جبر بُول (بالإنجليزية: Boolean Algebra)‏ هوأحد مواضيع الرياضيات والرياضيات المنطقيّة والرياضيات المُتقطّعة، ويُعتَبر فرعاً من فروع الجبر حيثُ يعمل بمُتغيّرين اثنين هما الصح أوالخطأ ويُرمز لهما بالعددين 1 و0 بعكس الجبر الإبتدائي الذي قد يحدث المُتغيّر فيه أي عددٍ كان. وفي حين حتى العمليّات الرئيسيّة في الجبر هي الجمع والضرب، تكون العمليّات في الجبر البولي هي العطف أوالوصل (بالإنجليزية: Conjunction)‏ وتُقرأ على أنّها ( وَ and) ويُرمز لها بالرمز ∧؛ والعمليّة الثانية هي الفصل (بالإنجليزية: Disjunction)‏ وتُقرأ على أنّها حرف التخيير (أوor) ويُرمز لها بالرمز ∨؛ وثالث العمليّات الرئيسيّة هي النفي (بالإنجليزية: Negation)‏ (ليس not) ويُرمز لها بالرمز ¬. وبهذا، تكون العلاقات في الجبر البولي مُشابِهة للعلاقات العددية المستخدمة في الجبر المعتاد.

يُنسَب الجبر البولي لعالِم الرياضيات البريطاني جورج بول الذي ابتكرها وقدّمها في كتابِه الأوّل تحليل الرياضيات المنطقيّة (The Mathematical Analysis of Logic) عام 1847، وشرحها أكثر ووضع أُسسها في كتابِه استقراء قوانين التفكير (An Investigation of the Laws of Thought) عام 1854. وأول من اقتَرح مُصطلح "الجبر البولي" على هذا النوع من الجبر هوالرياضياتي الأمريكي هنري م. شيفر عام 1913.

عندما وضع جورج بول أُسس الجبر البولي لم يكن لهُ ذلك القدر من الأهميّة كما عندنا في الوقت الحالي، ولكن مع مجيء عصر الحواسيب اتّضَح لنا إنه باستطاعتنا تشغيل الحاسوب وبرمجته بواسطة اتّباع الطريقة البُولية، حيث حتى الحاسوب يستخدم 0 و1 في عمليّاته وتفاهماته. وبذلك ساعَد الجبر البولي على تطوير الإلكترونيات الرقمية، كما أنّه يُستَخدم في نظريّة المجموعات والإحصاء.

القيَم

العبارات في الجَبر الإبتدائي تَدُل قيمَتُها على أرقام، أما في الجبر البولياني فإن قيمَة العبارة الجبرية هي إما صح أوخطأ ويُطلَق عليها اسم قيمة الحقيقة، ويُمكن تمثيل هذه القيَم بالبت -نظام ثُنائي- وهو0 و1. هَذان العددان لا يتصرّفان كالأعداد السليمة، فمثلاً عند جَمع 1+1 في الجَبر الابتدائي فإن الناتِج هو2، أما في الجَبر البوليانيقد يكون الناتِج 1. يتعامَل الجبر البولياني كذلك مع الدوال والمصفوفات التي تكون قيمتُها في المجموعة: {0,1 .

العمليّات

عمليّات أساسيّة

ثلاثة عمليّات رئيسيّة في الجبر البولياني، هي:

• العطف تُقرأ على أنّها ( وَ and) ويُرمز لها بالرمز ∧.
• الفصل تُقرأ على أنّها حرف التخيير (أوor) ويُرمز لها بالرمز ∨.
• النفي تُقرأ على أنها لا النافية، أوأي حدثة تُفيد النفي (ليس not) ويُرمز لها بالرمز ¬.

تختلف قيمة الحقيقة بين العَدددين باختلاف العمليّات بينَهما، ويُمكن الاعتبار أنّ عمليّة الاتصال ∧ هي عمليّة ضرب والانفصال ∨ عمليّة جمع. ونستطيع التعبير عن العمليّات إمّا جبريّاً، أومن خلال جدول الحقيقة. وجدول الحقيقة التالي يُلخّص العلاقة بين المُتغيّرات في العمليّات الأساسيّة:

${\displaystyle x$ ${\displaystyle y$ ${\displaystyle x\wedge y$ ${\displaystyle x\vee y$ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

${\displaystyle x$ ${\displaystyle \neg x$ 0 1 1 0

عمليّات ثانوية

إن العمليّات المذكورة أعلاه هي العمليّات الأساسيّة في الجبر البولياني، هذا يعني أنّنا نستطيع اشتقاق عمليّات أُخرى مبنيّة على هذه العمليّات الأساسيّة. والعمليّات الثلاث المُشتقّة هي:

${\displaystyle x\rightarrow y=\neg {x \vee y$

${\displaystyle x\oplus y=(x\vee y)\wedge \neg {(x\wedge y)$

${\displaystyle x\equiv y=\neg {(x\oplus y)$

ويمكن تمثيل هذه العمليّات عبر جدول الحقيقة التالي:

${\displaystyle x$	${\displaystyle y$	${\displaystyle x\rightarrow y$	${\displaystyle x\oplus y$	${\displaystyle x\equiv y$
0	0	1	0	1
1	0	0	1	0
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1

قوانين الجبر البُولي

القانون في الجبر البولي هوتعبير عن متطابقة بين حدين بوليين، ويعهد الحد البولياني على أنه تعبير منطقي يتألف من متغيرات بوليانية والثوابت 0 و1، وعمليات الجبر البولياني (مثل الاتصال ∧، والانفصال ∨، والنفي ¬). ومثل الجبر العادي، فإن هناك ثلاثة قوانين أساسية تحكم التعبيرات البوليانية: الإبدال والدمج والتوزيع.

قانون الإبدال لعملية الانفصال

يعهد قانون الإبدال لعملية الانفصال كما يلي:

${\displaystyle A\lor B=B\lor A$

حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).

ومعنى القانون هوحتى ترتيب المتغيرات في عملية الانفصال (أو) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الجمع في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للجمع Commutative law of addition.

قانون الإبدال لعملية الاتصال

يعهد قانون الإبدال لعملية الاتصال كما يلي:

${\displaystyle A\land B=B\land A$

حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).

ومعنى القانون هوحتى ترتيب المتغيرات في عملية الاتصال (و) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الضرب في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للضرب Commutative law of multiplication.

قانون الدمج لعملية الانفصال

يعهد قانون الدمج لعملية الانفصال كما يلي:

${\displaystyle A\lor (B\lor C)=(A\lor B)\lor C$

حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).

ومعنى القانون هوأنه عندما نقوم بتطبيق العملية (أو) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أوبشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتينقد يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الجمع في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للجمع Associative law of addition.

قانون الدمج لعملية الاتصال

يعهد قانون الدمج لعملية الاتصال كما يلي:

${\displaystyle A\land (B\land C)=(A\land B)\land C$

حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).

ومعنى القانون هوأنه عندما نقوم بتطبيق العملية (و) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أوبشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتينقد يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الضرب في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للضرب Associative law of multiplication.

قانون توزيع الاتصال على الانفصال

يعهد قانون التوزيع لعمية الاتصال (و) على عملية الانفصال (أو) كما يلي:

${\displaystyle A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)$

وهويشابه قانون توزيع الضرب على الجمع في الجبر:

${\displaystyle A(B+C)=AB+AC$

ولذلك يسمى القانون في الجبر البولياني بقانون توزيع الضرب على الجمع Distributive law of multiplication over addition.

قانون توزيع الانفصال على الاتصال

يعهد قانون التوزيع لعمية الانفصال (أو) على عملية الاتصال (و) كما يلي:

${\displaystyle A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C)$

وهذا القانون ليس له قانون مماثل في الجبر العادي. ويمكن إثبات هذا القانون بطريقتين:

• بإيجاد جدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يمين المتطابقة، وجدول الحقيقة للتعبير الرياضي على يسارها، ومطابقة الجدولين.
• باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال المشروح أعلاه. فبالنظر إلى الطرف الأيمن للمتطابقة، نجد أنه يمكننا توزيع ${\displaystyle (A\lor B)$ على ${\displaystyle (A\lor C)$ وذلك باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال:

${\displaystyle R.H.S=(A\lor B)\land (A\lor C)=((A\lor B)\land A)\lor ((A\lor B)\land C)$

بعد ذلك يمكن توزيع ${\displaystyle A$ على ${\displaystyle (A\lor B)$ وتوزيع ${\displaystyle C$ على ${\displaystyle (A\lor B)$ باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:

${\displaystyle ((A\lor B)\land A)\lor ((A\lor B)\land C)=(A\land A)\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)$

ونلاحظ حتى قيمة ${\displaystyle (A\land A)$ مكافئة لـ ${\displaystyle A$ (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة ${\displaystyle A$ مساوية للصفر، فإن قيمة ${\displaystyle (A\land A)$ تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال ${\displaystyle (A\land A)$ بالمتغير ${\displaystyle A$ مباشرة.

${\displaystyle (A\land A)\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)=A\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)$

نلاحظ أيضاً حتى قيمة ${\displaystyle A\lor (B\land A)\lor (A\land C)$ مكافئة لـ ${\displaystyle A$ (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة ${\displaystyle A$ مساوية للصفر، فإن التعبير كلهقد يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة ${\displaystyle A$ مساوية للواحد، فإن التعبير كلهقد يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي ${\displaystyle B$ و${\displaystyle C$. وبهذا يمكن استبدال ${\displaystyle A\lor (B\land A)\lor (A\land C)$ بالمتغير ${\displaystyle A$ مباشرة:

${\displaystyle A\lor (B\land A)\lor (A\land C)\lor (B\land C)=A\lor (B\land C)=L.H.S$

قواعد الجبر البُولي

فيما يلي قائمة بالقواعد الأساسية في الجبر البولي وعددهم اثنا عشر قاعدة قابلة للإثبات باستخدام جداول الحقيقة. ويمكن استخدامهم في تبسيط وحل مسائل الجبر البولياني.

قاعدة المحايد لعملية الانفصال

${\displaystyle A\lor 0=A$

قاعدة المحايد لعملية الاتصال

${\displaystyle A\land 1=A$

قاعدة المدمر لعملية الانفصال

${\displaystyle A\lor 1=1$

قاعدة المدمر لعملية الاتصال

${\displaystyle A\land 0=0$

قاعدة عملية الانفصال لنفس المتغير

${\displaystyle A\lor A=A$

قاعدة عملية الاتصال لنفس المتغير

${\displaystyle A\land A=A$

قاعدة عملية الانفصال للمتغير مع متممه

${\displaystyle A\lor \neg {A =1$

قاعدة عملية الاتصال للمتغير مع متممه

${\displaystyle A\land \neg {A =0$

قاعدة المتمم للمتمم

${\displaystyle \neg (\neg A)=A$

قاعدة المص الأولى

${\displaystyle A\land (A\lor B)=A$

قاعدة المص الثانية

${\displaystyle A\lor (A\land B)=A$

قاعدة انفصال متغير عن اتصال متممه مع متغير آخر

${\displaystyle A\lor (\neg A\land B)=A\lor B$

نظريتا دي-مورغان

نظرية المتمم لعملية الاتصال

وتنص النظرية على حتى المتمم لحاصل ضرب (اتصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل جمع (انفصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:

${\displaystyle \neg (A\land B)=\neg A\lor \neg B$

نظرية المتمم لعملية الانفصال

وتنص النظرية على حتى المتمم لحاصل جمع (انفصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل ضرب (اتصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:

${\displaystyle \neg (A\lor B)=\neg A\land \neg B$

انظر أيضا

• نظام عد ثنائي
• معالج (بروسيسور)
• بوابة نفي أو

مراجع

وصلات خارجية