle s(x)=x/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \pi$ مترًا ، مع إحداثيات ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$. إذا لم يكن هناك مصدر حرارة داخل اللوحة, a وإذا تم الاحتفاظ بثلاثة من الجوانب الأربعة عند 0 درجة مئوية , في حين جانب الرابع ، المعطى بواسطة ${\displaystyle y=\pi$, عند درجة حرارة التدرج${\displaystyle T(x,\pi )=x$ درجة مئوية,بالنسبة إلى ${\displaystyle x$ في ${\displaystyle (0,\pi )$, يمكن للمرء حتى يثبت حتى توزيع الحرارة الثابت (أوتوزيع الحرارة بعد انقضاء فترة زمنية طويلة) المعطي بواسطة:

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {(-1)^{n+1 {n \sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi ) .$

هنا sinh هي دالة الجيب الزائدية. يتم الحصول على حل معادلة الحرارة بضرب جميع حد لمعادلةسبعة ${\displaystyle \sinh <!--\; \; -->(ny)/\sinh <!--\; \; -->(n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$

تطبيقات أخرى

تطبيق آخر لمتسلسلة فورييه هوحل معضلة بازل باستخدام نظرية بارسيفال. يعمم المثال ويمكن للمرء حساب (ζ(2n), لأي عدد سليم موجب n.

البدايات

خط جوزيف فورييه: ^{[محل شك]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0 \cos {\frac {\pi y {2 +a_{1 \cos 3{\frac {\pi y {2 +a_{2 \cos 5{\frac {\pi y {2 +\cdots .$

ضرب الطرفين في ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y {2$, ثم التكامل من ${\displaystyle y=-1$ to ${\displaystyle y=+1$ yields:

${\displaystyle a_{k =\int _{-1 ^{1 \varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y {2 \,dy.$

— جوزيف فورييه , الذاكرة على انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة. (1807)

يعطي هذا على الفور أي معامل a_k من المتسلسلة المثلثية (φ(y) لأي دالة لها مثل هذا التوسع. يعمل لأنه إذا كان φ لديه مثل هذا التوسع ، فعندئذٍ (تحت افتراضات التقارب المناسبة) التكامل

${\displaystyle {\begin{aligned a_{k &=\int _{-1 ^{1 \varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y {2 \,dy\\&=\int _{-1 ^{1 \left(a\cos {\frac {\pi y {2 \cos(2k+1){\frac {\pi y {2 +a'\cos 3{\frac {\pi y {2 \cos(2k+1){\frac {\pi y {2 +\cdots \right)\,dy\end{aligned$

يمكن حتى يتم حلها جميع على حدة. ولكن جميع الأطراف التي تنطوي عليها ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y {2 \cos(2k+1){\frac {\pi y {2$ بالنسبة إلى j ≠ k تختفي عند التكامل من −1 إلى 1 تاركًا الحد kth فقط.

في هذه الأسطر القليلة ، التي هي قريبة من الشكلية الحديثة المستخدمة في متسلسلة فورييه ، أحدث فورييه ثورة في الرياضيات والفيزياء. على الرغم من حتى متسلسلة المثلثات المماثلة كانت تستخدم من قبل أويلر ، دالمبرت ، دانيال برنولي وغاوس ، يعتقد فورييه حتى هذه المتسلسلة المثلثية يمكن حتى تمثل أي دالة اختيارية. بمعنى حتى هذا سليم في الواقع هوقضية خفية إلى حد ما وقد أدت المحاولات على مدى سنوات عديدة لتوضيح هذه الفكرة إلى اكتشافات مهمة في نظريات التقارب ومساحات الدوال والتحليل التوافقي.

عندما قدم فورييه منطقة منافسة لاحقة في عام 1811 ، استنتجت اللجنة (التي تضمنت لاغرانج ولابلاس ومالوس وليجندر ، من بين آخرين): . الكيفية التي يصل بها المؤلف إلى هذه المعادلات ليست معفاة من الصعوبات و. تحليله لدمجها لا يزال يهجر شيء ما مرغوب فيه على درجة العمومية وحتى أكثر صرامة. ^{[بحاجة لمصدر]}

نشأة التحليل التوافقي

منذ وقت فورييه ، تم اكتشاف الكثير من الأساليب المتنوعة لتحديد وفهم مفهوم متسلسلة فورييه ، وكلها تتسق مع بعضها البعض ، ولكن جميع منها يؤكد على جوانب مختلفة من الموضوع. تستند بعض المقاربات الأكثر قوة وأناقة على الأفكار والأدوات الرياضية التي لم تكن متاحة في الوقت الذي أكمل فيه فورييه عمله الأصلي. حدد فورييه في الأصل متسلسلة فورييه للدوال ذات القيمة الحقيقية للدوال الحقيقية ، واستخدم دالات الجيب وجيب التمام كأساس للتحليل.

تم اثبات الكثير من التحويلات الأخرى ذات الصلة بـ فورييه منذ ذلك الحين ، لتوسيع الفكرة الأولية لتطبيقات أخرى. يُطلق على هذا المجال العام من البحث أحيانًا اسم التحليل التوافقي. ومع ذلك ، لا يمكن استعمال متسلسلة فورييه إلا للدوال الدورية ، أوللدوال على فترة زمنية محدد (مضغوط).

ملحقات

متسلسلة فورييه على مربع

يمكننا أيضًا تحديد متسلسلة فورييه لدوال متغيرين ${\displaystyle x$ و${\displaystyle y$ في المربع ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$:

${\displaystyle {\begin{aligned f(x,y)&=\sum _{j,k\,\in \,\mathbb {Z {\text{ (integers) c_{j,k e^{ijx e^{iky ,\\[5pt]c_{j,k &={1 \over 4\pi ^{2 \int _{-\pi ^{\pi \int _{-\pi ^{\pi f(x,y)e^{-ijx e^{-iky \,dx\,dy.\end{aligned$

بصرف النظر عن كونه مفيدًا في حل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الحرارة ، فإن أحد التطبيقات البارزة لمتسلسلة فورييه على المربع هوفي ضغط الصورة. على وجه الخصوص ، يستخدم معيار ضغط الصورة jpeg تحويل جيب التمام المنفصل ثنائي الأبعاد ، وهوتحويل فورييه باستخدام دوال أساس جيب التمام.

متسلسلة فورييه من دالة - براڤيه شبكية دورية

يتم اثبات شبكة براڤيه ثلاثية الأبعاد على أنها مجموعة متجهات الشكل:

${\displaystyle \mathbf {R =n_{1 \mathbf {a _{1 +n_{2 \mathbf {a _{2 +n_{3 \mathbf {a _{3$

حيث ${\displaystyle n_i}$

${\displaystyle \mathbf {r =x_{1 {\frac {\mathbf {a _{1 {a_{1 +x_{2 {\frac {\mathbf {a _{2 {a_{2 +x_{3 {\frac {\mathbf {a _{3 {a_{3 ,$

حيث ${\displaystyle a_{i \triangleq |\mathbf {a _{i |.$

وبالتالي يمكننا تحديد دالة جديدة ،

${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\triangleq f(\mathbf {r )=f\left(x_{1 {\frac {\mathbf {a _{1 {a_{1 +x_{2 {\frac {\mathbf {a _{2 {a_{2 +x_{3 {\frac {\mathbf {a _{3 {a_{3 \right).$

هذه الدالة الجديدة , ${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )$,   ، هي الآن دالة لثلاثة متغيرات ، لكل منها دورية a₁, a₂, a₃ على التوالي:

${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )=g(x_{1 +a_{1 ,x_{2 ,x_{3 )=g(x_{1 ,x_{2 +a_{2 ,x_{3 )=g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 +a_{3 ).$

إذا خطنا متسلسلة لـ g على الفترة الزمنية [0, a₁] لـx₁, مكننا تحديد ما يلي::

${\displaystyle h^{\mathrm {one (m_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\triangleq {\frac {1 {a_{1 \int _{0 ^{a_{1 g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{1 {a_{1 x_{1 \,dx_{1$

ثم نخط:

${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )=\sum _{m_{1 =-\infty ^{\infty h^{\mathrm {one (m_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1 {a_{1 x_{1$

مزيد من الأيضاح:

${\displaystyle {\begin{aligned h^{\mathrm {two (m_{1 ,m_{2 ,x_{3 )&\triangleq {\frac {1 {a_{2 \int _{0 ^{a_{2 h^{\mathrm {one (m_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{2 {a_{2 x_{2 \,dx_{2 \\[12pt]&={\frac {1 {a_{2 \int _{0 ^{a_{2 dx_{2 {\frac {1 {a_{1 \int _{0 ^{a_{1 dx_{1 g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1 {a_{1 x_{1 +{\frac {m_{2 {a_{2 x_{2 \right) \end{aligned$

يمكننا الكتابة ${\displaystyle g$مرة أخرى مثل:

${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )=\sum _{m_{1 =-\infty ^{\infty \sum _{m_{2 =-\infty ^{\infty h^{\mathrm {two (m_{1 ,m_{2 ,x_{3 )\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1 {a_{1 x_{1 \cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2 {a_{2 x_{2$

وأخيرًا بتطبيق نفس الإحداثي الثالث ، نحدد:

${\displaystyle {\begin{aligned h^{\mathrm {three (m_{1 ,m_{2 ,m_{3 )&\triangleq {\frac {1 {a_{3 \int _{0 ^{a_{3 h^{\mathrm {two (m_{1 ,m_{2 ,x_{3 )\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{3 {a_{3 x_{3 \,dx_{3 \\[12pt]&={\frac {1 {a_{3 \int _{0 ^{a_{3 dx_{3 {\frac {1 {a_{2 \int _{0 ^{a_{2 dx_{2 {\frac {1 {a_{1 \int _{0 ^{a_{1 dx_{1 g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1 {a_{1 x_{1 +{\frac {m_{2 {a_{2 x_{2 +{\frac {m_{3 {a_{3 x_{3 \right) \end{aligned$

نخط ${\displaystyle g$ مثل:

${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )=\sum _{m_{1 =-\infty ^{\infty \sum _{m_{2 =-\infty ^{\infty \sum _{m_{3 =-\infty ^{\infty h^{\mathrm {three (m_{1 ,m_{2 ,m_{3 )\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1 {a_{1 x_{1 \cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2 {a_{2 x_{2 \cdot e^{i2\pi {\frac {m_{3 {a_{3 x_{3$

إعادة ترتيب:

${\displaystyle g(x_{1 ,x_{2 ,x_{3 )=\sum _{m_{1 ,m_{2 ,m_{3 \in \mathbb {Z h^{\mathrm {three (m_{1 ,m_{2 ,m_{3 )\cdot e^{i2\pi \left({\frac {m_{1 {a_{1 x_{1 +{\frac {m_{2 {a_{2 x_{2 +{\frac {m_{3 {a_{3 x_{3 \right) .$

الآن ، يمكن كتابة جميع متجه شبكي متبادل باسم ${\displaystyle \mathbf {G =\ell _{1 \mathbf {g _{1 +\ell _{2 \mathbf {g _{2 +\ell _{3 \mathbf {g _{3$, حيث ${\displaystyle l_{i$ هي أعداد سليمة و${\displaystyle \mathbf {g _{i$ a  هي متجهات شبكية متبادلة، يمكننا استخدام حقيقة ذلك ${\displaystyle \mathbf {g_{i \cdot \mathbf {a_{j =2\pi \delta _{ij$   لحساب ذلك لأي متجهات شبكية متبادلة اختيارية ${\displaystyle \mathbf {G$   والمتجه الاختياري في الفضاء ${\displaystyle \mathbf {r$, ضربهم القياسي هو:

${\displaystyle \mathbf {G \cdot \mathbf {r =\left(\ell _{1 \mathbf {g _{1 +\ell _{2 \mathbf {g _{2 +\ell _{3 \mathbf {g _{3 \right)\cdot \left(x_{1 {\frac {\mathbf {a _{1 {a_{1 +x_{2 {\frac {\mathbf {a _{2 {a_{2 +x_{3 {\frac {\mathbf {a _{3 {a_{3 \right)=2\pi \left(x_{1 {\frac {\ell _{1 {a_{1 +x_{2 {\frac {\ell _{2 {a_{2 +x_{3 {\frac {\ell _{3 {a_{3 \right).$

إلى غير ذلك من الواضح أنه في توسعنا ،قد يكون المجموع في الواقع فوق متجهات شبكية متبادلة:

${\displaystyle f(\mathbf {r )=\sum _{\mathbf {G h(\mathbf {G )\cdot e^{i\mathbf {G \cdot \mathbf {r ,$

حيث

${\displaystyle h(\mathbf {G )={\frac {1 {a_{3 \int _{0 ^{a_{3 dx_{3 \,{\frac {1 {a_{2 \int _{0 ^{a_{2 dx_{2 \,{\frac {1 {a_{1 \int _{0 ^{a_{1 dx_{1 \,f\left(x_{1 {\frac {\mathbf {a _{1 {a_{1 +x_{2 {\frac {\mathbf {a _{2 {a_{2 +x_{3 {\frac {\mathbf {a _{3 {a_{3 \right)\cdot e^{-i\mathbf {G \cdot \mathbf {r .$

بفرض

${\displaystyle \mathbf {r =(x,y,z)=x_{1 {\frac {\mathbf {a _{1 {a_{1 +x_{2 {\frac {\mathbf {a _{2 {a_{2 +x_{3 {\frac {\mathbf {a _{3 {a_{3 ,$

يمكننا حل هذا النظام من ثلاث معادلات خطية ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix {\dfrac {\partial x_{1 {\partial x &{\dfrac {\partial x_{1 {\partial y &{\dfrac {\partial x_{1 {\partial z \\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2 {\partial x &{\dfrac {\partial x_{2 {\partial y &{\dfrac {\partial x_{2 {\partial z \\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3 {\partial x &{\dfrac {\partial x_{3 {\partial y &{\dfrac {\partial x_{3 {\partial z \end{vmatrix$

والتي بعد إجراء بعض الحسابات وتطبيق بعض الأثباتات غير البسيطة للضرب الأتجاهي يمكن حتى تكون مساوية لـ:

${\displaystyle {\frac {a_{1 a_{2 a_{3 {\mathbf {a_{1 \cdot (\mathbf {a_{2 \times \mathbf {a_{3 )$

((قد يحدث من المفيد تبسيط الحسابات ، للعمل في نظام إحداثيات ديكارتية ، حيث يحدث ذلك عندماقد يكون ${\displaystyle \mathbf {a_{1$ موازية للمحور x ،, ${\displaystyle \mathbf {a_{2$ يكمن في مستوىx-y, , ${\displaystyle \mathbf {a_{3$تحتوي على مكونات من المحاور الثلاثة). المقام هوبالضبط حجم خلية الوحدة البدائية التي تحيط بها ناقلات البدائية الثلاثة

${\displaystyle \mathbf {a_{1$, ${\displaystyle \mathbf {a_{2$ ,و${\displaystyle \mathbf {a_{3$. على وجه الخصوص ، نحن نعهد ذلك الآن

${\displaystyle dx_{1 \,dx_{2 \,dx_{3 ={\frac {a_{1 a_{2 a_{3 {\mathbf {a_{1 \cdot (\mathbf {a_{2 \times \mathbf {a_{3 ) \cdot dx\,dy\,dz.$

يمكننا الكتابة الآن${\displaystyle h(\mathbf {K )$   كاتكامل من نظام الإحداثيات التقليدية على حجم الخلية البدائية ، بدلاً من متغيرات${\displaystyle x_{1$, ${\displaystyle x_{2$ و${\displaystyle x_{3$ :

${\displaystyle h(\mathbf {G )={\frac {1 {\mathbf {a_{1 \cdot (\mathbf {a_{2 \times \mathbf {a_{3 ) \int _{C d\mathbf {r f(\mathbf {r )\cdot e^{-i\mathbf {K \cdot \mathbf {r$

و${\displaystyle C$ هي خلية الوحدة الأولية ، وبالتالي, ${\displaystyle \mathbf {a_{1 \cdot (\mathbf {a_{2 \times \mathbf {a_{3 )$ هوحجم خلية الوحدة الأولية.

تفسير فضاء هلبرت

بلغة فضاءات هلبرت، فإن فئة الدوال ${\displaystyle \{e_n=e^{inx}:n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$${\displaystyle L^2([-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}])}$${\displaystyle f$ و${\displaystyle g$ بواسطة:

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1 {2\pi \int _{-\pi ^{\pi f(x){\overline {g(x) \,dx.$

يمكن كتابة نتيجة متسلسلة فوريير الأساسية لفضائات هيلبرت على النحوالتالي

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty ^{\infty \langle f,e_{n \rangle \,e_{n .$

تشكل الجيوب وجيوب التمام مجموعة متعامدة ، كما هومشروح أعلاه. تكامل الجيب وجيب التمام وضربهما يساوي صفرًا (تتساوى المساحات الخضراء والحمراء ، ويتم إلغاؤها) عندما تكون ${\displaystyle m$,او${\displaystyle n$ أوالدوال مختلفة ، وpi فقط إذا ${\displaystyle m$ و${\displaystyle n$ متساويان والدالة المستخدمة هي نفسها.

هذا يتوافق تمامًا مع المعادلة الأسية المعقدة المشروحة أعلاه. النسخة مع الجيب وجيب التمام لها ما يبررها أيضا مع تفسير فضاء هيلبرت. في الواقع ، تشكل الجيوب وجيب التمام مجموعة متعامدة:

${\displaystyle \int _{-\pi ^{\pi \cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1 {2 \int _{-\pi ^{\pi \cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn ,\quad m,n\geq 1,\,$

${\displaystyle \int _{-\pi ^{\pi \sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1 {2 \int _{-\pi ^{\pi \cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn ,\quad m,n\geq 1$

حيث( δmn هي دلتا كرونيكر) ، و

${\displaystyle \int _{-\pi ^{\pi \cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1 {2 \int _{-\pi ^{\pi \sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;\,$

علاوة على ذلك ، تكون الجيب وجيب التمام متعامدة مع الدالة الثابتة ${\displaystyle 1}$

الخصائص

جدول الخصائص الأساسية

يوضح هذا الجدول بعض العمليات الحسابية في المجال الزمني والتأثير اللقاء في معاملات متسلسلة فورييه. الرموز:

• ${\displaystyle z^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$${\displaystyle z$.
• ${\displaystyle f(x),g(x)$ يحدد ${\displaystyle P$-  تعريف الدوال الدورية فى ${\displaystyle 0<x\leq P$.
• ${\displaystyle F[n],G[n]}$

الخاصية	المجال الزمني	مجال التردد (الشكل الأسي)	ملاحظات	مرجع
الخطية	${\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$	${\displaystyle a\cdot F[n]+b\cdot G[n]$	ارقام مركبة ${\displaystyle a,b$
الزمن المعكوس‏ /التردد المعكوس	${\displaystyle f(-x)$	${\displaystyle F[-n]$		:p. 610
ترافق الوقت	${\displaystyle f(x)^{*$	${\displaystyle F[-n]^{*$		:p. 610
ترافق /انعكاس الوقت	${\displaystyle f(-x)^{*$	${\displaystyle F[n]^{*$
الجزء حقيقي في الوقت	${\displaystyle \operatorname {Re {(f(x))$	${\displaystyle {\frac {1 {2 (F[n]+F[-n]^{* )$
الجزء التخيلي في الوقت	${\displaystyle \operatorname {Im {(f(x))$	${\displaystyle {\frac {1 {2i (F[n]-F[-n]^{* )$
الجزء حقيقي في التردد	${\displaystyle {\frac {1 {2 (f(x)+f(-x)^{* )$	${\displaystyle \operatorname {Re {(F[n])$
الجزء التخيلي في التردد	${\displaystyle {\frac {1 {2i (f(x)-f(-x)^{* )$	${\displaystyle \operatorname {Im {(F[n])$
الأزاحة في الوقت / التعديل في التردد	${\displaystyle f(x-x_{0 )$	${\displaystyle F[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi x_{0 {T n$	عدد حقيقي ${\displaystyle x_{0$	:p. 610
الأزاحة في التردد / التعديل في الوقت	${\displaystyle f(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi n_{0 {T x$	${\displaystyle F[n-n_{0 ]\!$	عدد سليم ${\displaystyle n_{0$	:p. 610

خصائص التماثل

عندما تتحلل الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة المعقدة إلى الأجزاء الزوجية والفردية ، فهناك أربعة مكونات ، يشار إليها أدناه من خلال RE ، RO ، IE ، وIO. وهناك تعيين واحد لواحد بين المكونات الأربعة لدالة الوقت المعقدة والمكونات الأربعة لتحويل التردد المعقد:

${\displaystyle {\begin{array {rccccccccc {\text{Time domain &f&=&f_{_{\text{RE &+&f_{_{\text{RO &+&if_{_{\text{IE &+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO \\&{\Bigg \Updownarrow {\mathcal {F &&{\Bigg \Updownarrow {\mathcal {F &&\ \ {\Bigg \Updownarrow {\mathcal {F &&\ \ {\Bigg \Updownarrow {\mathcal {F &&\ \ {\Bigg \Updownarrow {\mathcal {F \\{\text{Frequency domain &F&=&F_{RE &+&\overbrace {i\ F_{IO &+&i\ F_{IE &+&F_{RO \end{array$

من هذا ، تظهر علاقات مختلفة ، على سبيل المثال:

• ان التحويل للدالة ذات قيمة حقيقية (f_RE+ f_RO)هوالدالة المتماثلة F_RE+ i F_IO. على العكس من ذلك ، فإن التحويل المتماثل ينطوي على مجال زمني ذوقيمة حقيقية.
• إن التحويل للدالة ذات قيمة تخيلية (i f_IE+ i f_IO) هودالة متماثلة فردية F_RO+ i F_IE, والعكس سليم.
• ان التحويل للدالة الزوجية المتماثلة (f_RE+ i f_IO)هودالة ذات قيمة حقيقية F_RE+ F_RO, والعكس سليم.
• ان التحويل للدالة المتماثلة الفردية(f_RO+ i f_IE) هودالة ذات قيمة خيالية i F_IE+ i F_IO, والعكس سليم.

مأخوذة ريمان-لبگ

إذا كان ${\displaystyle f}$

خاصية المشتقة

نقول حتى ${\displaystyle f$ تنتمي إلى ${\displaystyle C^{k (\mathbb {T )$ إذا كانت ${\displaystyle f$ هي دالة دورية في 2π في ${\displaystyle \mathbb {R$ التي هي قابلة للتفاضل لعدد ${\displaystyle k$ مرات، ومشتقتها من الدرجة k تكون متصلة.

• إذا كان ${\displaystyle f\in C^{1 (\mathbb {T )$ ، فإن معاملات فورييه ${\displaystyle {\widehat {f' (n)$ للمشتقة ${\displaystyle f'$ يمكن التعبير عنها بدلالة معاملات فورييه ${\displaystyle {\widehat {f (n)$ للدالة ${\displaystyle f$ ، من خلال الصيغة ${\displaystyle {\widehat {f' (n)=in{\widehat {f (n)$.
• إذا كانت ${\displaystyle f\in C^{k (\mathbb {T )$ ، فإن ${\displaystyle {\widehat {f^{(k) (n)=(in)^{k {\widehat {f (n)$. وخصوصاً، لما كان ${\displaystyle {\widehat {f^{(k) (n)$ يؤول إلى الصفر، فلدينا ${\displaystyle |n|^{k {\widehat {f (n)$ تؤول إلى الصفر، وهوما يعني حتى معاملات فورييه تتقارب إلى الصفر بنحوأسرع الأس k للمتغير n.

مبرهنة پارسيڤال

أذا ${\displaystyle f$ ينتمي الي ${\displaystyle L^{2 ([-\pi ,\pi ])$، فإن ${\displaystyle \sum _{n=-\infty ^{\infty |{\hat {f (n)|^{2 ={\frac {1 {2\pi \int _{-\pi ^{\pi |f(x)|^{2 \,dx$.

مبرهنة پلانشرل

اذا كانت ${\displaystyle c_{0 ,\,c_{\pm 1 ,\,c_{\pm 2 ,\ldots$ هي معاملات و${\displaystyle \sum _{n=-\infty ^{\infty |c_{n |^{2 <\infty$ فإنه يوجد دالة فريدة ${\displaystyle f\in L^{2 ([-\pi ,\pi ])$ بحيث ${\displaystyle {\hat {f (n)=c_{n$ لكل ${\displaystyle n$.

مبرهنات الالتفاف

• تنص نظرية الالتفاف الأولى على أنه إذا كان ${\displaystyle f}$${\displaystyle f$ و${\displaystyle g$ تعطيهم:

${\displaystyle [{\widehat {f*_{2\pi g ](n)=2\pi \cdot {\hat {f (n)\cdot {\hat {g (n),$

حيث:

${\displaystyle {\begin{aligned \left[f*_{2\pi g\right](x)\ &\triangleq \int _{-\pi ^{\pi f(u)\cdot g[\operatorname {pv (x-u)]\,du,&&{\big ( {\text{and \underbrace {\operatorname {pv (x)\ \triangleq \operatorname {Arg (e^{ix ) _{\text{principal value \,{\big ) \\&=\int _{-\pi ^{\pi f(u)\cdot g(x-u)\,du,&&{\text{when g(x){\text{ is 2\pi {\text{-periodic. \\&=\int _{2\pi f(u)\cdot g(x-u)\,du,&&{\text{when both functions are 2\pi {\text{-periodic, and the integral is over any 2\pi {\text{ interval. \end{aligned$