الديناميكا الحرارية

الفروع كلاسيكية • احصائية • كيميائية التوازن / اللاتوازن موائع حرارية قوانين القانون الصفري القانون الأول الثانون الثاني القانون الثالث الحالة والخصائص الحالة: النظام (مفتوح, معزول, مغلق) حدود • بيئة • توازن أجهزة (heat bath, reservoir) حالة المادة خصائص الحالة: وظيفة الحالة • وظيفة العملية Diagrams Intensive • Extensive Temperature / Entropy (intro.) † ضغط / حجم (محدد) † Chemical potential / Particle number † († Conjugate variables) Reduced properties : السعة الحرارية النوعية  ${\displaystyle =c$ ${\displaystyle T$ ${\displaystyle \partial S$ ${\displaystyle N$ ${\displaystyle \partial T$ قابلية الانضغاط  ${\displaystyle -=\beta$ ${\displaystyle 1$ ${\displaystyle \partial V$ ${\displaystyle V$ ${\displaystyle \partial p$ التمدد الحراري  ${\displaystyle =\alpha$ ${\displaystyle 1$ ${\displaystyle \partial V$ ${\displaystyle V$ ${\displaystyle \partial T$ قاعدة بيانات الخصائص العمليات والدورات العمليات: متساوية لاضغط • Isochoric • متساوية الحرارة Adiabatic • Isentropic • Isenthalpic Quasistatic • Polytropic Reversibility • Endoreversibility • عدم قابلية العكس : Heat engines • مضخات الحرارة كفاءة حرارية المعادلات مبرهنة كارنو مبرهنة كلاوسيوس علاقة أسياسية قانون الغاز القياسي علاقات ماكسويل العمل جدول المعادلات الثرموديناميكية كمائن ثرموديناميكية ٠ طاقة داخلية ${\displaystyle U(S,V)$ إنثالپيا ${\displaystyle H(S,p)=U+pV$ طاقة هلمهولتس الحرة ${\displaystyle A(T,V)=U-TS$ طاقة گيبس الحرة ${\displaystyle G(T,p)=H-TS$ التاريخ والثقافة : Entropy and time • Entropy and life Brownian ratchet • Maxwell's demon Heat death paradox • Loschmidt's paradox Synergetics التاريخ: التاريخ • التاريخ • Entropy • قوانين الحركة الدائمة نظريات: Caloric theory • Vis viva • Theory of heat المكافئ الميكانيكي للحرارة • Motive power منشورات: "An Experimental Enquiry Concerning ... Heat" "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances" "Reflections on the Motive Power of Fire" خطوط زمنية: الثرموديناميكا • محركات الحرارة الفن: Maxwell's thermodynamic surface الفهماء دانيال برنولي سادي كارنو بنوا پول إميل كلاپيرون رودولف كلاوسيوس هرمان فون هلمهولتس يوليوس روبرت فون ماير وليام رانكين جون سميتون گيورگ إرنست شتال بنجامين طومسون وليام طومسون جون جيمس واترستون ·

•  •

تمدد حراري (بالإنگليزية: thermal expansion) هوتغير شكل المادة نتيجة لتغير درجة الحرارة. ولما كان انضغاط الجوامد والسوائل ضئيلاً فإنه يكفي عملياً دراسة تمددها في ضغط قليل التغير كالضغط الجوي.

عندما يتم تسخين مادة، تبدأ الجسيمات تزيد حركة الجسيمات، وتحاول المحافظة على المسافات الموجودة بينها, ومع زيادة درجة الحرارة تتسع هذه المسافات، ويقتصر هذا التأثير على الحجم. ويطلق على درجة من التوسع مقسومة على التغير في درجات الحرارة معامل التمدد الحراري (coefficient of thermal expansion) المواد وبصفة عامة يختلف مع درجة الحرارة.

نظرة عامة : أثر الحرارة على المواد

يجب حتى نعهد اولا حتى المادة تتكون من جزيئات في حالة حركة مستمرة ونتيجة حركة هذه الجزيئات فان للجزيئات طاقة حركة ونتيجة قوة الجذب المتبادلة بين الجزيئات فان لها طاقة وضع ومجموع هاتين الطاقتين يطلق عليهما اسم الطاقة الداخلية.

الطاقة الداخلية للجسم = طاقة الوضع + طاقة الحركة

وعند التسخين اوالتبريد فان طاقة حركة الجزيئات تزيد أوتقل تتباعد أوتتقارب وبالتالي تزداد المسافات بين الجزيئات اوتقل فتتغير من حالة إلى أخرى.

قد صنف الفهماء حالات المادة الى (صلبة- سائلة – غازية)

وصنفها البعض إلى ثلاثة أشكال:

- الجامدة

- المائعة وتضم ( السوائل والغازات )

- البلازما

والبلازما: هي حالة توجد عليها المادة عند ازدياد درجة حرارة الغازات الى درجات الحرارة العالية حيث تتفكك الجزيئات الى ايونات موجبة والكترونات السالبة مكونة خليطا من الايونات المشحونة وهي ما تسمى بالبلازما وهي تؤلف القسم الاعظم من مادة الكون والمجرات0

ومما تجاوز يمكن القول أن:

- درجة حرارة الجسم تعتبر مقياسا لطاقة حركة جزيئاته.

- حالة الجسم تعتبر مقياسا لطاقة وضع جزيئاته.

فمثلا الماء عند درجتين 50 و80 تكون طاقة الحركة مختلفة وطاقة الوضع ثابتة.

من الممكن أنك لاحظت حتى الأسلاك الممدودة تكون مرتخية صيفا ومشدودة شتاء, وزيادة انتفاخ إطارات السيارة نهارا ونقص انتفاخها ليلا, وتجمد الدهن داخل الاوعية شتاء وسيولته صيفا, فما سبب هذه الظاهرة؟ ان اكتساب المادة لكمية من الطاقة الحرارية يؤدي إلى زيادة طاقة حركة جزيئاتها(وزيادة سرعتها) فترتفع درجة حرارتها0فتتدافع الجزيئات مع بعضها مما يؤدي إلى زيادة المسافات البينية فتزداد أبعادها الهندسية – الطول والعرض والارتفاع-أي أنها تتمدد فيزداد طولها ومساحة سطحها وحجمها0 وباستمرار اكتساب المادة للطاقة الحرارية تستمر درجة حرارتها في الارتفاع إلى حتى تصل إلى درجة معينة تتحول عندها من حالة إلى أخرى عند نفس الدرجة , والطاقة الحرارية المكتسبة في هذه الحالة تختزن على طاقة وضع كامنة, وعند تحول المادة تماما تصرف الطاقة الحرارية التي تكتسب بعد ذلك في زيادة طاقة حركة جزيئاتها مرة أخرى, أي تزداد طاقة حركة جزيئاتها مرة أخرى(فترتفع درجة حرارتها).

تنبـّـؤ التمدد

إذا وُجدت معادلة حال (state equation) ، يمكن استعمالها للتنبؤ بقيم التمدد الحراري (to predict the values of thermal expansion) عند جميع قيم الضغط ودرجات الحرارة المطلوبة، بالإضافة إلى توابع حالة عديدة أخرى.

تأثيرات التقلص

يتقلص عدد من المواد عند تسخينه ضمن مجالات معينة لدرجات الحرارة؛ يدعى هذا عادةً «التمدد الحراري السالب» بدلًا من «التقلص الحراري». على سبيل المثال، ينخفض معامل التمدد الحراري للماء إلى الصفر عند تبريده إلى درجة حرارة 3.983 مئوية ثم يصبح سالبًا تحت هذه الدرجة، يعني ذلك حتى للماء كثافة أعظمية عند درجة الحرارة هذه، ويؤدي ذلك لحفاظ الكتل المائية على درجة الحرارة هذه في أعماقها الدنيا لفترات ممتدة من التعرض لدرجة حرارة دون الصفر. أيضًا، يمتلك السيليكون النقي بما يكفي معامل تمدد حراري سالب لدرجات حرارة بين 18 و120 كلفن.

العوامل المؤثرة على التمدد الحراري

على عكس الغازات والسوائل، تميل المواد الصلبة للمحافظة على شكلها عند التعرض للتمدد الحراري.

ينخفض التمدد الحراري على العموم مع ازدياد طاقة الرابطة الجزيئية، ما يهجر أثرًا أيضًا على درجة انصهار المواد الصلبة، لذا، من الأرجح للمواد ذات درجات الانصهار المرتفعة حتىقد يكون تمددها الحراري أقل. بشكل عام، تتمدد السوائل بشكل أكبر قليلًا من المواد الصلبة. التمدد الحراري للزجاجيات أعلى بالمقارنة مع التمدد الحراري للمواد ذات البنية البلورية (تدعى أيضًا المواد الكريستالية). عند درجة الحرارة الانتنطقية للزجاج، تؤدي إعادات التموضع التي تحدث في مادة غير متبلورة إلى انقطاعات مميزة لمعامل التمدد الحراري والحرارة النوعية. تسمح هذه الانقطاعات باكتشاف درجة الحرارة الانتنطقية للزجاج التي يتحول عندها سائل فائق التبريد إلى زجاج.

قد يغير امتصاص الماء (أومذيبات أخرى) أوامتزازه حجمَ الكثير من المواد الشائعة؛ وهذا أكثر تأثيرًا من التمدد الحراري على تغيير حجم الكثير من المواد العضوية. يمكن للدائن الشائعة المعرضة للماء حتى تتمدد بنسبة مئوية كبيرة على المدى البعيد.

معامل التمدد الحراري

يصف «معامل التمدد الحراري» كيف من الممكن أن يتغير حجم شيء ما مع تغير درجة الحرارة. وبالتحديد، فإنه يقيس التغير النسبي في الحجم عند تغير درجة حرارة بمقدار درجة واحدة تحت ضغط ثابت. استحدثت أنواع عديدة من المعاملات: الحجمية والسطحية والخطية. يعتمد اختيار المعامل على التطبيق المحدد والأبعاد التي تُعتبر مهمة. بالنسبة للمواد الصلبة، يمكن حتى يهتم المرء بالتغير مع الطول فقط، أوالتغير على مساحة ما.

معامل التمدد الحراري الحجمي هوأكثر معاملات التمدد الحرارة بساطةً، والأكثر أهمية في الموائع. بشكل عام، تتمدد المواد وتتقلص عند تغير درجات حرارتها، ويحدث التمدد والتقلص على جميع الاتجاهات. تدعى المواد التي تتوسع بنفس المقدار في جميع الاتجاهات مواد متناحيةً. بالنسبة للمواد المتناحية، تكون معاملات التمدد الحراري السطحية والحجمية أكبر بضعفين وثلاثة أضعاف من معاملات التمدد الحراري الخطية، على الترتيب.

ترد التعاريف الرياضية لتلك المعاملات أدناه للمواد الصلبة والسائلة والغازية.

معامل التمدد الحراري حجمي عام

المعامل التمدد الحراري الـ«خاص بقياس الأحجام» أوبالقصير : «حجمي» العام (general volumetric thermal expansion coefficient) هومعرّف بأنـّه يعطي النسبة التفاضلية بين اِزدواد الحجم النسبي ${\displaystyle {\frac {\Delta V {V$ وتغيـّر درجة الحرارة ${\displaystyle \Delta T$ من جسم من عالم الفيزياء

${\displaystyle \alpha _{V ={\frac {1 {V \left({\frac {\partial V {\partial T \right)_{p,N$

(1)

حيث أنّ الكميتان المذكورتان في مسرد المـُتـَفاضـِلتـَيـْن الجـُزْئِيـَّتـَيـْن (partial differentials) كالضغت ${\displaystyle p$ وعدد الجـُسـَيـْمـَات ${\displaystyle N$ عليهنا حتى تبقيتان ثابـِتـَتـَيـْن أثناء التفاضل.

حل هذه المعادلة التفاضلية من الرُّتبة الأولى يأتي من :

${\displaystyle V(T)=V(T_{0 )\cdot \exp \left(\int _{T_{0 ^{T \alpha _{V (T)\ \mathrm {d T\right)$

(2)

ذلك هوالحل المتابع لدرجة الحرارة. عند وجود معامل التمدد الحراري حجمي عام مستقل عن درجة الحرارة ${\displaystyle \alpha _{V (T)=\alpha _{V (T_{0 )$ يصير مع ${\displaystyle V(T_{0 )=V_{0$ التالي :

${\displaystyle V=V_{0 \cdot e^{(\alpha _{V \cdot \Delta T)$

(3)

هنا من الإمكان حتى يـُـستخدم إخطاط (linearization) في نقطة ِ اِستعمال ٍ معيّن ٍ التي أصبحت تـُـعْـلَـم بالمسرد ${\displaystyle 0$ ، واِستخدام الإخطاط ذاك هومسموح به عند التبايـُـنات الصغيرة من درجة الحرارة حول ${\displaystyle T_{0$ . عندئذ ٍ يتمّ التقريب :

${\displaystyle V\approx V_{0 (1+\alpha _{V \cdot \Delta T)$

(4)

ذلك معناه حتى الإخطاط يقع في النقطة الاِستعمالية ${\displaystyle P_0=(T_0|V_0)}$${\displaystyle S$ :

${\displaystyle \alpha _{V ={\frac {1 {V \left({\frac {\partial V {\partial T \right)_{p,N =-{\frac {1 {V \left({\frac {\partial S {\partial p \right)_{T,N$

(5)

حيث أنّ الكتلة ${\displaystyle m=\rho (T)\cdot V(T)$ تكن مستقلة عن درجة الحرارة بسبب مبدأ حفظ الكتلة ، فيـُحـَصـَّـل على معامل التمدد الحراري حجمي عام عن طريق الكثافة ${\displaystyle \rho (T)$ المتابعة لدرجة الحرارة :

${\displaystyle \alpha _{V =-{\frac {1 {\rho \left({\frac {\partial \rho {\partial T \right)_{p$

(6)

تمدد حراري للمواد الصلبة

(الف) معاملات التمدد: الطولي والسطحي والحجمي: يعرَّف معامل التمدد الطولي طه لعينة صلبة على شكل قضيب بين درجتي الحرارة (0 س) و(د س) بأنه مقدار ازدياد طول واحدة الأطوال من القضيب في الدرجة 0 س عندما تزداد درجة حرارته درجة سلزيوس واحدة أي أن:

حيث يشير لد على طول القضيب في الدرجة دْس ويدل ل0 على طوله في الدرجة 0س. ويبين الجدول معاملات التمدد الطولي لبعض المواد الصلبة، ويُرى حتى مرتبته تراوح بين 10-4 و10-5 فهوصغير جداً، لذلك تستعمل في تعيينه أجهزة دقيقة. وبالمثل يعرَّف معامل التمدد السطحي لمادة صلبة سه بالعلاقة:

كما يعرَّف معامل التمدد الحجمي لمادة صلبة حه بالعلاقة:

ولا يتوقف معامل التمدد الطولي لمادة ما على المنحى إذا كانت المادة متناحية متماثلة المناحي (isotrope)، أي كانت خواصها الفيزيائية واحدة في جميع المناحي، وهي حالة الأجسام غير المتبلورة والأجسام ذات البلورات الدقيقة كالأجسام المعدنية، إذ تكون بلوراتها موجهة توجهاً عشوائياً؛ لذلك تحافظ العينة المتناحية على شكلها وعلى نسب أبعادها عندما تتمدد.

أما إذا كانت العينة لا متناحية غير متماثلة المناحي (anisotrope)، أي كانت من الأجسام المتبلورة إلا الزمرة المكعبية منها، فإن طه يختلف باختلاف المنحى.

(باء) قياس معامل التمدد الطولي:

لما كان معامل التمدد الطولي صغيراً جداً، كان من الضروري حتى يقاس بدقة كافية تغيرات في الطول ضئيلة جداً؛ ويستعمل لهذا الغرض مقارن (comparator) مكوَّن من مجهرين زُوِّد جميع منهما بعينية (eye-piece) ذات مقياس دقيق يقيس 0.2 مكرون (المكرون= 10-6 متر)، ويُجعل محورا المجهرين شاقوليين، ويمكن زلقهما أفقياً على حامل حديدي متين (الشكل -1)؛ وتوضع العينة، التي يراد تعيين معامل تمددها الطولي، وهي على شكل قضيب، داخل إناء عازل للحرارة فيه ماء درجة حرارته 0ْس، ويكون على القضيب خطان دقيقان يعيَّن البعد بينهما ل بدقة، ثم يُمر ماء في الإناء درجة حرارته دْ س ثابتة، ويحكَّم المجهران على الخطين الدقيقين من حديث فيُعهد مقدار ازدياد الطول لد ـ ل0، ويحسب طه اعتماداً على العلاقة (١).

ويُتَّبع طرائق التداخل (د) لقياس معامل التمدد الطولي للعينات الصغيرة أوالبلورات بتكوين أهداب التداخل لأرمن فيتزو(Armand Fizeau).

ـ نتائج القياس: يتوقف معامل تمدد جامدٍ على طبيعته، وإذا كان الجامد سبيكة توقف المعامل على هجريبها، كذلك يتوقف المعامل على درجة الحرارة، ويمكن القول بوجه عام إذا معامل التمدد يصغر حدثا تقلصت درجة الحرارة ويبدوأنه ينعدم في درجة الصفر المطلق -372ْس.

(ثاء) نتائج تمدد المواد الصلبة وتطبيقاته: يمكن حتى يولّد تمدد الجوامد أوتقلصها قوى دفع أوقوى شدٍ كبيرة، ويستفاد من ذلك في تطويق عجلات العربات الخشبية بأطواق حديدية وفي برشمة البتر المعدنية. كذلك يراعى التمدد الحراري للجسور فيُجعل أحد طرفي الجسر مرتكزاً على عجلات تتحرك في مجال معيَّن، كما يراعى هذا التمدد عند أعطى السكك الحديدية فتُهجر مسافة فاصلة بين جميع قضيبين، وعند أعطى الأنابيب المعدنية لتوصيل المياه أوالبخار أوالغاز فتستعمل وصلة قابلة للتمدد، وعند خلق الأواني الزجاجية المعرَّضة لتغيرات فجائية في درجة الحرارة فتصنع رقيقة الجدران. كذلك يصنع رقاص (نواس) الساعة، للحفاظ على دقة توقيتها، من معدنين يجعل تمددهما متعاكسين ومتكافئين بحيث يبقى طول النواس ثابتاً فيثبت دوره، أويصنع ساعد الرقاص من السبيكة Invar (إنفار) (36٪ نيكل، 64٪ حديد) التي معامل تمددها صغير جداً. ويستفاد من الفرق بين تمددين معدنيين في خلق منظم الحرارة (thermostat)، وهويتكون من صفيحة مؤلفة من شريحتين رقيقتين مصنوعتين من معدنين مختلفين تُلحمان أوتدمجان معاً، وتثبَّت إحدى نهايتي الصفيحة وتجعل حركة النهاية الأخرى تفتح دارة كهربائية أوتغلقها. وتستخدم الطريقة نفسها في خلق المحرار المعدني الذي يتكون من شريط طويل مؤلف من معدنين مختلفين مندمجين، يُلف على شكل لولب ويثبت طرفه الداخلي، ويلحم على طرفه الخارجي مشير يتحرك أمام تدريجات معايرة عندما تتغير درجة الحرارة.

تمدد حراري للأجسام

يتوقف مقدار تمدد المادة بالتسخين على مقدار قوى التماسك بين جزيئاتها, فالمادة الصلبةقد يكون مقدار تمددها بالتسخين صغيرا جدا نظرا لكبر قوى التماسك بين جزيئاتها,في حين حتى تمدد السوائلقد يكون أكبر من تمدد الأجسام الصلبة بالتسخين , أما الغازات فيكون تمددها بالتسخين أكبر بكثير من السوائل لأن قوى التماسك بين جزيئات الغاز تكاد تكون معدومة 0.

التمدد الخطي (الطولي) للأجسام الصلبة

تختلف قوى التماسك بين جزيئات المواد الصلبة باختلاف انواعها 0لذلك يختلف مقدار الزيادة في الطول-أي التمدد الطولي (longitudinal expansion) بالتسخين.

وقد عثر بالتجربة العملية حتى التمدد الطولي لجسم بالتسخين يتوقف على:

${\displaystyle { \Delta l={l_{1 -{l_{0 ={l_{0 \cdot \alpha _{L \cdot \Delta T={l_{0 \cdot \alpha _{L \cdot ({T_{1 -{T_{0 )$

(7)

الثابت الذي يواصف المادّة يتوقف على نوع المادة ويطلق عليه اسم معامل التمدد الخطي (linear expansion coefficient) ويرمز له بالحرف اللاتيني α ( الفا)

معامل التمدد الحراري خطي (طولي)

من المعادلة رقم (6) يمكن تقدير التغير في البعد الخطي تقريبيًا بأنه:

${\displaystyle \alpha _{L ={\frac {1 {\Delta T \cdot {\frac {\Delta l {l_{0$

(8)

ووحدة المعامل التمدد الحراري الخطي هي :

${\displaystyle [\alpha _{L ]=1\cdot {\frac {1 {K =1\cdot K^{-1$

يعني التمدد الخطي تغيرًا بجهة واحدة (الطول) في لقاء التغير في الحجم (التمدد الحجمي). بتقريب أول، يتعلق تغير قياسات طول شيء ما نتيجة التمدد الحراري بتغير درجة الحرارة وفق «معامل تمدد حراري خطي». وهوالتغير النسبي في الطول لكل تغير في درجة الحرارة بمقدار درجة واحدة. بافتراض إمكان إهمال أثر الضغط، يمكن كتابة:

${\displaystyle \alpha _{L ={\frac {1 {l \,{\frac {dl {dT$

(9)

حيث ${\displaystyle l$ قياس محدد للطول و${\displaystyle dl/dT$ معدل تغير البعد الطولي ذاك لكل تغير واحدي في درجة الحرارة.

يمكن استعمال هذا التقريب طالما حتى معامل التمدد الخطي لا يتغير بشدة مع تغير درجة الحرارة ${\displaystyle \Delta T$، وطالما حتى التغير النسبي في الطول صغير ${\displaystyle \Delta l/l_{0 \ll 1$. إذا اختلّ أي من هذين الشرطين، تجب مكاملة المعادلة التفاضلية الدقيقة (باستخدام ${\displaystyle dl/dT$).

تأثيرات على الانفعال

يمكن تقدير التغير في البعد الخطي تقريبيًا بأنه:

${\displaystyle {\frac {\Delta l {l_{0 =\varepsilon _{thermal =\alpha _{L \Delta T=\alpha _{L ({T_{1 -{T_{0 )$

(10)

حيث

${\displaystyle \Delta T=(T_{1 -T_{0 )$

هوالفرق في درجات الحرارة بين انفعالين مسجلين، مقاسًا بدرجات فهرنهايت، أودرجات رانكين، أوالدرجات المئوية (سيليسيوس)، أومقاسًا بالكلفن، و${\displaystyle \alpha _{L$ هوالمعامل الخطي للتمدد الحراري بواحدة «لكل درجة فهرنهايت» أو«لكل درجة رانكين» أو«لكل درجة سيليسيوس» أو«لكل كلفن» ويرمز لها على التتالي °F⁻¹, R⁻¹, °C⁻¹, or K⁻¹,. في مجال ميكانيك الوسط المستمر، يُعامل التمدد الحراري وتُعامل آثاره على شكل مصفوفة مميزة للانفعال ومصفوفة مميزة للإجهاد.

التمدد المساحي

يمكن تقريب التغير النسبي في المساحة إلى:

${\displaystyle {\frac {\Delta A {A_{0 =\alpha _{A \Delta T$

(11)

يمكن استعمال هذه المعادلة طالما حتى معامل التمدد السطحي لا يتغير بشدة في المجال الحراري ${\displaystyle \Delta T$، والتغير النسبي في المساحة صغير ${\displaystyle \Delta A/A_{0 \ll 1$. إذا اختل أحد الشرطين، تجب مكاملة العلاقة. يربط معامل التمدد الحراري السطحي بين التغير في أبعاد مساحة المادة والتغير في درجة الحرارة. هوالتغير النسبي في المساحة لكل تغير في درجة الحرارة بمقدار درجة واحدة. بإهمال الضغط، يمكننا حتى نخط:

${\displaystyle \alpha _{A ={\frac {1 {A \,{\frac {dA {dT$

(12)

حيث ${\displaystyle A$ مساحة ما مميزة من الجسم، و${\displaystyle dA/dT$ معدل تغير تلك المساحة بالنسبة إلى واحدة تغير درجة الحرارة.

ووحدة معامل التمدد الخطي هي :

${\displaystyle [\alpha _{A ]=1\cdot {\frac {1 {K =1\cdot K^{-1$

التمدد الحجمي للأجسام الصلبة

ذكرنا بأن الجسم الصلب عندما يسخن فإن جميع أبعاده تتمدد وهذا يعني حتى حجمه يزداد ويعهد ذلك التمدد الحجمي يمكن حساب مقدار التغير (الويادة أوالنقصان) الذي يحدث في جسم معين من الجسم الصلب عندما تتغير درجة حرارته بمقدار ${\displaystyle { \Delta T$ من المعادلة التالية:

${\displaystyle { \Delta V={V_{1 -{V_{0 ={V_{0 \cdot \alpha _{V \cdot \Delta T={V_{0 \cdot \alpha _{V \cdot ({T_{1 -{T_{0 )$

(13)

• حيث (${\displaystyle { \Delta V$) هي التغير في حجم الجسم الصلب
• (${\displaystyle { {V_{0$) هي الحجم الاصلي للجسم الصلب عند الدرجة المنخفضة
• (${\displaystyle { \Delta T$) التغير في درجة الحرارة
• (${\displaystyle { \alpha _{V$) مقدار ثابت يُعهد بـ«معامل التمدد الحجمي للمادة» ويتوقف على نوع المادة نفسها ويُقدّر بنفس الوحدة الفيزيائية – وهي ${\displaystyle { K^{-1$ – إزاء «معامل التمدد الخطي (الطولي) للمادة».

وحيث حتى

${\displaystyle { \Delta T\cdot \alpha _{V ={\frac {{V_{1 -{V_{0 {V_{0 ={\frac {\Delta V {V_{0$

ووحدة معامل التمدد الخطي هي :

${\displaystyle [\alpha _{V ]=1\cdot {\frac {1 {K =1\cdot K^{-1$

مثل للاِستيعاب :

اِفترضْ كرة من الـنحاس (copper) حجمها ${\displaystyle { 60cm^{3$ عند درجة حرارة ${\displaystyle { 25{^{\circ C$ سُخـِّنـَت حتى درجة حرارة ${\displaystyle { 75{^{\circ C$ . أوجــِـدْ حجمها عند الدرجة الاخيرة اذا عَلـِمْتَ حتى معامل التمدد الخطي لمادة النحاس اتـّـخذ قيمة ${\displaystyle { \alpha _{V =17\times 10^{-6 /K$ !!

حل المسألة :

${\displaystyle { {T_{0 =25{^{\circ C$

${\displaystyle { {T_{1 =75{^{\circ C$

${\displaystyle { {V_{0 =60cm^{3 =60\times 10^{-6 m^{3 =6.0\times 10^{-5 m^{3$

${\displaystyle { \alpha _{V =17\times 10^{-6 /K=1.7\times 10^{-5 /K$

وعلى هذا الأساس يصير

${\displaystyle { \Delta T\cdot \alpha _{V =({T_{1 -{T_{0 )\cdot \alpha _{V ={\frac {\Delta V {V_{0 ={\frac {{V_{1 -{V_{0 {V_{0 ={\frac {V_{1 {V_{0 -1$

${\displaystyle { {\underline {{V_{1 =V_{0 \cdot (1+({T_{1 -{T_{0 )\cdot \alpha _{V )$

${\displaystyle { {\underline {{V_{1 = {\text{ 6.0\times 10^{-5 m^{3 \cdot (1+({75{^{\circ C -{25{^{\circ C )\cdot {1.7\times 10^{-5 /K )=6.0\times 10^{-5 m^{3 \cdot (1+{50K \cdot {1.7\times 10^{-5 K^{-1 )=0.000060051m^{3 ={\underline {60.051cm^{3$

مواد متناحية

قيمة معامل التمدد الحراري الحجمي للمواد المتناحية ثلاثة أضعاف قيمة المعامل الخطي:

${\displaystyle { \alpha _{V \approx 3\cdot \alpha _{L$

(14)

تنشأ هذه النسبة من حتى الحجم مركب من ثلاثة اتجاهات متعامدة فيما بينها. وبالتالي، ففي مادة متناحية، ولأجل تغيرات تفاضلية صغيرة،قد يكون ثلث التمدد الحجمي على محور وحيد. على سبيل المثال، لنأخذ مكعبًا من الفولاذ له أحرف طول جميع منها ${\displaystyle l$. عندهاقد يكون الحجم الأصلي ${\displaystyle V_{0 =l_{0 ^{3$ وسيكون الحجم الجديد بعد ازدياد درجة الحرارة:

${\displaystyle V_{0 +\Delta V=(l_{0 +\Delta l)^{3 =l_{0 ^{3 +3l_{0 ^{2 \Delta l+3l_{0 \Delta l^{2 +\Delta l^{3 \approx l_{0 ^{3 +3l_{0 ^{2 \Delta l=V_{0 +3V_{0 {\Delta l \over l_{0$

(15)

يمكننا بسهولة إهمال الحدود، لأن التغير في L مقدار صغير أصلًا، وبالتالي سيصغر كثيرًا عند تربيعه.

إذًا:

${\displaystyle {\frac {\Delta V {V_{0 \approx 3{\Delta l \over l_{0 =3\alpha _{L \Delta T$

(16)

يبقى التقريب السابق سليمًا لأجل تغيرات صغيرة في درجات الحرارة والأبعاد (أي عندماقد يكون ${\displaystyle \Delta T$ و${\displaystyle \Delta l$ صغيرين)؛ لكنه لا يبقى سليمًا إذا كنا نحاول الانتنطق جيئة وذهابًا بين المعاملات الخطية والحجمية باستخدام قيم أكبر للفرق ${\displaystyle \Delta T$. في تلك الحالة، يجب أخذ الحد الثالث (وأحيانًا حتى الحد الرابع) بالحسبان في المعادلة السابقة.
وبالمثل، فإن قيمة معامل التمدد الحراري السطحي هي ضعفا قيمة المعامل الخطي:

${\displaystyle \alpha _{A \approx 2\alpha _{L$

(17)

يمكن إيجاد هذه النسبة بشكل مشابه لتلك التي في المثال الخطي أعلاه، بملاحظة حتى مساحة وجه المكعب تساوي فقط ${\displaystyle l_{0 ^{2$. أيضًا، يجب وضع نفس الاعتبارات عند التعامل مع قيم كبيرة للفرق ${\displaystyle \Delta T$.

مواد لامتناحية

إن المواد ذات البنى اللامتناحية، كالمواد ذات البنية البلورية (التي لها تناظر أقل من مكعب، كالأطوار المارتنسيتية) ومركبات عديدة،قد يكون لها بشكل عام معاملات تمدد حراري خطي مختلفة ${\displaystyle \alpha _{L$ في الاتجاهات المتنوعة. وكنتيجة لذلك، يتوزع التمدد الحجمي الكلي بشكلٍ غير متساوٍ على المحاور الثلاثة. إذا كان التناظر البلوري أحادي الميل أوثلاثي الميل، تخضع زوايا تلك المحاور أيضًا للتغيرات الحرارية. من الضروري في الحالات المشابهة معاملة معامل التمدد الحراري على أنه متجه موتر له ما يصل إلى ستة عناصر مستقلة. من الجيد دراسة التمدد من خلال حيود المسحوق بواسطة الأشعة السينية لتحديد عناصر المتجه الموتر.قد يكون موتر معامل التمدد الحراري للمواد التي تمتلك خاصية تناظر مكعب (كالمواد ذات البلورات المتمركزة حجميًا (بي سي سي) والمواد ذات البلورات المتمركزة وجهيًا (إف سي سي)) متناحيًا (إيزوتروبيًا).

تمدد حراري للسوائل

عهدنا حتى الاجسام الصلبة تتمدد خطيا وسطحيا وحجميا لأن لها شكل ثابت. أما السوائل فليس لها شكل ثابت بل تأخذ شكل الاناء الحاوي لها وتحتفظ بحجومها لذلك فان السوائل تتميز بنوع واحد من التمدد هوالتمدد الحجمي ويتوقف مقدار التغير في حجم سائل عندما يكتسب مقدارامعين من الطاقة الحرارية على العوامل التالية:

1- الحجم الأصلي للسائل (${\displaystyle V_{0$)

2- مقدار التغير في درجة حرارة السائل (${\displaystyle \Delta T={T_{1 -{T_{0$)

3- نوع مادة السائل

ويمكن حساب التغير في الحجم من العلاقة التالية:

${\displaystyle {\frac {\Delta V {V_{0 ={\frac {{V_{1 -{V_{0 {V_{0 \neq {{{\alpha _{V _{liquid \cdot \Delta T={{{\alpha _{V _{liquid \cdot ({T_{1 -{T_{0 )$

(18)

حيث ${\displaystyle {{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_V}_{liquid}}$

1ـ معامل التمدد الحقيقي لسائل ومعامل تمدده الظاهري: لما كانت السوائل لا تحافظ على أشكالها بل تأخذ شكل الوعاء الذي توجد فيه، فإن السائل يتمدد عندما ترتفع درجة حرارته (التمدد الحقيقي) كما يتمدد الوعاء في الوقت نفسه؛ فقياس تمدد السائل في هذه الحالة يعطي ما يسمى التمدد الظاهري للسائل، فيجب في هذه الحالة إجراء التسليم وأخذ تمدد الوعاء في الحسبان، كما في حالة محرار زئبقي كبير مكوَّن من مستودع للزئبق يعلوه أنبوب، تجويفه اسطواني منتظم المبتر مدرَّج بتدريجات متساوية، (الشكل ـ2)، فيكون بالتقريب: قه = هه + عه، وفيها قه معامل التمدد الحقيقي للسائل، وهه معامل التمدد الظاهري، وعه معامل التمدد الحجمي للوعاء.

2ـ قياس معامل التمدد الحقيقي لسائل: يمكن قياس معامل التمدد الحقيقي قياساً مباشراً بـ « طريقة دولنْگ وبتي» (technique of Dulong and Petit)، اعتماداً على مبدأ توازن السوائل الذي ينص على حتى ضغط السائل الساكن متساوٍ في الأواني المستطرقة. ويتألف الجهاز كما هومبين في (الشكل-3) من أنبوبين مفتوحين شاقوليين أ وب متصلين في أسفلهما بأنبوب شعري أفقي. يُملأ الأنبوبان بالسائل المراد تعيين معامل تمدده الحقيقي ويحاط أحدهما (أ) بالجليد (0ْس)، والآخر (ب) ببخار ماء يغلي درجة حرارته دْ س، وتقاس درجة حرارة كلٍ من الأنبوبين بالمحرار المعلّق بجانبه. فإذا كان ازدياد السائل في الأنبوب (أ) يساوي ع0 عندما يتوازن عمود السائل، وكان ازدياد السائل في الأنبوب ب حينئذ يساوي عد، فسيعطى معامل التمدد الحقيقي بالعلاقة:

وهناك طرائق خاصة لقياس معامل التمدد الحقيقي لكلٍ من الماء والزئبق.

3ـ نتائج القياسات: إن معامل تمدد السوائل أكبر بوجه عام من معامل تمدد التامواد الصلبة، كما يتبين ذلك من الجدول. ويتوقف معامل تمدد السوائل الحقيقي على درجة الحرارة، ويزداد سريعاً بازديادها، ويشذ عن ذلك الماء إذ إنه ينكمش ما بين الدرجة 0ْس والدرجة 4ْس. ويتمدد فيما بعد ذلك، أي إذا كتلته الحجمية تكون عظمى عند الدرجة 4ْس. ومن أثر شذوذ الماء هذا، يتجمد السطح العلوي لكثير من البحيرات العذبة والأنهار في فصل الشتاء وتكون درجة حرارة الطبقات السفلى منها +4ْس، وتبقى كذلك مدة أشهر في بعض الأحيان، ولولم يكن هذا لهلكت الأسماك والحيوانات التي تعيش في هذه المياه.

ويمكن تفسير شذوذ الماء على النحوالآتي: إذا المسافة الوسطية بين جزيئات الجليد أكبر منها في الماء السائل، لذلك يطفوالجليد على الماء. وعندما يذوب الجليد في الدرجة 0ْس تتفكك بعض جزيئاته ويستمر تفكك جزيئاته التي على شكل سائل بارتفاع درجة الحرارة فوق 0ْس فتتناقص المسافة الوسطية بين هذه الجزيئات ويصغر الحجم الذي تشغله. ويتعادل تناقص الحجم هذا مع ازدياد الحجم الناجم عن التمدد العائد إلى ازدياد هيجان الجزيئات الحراري عند الدرجة 4ْس. فظاهرة التفكك هي التي تسيطر ما بين 0ْس و4ْس في حين يسيطر التمدد الحراري ما بعد 4ْس.

أمثلة وتطبيقات

تطبيقات تمدد السوائل

يستفاد من التمدد الظاهري للسوائل في خلق المحارير التي يستعمل فيها الزئبق أوالكحول عادة، وفي خلق المحارير المسجّلة، كما يستفاد من تغير كثافة الماء بتغير درجة الحرارة في تدفئة البيوت بوساطة تيارات الحمل convection، وفي تبريد أسطوانة محرك الآلة الحرارية بإحاطتها بماء يجري في مشع يُجعل أمام مروحة الآلة.

وينبغي لكيقد يكون قياس الضغط الجوي بوساطة مقياس الضغط ذي الزئبق دقيقاً، إجراء تسليم على ازدياد عمود الزئبق ليؤخذ في الحسبان تمدد الزئبق وتغير كثافته، وكذلك تمدد معدن المسطرة التي تحمل التدريجات المشيرة إلى قيمة الضغط.

تمدد حراري للغازات

تمدد حراري لغازات مثالية ذي مساواة الضغط أم ذي مساواة الحجم

لغاز ٍ مثالي ٍ يتعلق التمدد الحراري الحجمي بطراز الصيرورة (depends on the type of process) التي تـُـغـَيـَّـر فيها درجة الحرارة. مساواة الضغط ومساواة الحجم تعتبران قضيـّتين ساذجتين. قانون الغاز المثالي يقول أنّ الجداء من الضغط والحجم تتناسب مع درجة الحرارة :

${\displaystyle p\cdot V\sim T$

(19)

تفاضل العلاقة يؤدّي إلى :

${\displaystyle pdV+Vdp=dT$

(20)

في ظروف قضية مساواة الضغط (in an isobaric case) يصير :

${\displaystyle {\frac {dp {dT =0$

(21)

الذي يؤدّي إلى :

${\displaystyle pdV=dT$

وذلك يؤدّي الى تعريف معامل التمدد الحراري المتساوي الضغط كما يلي :

${\displaystyle \alpha _{p=const. \equiv {\frac {1 {V \left({\frac {dV {dT \right)={\frac {1 {V \left({\frac {1 {p \right)={\frac {1 {pV ={\frac {1 {T$

(22)

بتشابه لما تجاوز تـُطبـّـق قضية مساواة الحجم (an isochoric case becomes practiced) :

${\displaystyle {\frac {dV {dT =0$

(23)

الذي يؤدّي إلى :

${\displaystyle Vdp=dT$

وذلك يؤدّي الى تعريف معامل التمدد الحراري المتساوي الضغط كما يلي :

${\displaystyle \alpha _{V=const. \equiv {\frac {1 {p \left({\frac {dp {dT \right)={\frac {1 {p \left({\frac {1 {V \right)={\frac {1 {pV ={\frac {1 {T$.

(24)

معاملات التمدد الحراري للمواد مختلفة

معامل التمدد الطولي لبعض الجوامد

المواد الصلبة (${\displaystyle \times 10^{-5 K^{-1$طه) في درجة الحرارة العادية

الألمنيوم 38.2
المضى 14.3
الفضة 1.88
البلاتين 9.00
النحاس 1.68
الرصاص 29.4
الحديد 1.21
التوتياء 26.3
النيكل 1.29
الزجاج 8…9
السبيكة invar إنفار (36٪ نيكل، 64٪ حديد ) 0.09

معامل التمدد الحقيقي لبعض السوائل (${\displaystyle \times 10^{-5 K^{-1$قه)

الزئبق (mercury) 18.2
الكحول الإتيلي (ethyl alcohol) 112
الإيتر (ether) 166
البنزن(benzene) 124
الغليسرول (glycerol) 50.5
البنتان (pentane) 161

Material	Linear coefficient, ${\displaystyle \alpha _{L$, at 20 °C ${\displaystyle \times 10^{-6 K^{-1$	Volumetric coefficient, ${\displaystyle \alpha _{V$, at 20 °C ${\displaystyle \times 10^{-6 K^{-1$	Notes
Aluminium	23	69
Benzocyclobutene	42	126
Brass	19	57
Carbon steel	10.8	32.4
Concrete	12	36
Copper	17	51
Diamond	1	3
Ethanol	250	750
Gallium(III) arsenide	5.8	17.4
Gasoline	317	950
Glass	8.5	25.5
Glass, borosilicate	3.3	9.9
Gold	14	42
Indium phosphide	4.6	13.8
Invar	1.2	3.6
Iron	11.8	33.3
Kapton	20	60	DuPont Kapton 200EN
Lead	29	87
MACOR	9.3
Magnesium	26	78
Mercury	61	182
Molybdenum	4.8	14.4
Nickel	13	39
Oak	54		Perpendicular to the grain
Douglas-fir	27	75	radial
Douglas-fir	45	75	tangential
Douglas-fir	3.5	75	parallel to grain
Platinum	9	27
PVC	52	156
Quartz (fused)	0.59	1.77
Quartz	0.33	1
Rubber	77	231
Sapphire	5.3		Parallel to C axis, or [001]
Silicon Carbide	2.77	8.31
Silicon	3	9
Silver	18	54
Sitall	0.15	0.45
Stainless steel	17.3	51.9
Steel	11.0 ~ 13.0	33.0 ~ 39.0	Depends on composition
Titanium	8.6
Tungsten	4.5	13.5
Water	69	207
YbGaGe	≐0	≐0
Zerodur	≈0.02		at 0–50°C

انظر أيضاً

• بارامتر تبع گروينأيزن (Grüneisen parameter)
• خواص المواد (ديناميكا حرارية) (Material properties (thermodynamics))

مراجع

وصلات خارجية

• Glass Thermal Expansion Thermal expansion measurement, definitions, thermal expansion calculation from the glass composition
• Water Expansion Calculator Water thermal expansion calculator
• DoITPoMS Teaching and Learning Package on Thermal Expansion and the Bi-material Strip
• Engineering Toolbox – List of coefficients of Linear Expansion for some common materials
• Article on how β is determined
• MatWeb: Free database of engineering properties for over 79,000 materials
• USA NIST Website – Temperature and Dimensional Measurement workshop
• Hyperphysics: Thermal expansion
• Understanding Thermal Expansion in Ceramic Glazes