دالة توزع

دالـّة توزّع (بالإنگليزية: partition function) في الفيزياء والفيزياء الإحصائية بالذات خاصية نظام ثرمويناميكي يمكن بواسطتها استنباط عدد كبير من الخصائص المكونة له . عندماقد يكون عدد الجزيئات N في النظام كبير جدا (وقد تكون مختلفة الأنواع) فيمكن اعتبار النظام "متواصلا " وبالتالي يمكن الاستعاضة عن دالـّة تـّـوزّع بتكاملات الحالات .

دالـّة توزّع للحالات الصغرية

نستعين بدالـّة توزّع للحالات الصغرية لوصف نظام معزول له طاقة داخلية ( ${\displaystyle U$ ) ثابتة ، وحجمه ( ${\displaystyle Z_{\mathrm {m (U,N,V)$

{\displaystyle Z_{\mathrm {m (U,N,V)=\!\!\!\sum _{E_{\psi (N,V)\leq U \!\!\!1.

فإذا كان النظام في حالة توازن حراري (إنتروبيا في نهاية عظمى) ، فيكون احتمال وجود أحد الحالات الصغرية ${\displaystyle \psi$ :

{\displaystyle P(\psi |U,N,V)={\begin{cases {\frac {1 {z_{\mathrm {m (U,N,V) &{\mbox{if E_{\psi (N,V)=U,\\0&{\mbox{,others. \\\end{cases

وتعني هنا ( ${\displaystyle z_{\mathrm {m (U,N,V$ عدد الحالات ذات طاقة ${\displaystyle E_{\psi$ مساوية ${\displaystyle U$ :

{\displaystyle z_{\mathrm {m (U,N,V)=\!\!\!\sum _{E_{\psi (N,V)=U \!\!\!1.

في الميكانيكا التقليدية ندرس كثيرا أنظمة تتغير حالتها الصغرية باستمرار. مثال على ذلك دراسة الحركة في الغاز ، وفيها نجد حتى جزيئات الغاز له ستة درجات حرية أي حتى الغاز الذي يحتوي على عدد N يمكن وصفه بأن له عدد ${\displaystyle 6N$ من الإحداثيات : منها ${\displaystyle (p,q)$

ونظرا لأن الطاقة ثابتة في نظامنا الصغري فهونظام معزول ، تكون الحالات المتكونة في فضاء جاما سطحا منحنيا ، يمكن للنظام التحرك عليه . وتكون دالـّة توزّع لمثل ذلك الغاز هوالحجم الذي يشغل المساحة المنحنية ${\displaystyle H(p,q,N,V)=U$ والتي يمكن تمثيلها بتكامل للحالات :

{\displaystyle Z_{\mathrm {m (U,N,V)\;=\!\!\!\!\!\int \limits _{H(p,q,N,V)\leq U \!\!\!\!\!{\frac {d^{3N p\;d^{3N q {h^{3N N! .

ويكون احتمال وجود الغاز في حالة معينة بالقرب من ${\displaystyle (p,q)$ مساويا ل:

{\displaystyle dP(p,q|U,N,V)={\frac {1 {z_{\mathrm {m (U,N,V) \delta (U-H(p,q,N,V)){\frac {d^{3N p\;d^{3N q {h^{3N N!

مع

{\displaystyle z_{\mathrm {m (U,N,V)={\frac {\partial {\partial U Z_{m (U,N,V)

ودالة ديراك Dirac δ-Function .

دالـّة توزّع عند درجة حرارة ثابتة

تتحدد الخواص الكلية لنظام ليس بالطاقة التي يحتويها وإنما تعتمد على درجة الحرارة (ديناميكا حرارية) . وتعهد دالـّة توزّع بالمعادلة الآتية (أنظر توزيع بولتزمان):

{\displaystyle Z_{k (N,V,T)=\sum _{i \mathrm {e ^{-{\frac {E_{i {k_{\mathrm {B T .

ويكون احتمال وجود الحالة الصغرية ${\displaystyle i$ في النظام (الحالة i ينتمي إليها الطاقة E_i للجزيئات )

{\displaystyle p_{i ={\frac {1 {Z_{k (N,V,T) \mathrm {e ^{-{\frac {E_{i {k_{\mathrm {B T .

ونحصل على دالـّة توزّع التي تشكل المقام في المعادلة السابقة:

{\displaystyle Z_{k (N,V,T)=\int \mathrm {e ^{-{\frac {H(\mathbf {p,q ) {k_{\mathrm {B T \,{\frac {d\mathbf {p d\mathbf {q {h^{3N N! .

حيث ${\displaystyle H$

دالـّة توزّع لطاقم مقنن كبير

في الطاقم المقنن الكبير (grand canonical ensemble)قد يكون عدد الجزيئات كبيرا جدا ولهذا لا يجرى تعيين دالـّة توزّع فيه عن طريق عدد الجزيئات وإنما باستخدام الجهد الكيميائي

{\displaystyle \mu

. ويكون احتمال وجود حالة معينة من الحالات الصغرية

{\displaystyle i

يساوي :

{\displaystyle p_{i ={\frac {1 {Z_{g (\mu ,V,T) \mathrm {e ^{-{\frac {E_{i -\mu N_{i {k_{\mathrm {B T

حيث ${\displaystyle k_{B$

{\displaystyle Z_{g (\mu ,V,T)=\sum _{i \mathrm {e ^{-{\frac {E_{i -\mu N_{i {k_{\mathrm {B T .

ويمن كتابتها في الصيغة التكاملية أوما يسمى "تكامل الحالات" :

{\displaystyle Z_{g (\mu ,V,T)=\sum \limits _{N=0 ^{\infty \int \mathrm {e ^{-{\frac {E(\mathbf {p,q )-\mu N {k_{\mathrm {B T \,{\frac {d\mathbf {p d\mathbf {q {h^{3N N! .

ويمكن حساب دالـّة توزّع للطاقم المقنن الكبير عن طريق دالـّة توزّع وأخذ الفوجاسيتي ${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\mathrm {B T)$ في الحسبان ، فنحصل على :

{\displaystyle Z_{g (\mu ,V,T)=\sum \limits _{N=0 ^{\infty Z_{k (N,V,T)z^{N =\sum _{N=0 ^{\infty Z_{k (N,V,T)\,\mathrm {e ^{\frac {\mu N {k_{\mathrm {B T

.

حساب الكمائن الثرموديناميكية

تشتق الكميات الثرموديناميكية المميزة لنظام مثل الإنتروبيا S ، والطاقة الحرة F والجهد الكيميائي أوميجا بالاستعانة بجملة الحالات :

{\displaystyle {\begin{aligned S(N,V,E)&=k_{\mathrm {B \,\ln Z_{m (N,V,E)\\F(N,V,T)&=-k_{\mathrm {B T\,\ln Z_{k (N,V,T)\\\Omega (\mu ,V,T)&=-k_{\mathrm {B T\,\ln Z_{g (\mu ,V,T)\end{aligned

المراجع

^ P. Hertz, Ann. Phys. (Leipzig) 33, 225 (1910). P. Hertz, Ann. Phys. (Leipzig) 33, 537 (1910).
^ Vu-Quoc, Loc (2009). Archived 2012-04-28 at the Wayback Machine.