هذه الموضوعة بها ترجمة آلية يجب تحسينها أوإزالتها لأنها تخالف سياسات ويكيبيديا.

باي (${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle {\pi$ تعريفات معادلة مختلفة. تظهر في الكثير من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. تساوي تقريباً 3.14159. مُثل بالحرف اليوناني "${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ثابت أرخميدس.

${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle a/b$ حيث a وb عددان سليمان. نتيجة لذلك، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. ومع ذلك، فإن كسورا مثل 22/7 وأعدادا حقيقية أخرى تستخدم لتقريب ${\displaystyle {\pi$. يبدوحتى الأرقام بعد الفاصلة موزعة عشوائيًا. على وجه الخصوص، يتم تخمين تسلسل أرقام ${\displaystyle {\pi$ لمقاربة نوع معين من العشوائية الإحصائية، ولكن حتى الآن، لم يكتشف أي مرشد على ذلك. أيضا، هوعدد متسام؛ بمعنى أنه ليس جذر أي متعدد الحدود له معاملات جذرية. يعني هذا التعالي أنه من المحال حل التحدي القديم المتمثل في تربيع الدائرة باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة.

حسبت الحضارات القديمة قيما دقيقة إلى حد ما حتى تقارب ${\displaystyle {\pi$ لأسباب عملية، بما في ذلك المصريون والبابليون. حوالي 250 قبل الميلاد، أنشأ عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس خوارزمية لحسابها. في القرن الخامس الميلادي تقريبًا، كانت الرياضيات الصينية تقارب ${\displaystyle {\pi$ إلى سبعة أرقام، في حين قدمت الرياضيات الهندية تقريبًا من خمسة أرقام، وكلاهما استخدم التقنيات الهندسية. الصيغة التاريخية الأولى بالضبط لـ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle {\pi$ إلى الكثير من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية. لا تتطلب جميع التطبيقات الفهمية في الواقع أكثر من بضع مئات من الأرقام من ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

نظرًا إلى كون التعريف الأول ل ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle {\pi$، وغالبًا ما تؤدي حسابات وضع الأرقام القياسية إلى عناوين الأخبار. أدت محاولات حفظ قيمة ${\displaystyle {\pi$ بدقة متزايدة إلى تسجيل أكثر من 70000 رقم.

الأساسيات

الاسم

عمم ليونهارد أويلر استعمال الحرف الإغريقي ${\displaystyle {\pi$ في عمل لهُ نشره عام 1748.

الرمز المستخدم من طرف فهماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هوالحرف الإغريقي ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$‎/‏‎/‏).

وكان أول عالم رياضيات استخدم الحرف الإغريقي من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هوويليام جونز، الذي استخدمها في عام 1706 في عمل له.

التعريف

محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما ${\displaystyle \pi$.

${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$C على قطرها d:

${\displaystyle \pi ={\frac {C {d$

نسبة C/d هي ثابتة بغض النظر عن محيط أومساحة الدائرة. هذا التعريف ل ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\frac{C}{d}}$

محيط الدائرة هوطول القوس المحيط بالدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود، وهومفهوم في حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، يمكن للمرء حتى يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة، الوارد في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة x² + y² = 1، باعتبارها التكامل:

${\displaystyle \pi =\int _{-1 ^{1 {\frac {dx {\sqrt {1-x^{2 .$

الخصائص

π عدد غير جذري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين سليمين، ك 22/7، أوأي كسر آخر مستعمل تقريبا ل π. ولهذا السبب، فإن ل π عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة براهين تثبت حتى π عدد غير جذري.

π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن حتىقد يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد جذرية، كما هوالحال بالنسبة لمتعددة الحدود ${\displaystyle \frac{x^5}{120}-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{6}+x=0.}$${\displaystyle \sqrt[3]{31}}$

الكسور المستمرة

العدد ط، كونه عددا غير جذري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تظل سليمة بالنسبة لجميع الأعداد غير الجذرية. ولكن الأعداد غير الجذرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة:

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1 {7+\textstyle {\frac {1 {15+\textstyle {\frac {1 {1+\textstyle {\frac {1 {292+\textstyle {\frac {1 {1+\textstyle {\frac {1 {1+\textstyle {\frac {1 {1+\ddots$

ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استخدم الكسران 22/7 و355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أوتكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن فهماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أومتكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:

${\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4 {1+\textstyle {\frac {1^{2 {2+\textstyle {\frac {3^{2 {2+\textstyle {\frac {5^{2 {2+\textstyle {\frac {7^{2 {2+\textstyle {\frac {9^{2 {2+\ddots =3+\textstyle {\frac {1^{2 {6+\textstyle {\frac {3^{2 {6+\textstyle {\frac {5^{2 {6+\textstyle {\frac {7^{2 {6+\textstyle {\frac {9^{2 {6+\ddots =\textstyle {\cfrac {4 {1+\textstyle {\frac {1^{2 {3+\textstyle {\frac {2^{2 {5+\textstyle {\frac {3^{2 {7+\textstyle {\frac {4^{2 {9+\ddots$

قيمة مقربة

قيمة ${\displaystyle {\pi$ التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:

التاريخ

في العصور القديمة والوسطى

من غير المعروف كيف من الممكن أن ومتى اكتشف الإنسان حتى النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد حتى هذه الحقيقة قد عهدت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط. كان البابليون يستخدمون التقريب ${\displaystyle 25/8$ بينما استخدم المصريون التقريب ${\displaystyle 256/81$. ويرجع حصر قيمة ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ط.

في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك الفهماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية سليمة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة.

عصر التقريب بمتعددي الأضلع

يمكن حتى تعطي قيم مقربة ل ${\displaystyle {\pi$ بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.

اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة π بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعددي الأضلع. كان ذلك في عام حوالي 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعددي الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب π لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى π على أنها ثابتة أرخميدس.

أرخميدس طور كيفية التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع ${\displaystyle {\pi$.

في عام 1424، تمكن غياث الدين الكاشي من حساب ما يكافئ ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×2²⁸. بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة.

المتسلسلات غير المنتهية

استخدم إسحاق نيوتن المتسلسلات غير المنتهية لحساب ${\displaystyle {\pi$ إلى حدود خمسة عشر رقماً، محرراً فيما بعد ""استحى ان اخبركم بعدد الارقام التى حملتها لهذه الحسابات".

تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود.

أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداء غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593:

${\displaystyle {\frac {2 {\pi ={\frac {\sqrt {2 {2 \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2 {2 \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 {2 \cdots$

تسمى هذه المتسلسلة صيغة فييت.

ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة جداء واليس.

${\displaystyle {\frac {\pi {2 ={\frac {2 {1 \cdot {\frac {2 {3 \cdot {\frac {4 {3 \cdot {\frac {4 {5 \cdot {\frac {6 {5 \cdot {\frac {6 {7 \cdot {\frac {8 {7 \cdot {\frac {8 {9 \cdots \!$

في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674.

${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3 {3 +{\frac {z^{5 {5 -{\frac {z^{7 {7 +\cdots$

هاته الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي ${\displaystyle \scriptstyle \pi /4$ عندما يساوي z واحدا.

في عام 1706، استخدم جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها.

${\displaystyle {\frac {\pi {4 =4\,\arctan {\frac {1 {5 -\arctan {\frac {1 {239$

باستعمال هاته الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه لتقريب للعدد ط. وهي الكيفية التي استخدمت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مماثلة لصيغة ماشن.

سرعة الاقتراب

متسلسلات تحسب قيمة ${\displaystyle {\pi$	بعد الدورة الأولى	بعد الدورة الثانية	بعد الدورة الثالثة	بعد الدورة الرابعة	بعد الدورة الخامسة	تؤول إلى :
${\displaystyle \scriptstyle \pi ={\frac {4 {1 -{\frac {4 {3 +{\frac {4 {5 -{\frac {4 {7 +{\frac {4 {9 -{\frac {4 {11 +{\frac {4 {13 \cdots .$	4.0000	2.6666...	3.4666...	2.8952...	3.3396...	${\displaystyle {\pi$ = 3.1415...
${\displaystyle \scriptstyle \pi ={3 +{\frac {4 {2\times 3\times 4 -{\frac {4 {4\times 5\times 6 +{\frac {4 {6\times 7\times 8 \cdots .$	3.0000	3.1666...	3.1333...	3.1452...	3.1396...

كون π عددا غير جذري وكونه عددا متساميا

لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب π هوحساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2 {6 ={\frac {1 {1^{2 +{\frac {1 {2^{2 +{\frac {1 {3^{2 +{\frac {1 {4^{2 +\cdot \cdots$

برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 حتى π عدد غير جذري، مما يعني أنه لا يمكن حتى يساوي نسبة عددين سليمين. استخدم برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 حتى ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}$

عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية

مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة الفهماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري. الجدير بالذكر حتى فابريس حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وخط الشفرة المصدرية بلغة سي.

الهدف من حساب ط

حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالبتر الناقص والكرة والمخروط والطارة

المتسلسلات المتقاربة بسرعة

خوارزميات الحنفية

اكتشفت خوارزميتان في عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها.

اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف.

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0 ^{\infty {\frac {1 {16^{k \left({\frac {4 {8k+1 -{\frac {2 {8k+4 -{\frac {1 {8k+5 -{\frac {1 {8k+6 \right)$

كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.

الاستعمال

في الهندسة وحساب المثلثات

يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالبتر الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط :

• محيط دائرة شعاعها r هو${\displaystyle 2\pi r$.
• مساحة دائرة شعاعها r هي ${\displaystyle \pi r^{2$.
• حجم كرة شعاعها r هو${\displaystyle {\tfrac {4 {3 \pi r^{3$.
• مساحة كرة شعاعها r هو${\displaystyle 4\pi r^{2$.

طريقة مونت كارلو
طرق مونت كارلومن أجل ايجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان.

في الأعداد العقدية والتحليل

كل عدد عقدي، يمكن حتى يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أونصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المفهم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أوφ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي:

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$

حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i² = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يحدث مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر :

${\displaystyle e^{i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi$

حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندماقد يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها فهماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:

${\displaystyle e^{i\pi +1=0$

يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة zⁿ = 1. تسمى هذه الأعداد بالجذور النونية للوحدة، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:

${\displaystyle e^{2\pi ik/n \qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).$

في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندماقد يكون s مساويا ل 2، يمكن حتى تخط كما يلي :

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1 {1^{2 +{\frac {1 {2^{2 +{\frac {1 {3^{2 +\cdot \cdots$

كان ايجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{6}}$${\displaystyle \scriptstyle {\frac {6 {\pi ^{2$.

${\displaystyle \prod _{p ^{\infty \left(1-{\frac {1 {p^{2 \right)=\left(\prod _{p ^{\infty {\frac {1 {1-p^{-2 \right)^{-1 ={\frac {1 {1+{\frac {1 {2^{2 +{\frac {1 {3^{2 +\cdots ={\frac {1 {\zeta (2) ={\frac {6 {\pi ^{2 \approx 61\%$

يمكن لهذا الاحتمال حتى يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل ${\displaystyle \pi$، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو.

في الفيزياء

يمكن رؤية العدد ط أوπ في الكثير من القوانين الفيزيائية من أهمها:

• الثابت الكوني:

${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G \over {3c^{2 \rho$

• مبدأ الريبة، الذي ينص على حتى قياس موضع جسيم (Δx) وكمية التحرك (Δp) لايمكن لكليهما حتىقد يكونا صغيرين في نفس الوقت:

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h {4\pi$

• معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة:

${\displaystyle R_{ik -{g_{ik R \over 2 +\Lambda g_{ik ={8\pi G \over c^{4 T_{ik$

• قانون كولوم للقوة الكهربائية، يصف القوة بين شحنتين كهربائيتين(q₁ وq₂) تفصلهما مسافة r:

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1 q_{2 \right| {4\pi \varepsilon _{0 r^{2$

• النفاذية المغناطيسية في الفراغ:

${\displaystyle \mu _{0 =4\pi \cdot 10^{-7 \,\mathrm {N/A^{2 \,$

• قوانين كبلر، التي تربط بين الزمن المداري (P) والمحور الإهليجي الأكبر a والكتل(M وm) لجسمين مداريين حول بعضهما:

${\displaystyle {\frac {P^{2 {a^{3 ={(2\pi )^{2 \over G(M+m)$

في الاحتمالات والإحصاء

رسم بياني للدالة الغاوسية
ƒ(x) = e^−x2. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور y لها مساحة تساوي ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi$.

في فهم الاحتمالات والإحصاء، توجد الكثير من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي:

• دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط μ والانحراف المعياري σ، نتيجة للتكامل الغاوسي:

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi \,e^{-(x-\mu )^{2 /(2\sigma ^{2 )$

• دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع كوشي:

${\displaystyle f(x)={\frac {1 {\pi (1+x^{2 ) .$

صيغ حسابية للعدد ط

توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة.

النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين

إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي :

${\displaystyle 4\times (1-{\frac {1 {3 +{\frac {1 {5 -{\frac {1 {7 +\cdots )$

ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة قوس الظل (بالإنجليزية: arctan)‏ حيث

${\displaystyle \arctan \,x=x-{\frac {x^{3 {3 +{\frac {x^{5 {5 -{\frac {x^{7 {7 +\cdots \!$

في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، إلى غير ذلك.

يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12 \,\left(1-{\frac {1 {3\cdot 3 +{\frac {1 {5\cdot 3^{2 -{\frac {1 {7\cdot 3^{3 +\cdots \right)\!$

سلاسل أخرى

هناك حسابات أخرى مثل:

اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل:

• سلسلة رامانجن:

${\displaystyle {\frac {1 {\pi ={\frac {2{\sqrt {2 {9801 \sum _{k=0 ^{\infty {\frac {(4k)!(1103+26390k) {(k!)^{4 396^{4k \!$

• سلسلة الإخوان شودنوفسكي التي سمحت لأول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق:

${\displaystyle {\frac {426880{\sqrt {10005 {\pi =\sum _{k=0 ^{\infty {\frac {(6k)!(13591409+545140134k) {(3k)!(k!)^{3 (-640320)^{3k \!$

وكان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:

${\displaystyle a_{0 =1\quad \quad \quad b_{0 ={\frac {1 {\sqrt {2 \quad \quad \quad t_{0 ={\frac {1 {4 \quad \quad \quad p_{0 =1\!$

ثم المعاودة:

${\displaystyle a_{n+1 ={\frac {a_{n +b_{n {2 \quad \quad \quad b_{n+1 ={\sqrt {a_{n b_{n \!$

${\displaystyle t_{n+1 =t_{n -p_{n (a_{n -a_{n+1 )^{2 \quad \quad \quad p_{n+1 =2p_{n \!$

حتى تصبح a_n وb_n متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π

${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n +b_{n )^{2 {4t_{n .\!$

في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = e^π]]، وبالتالي

${\displaystyle {\frac {\pi {24 =\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {1 {n \left({\frac {3 {q^{n -1 -{\frac {4 {q^{2n -1 +{\frac {1 {q^{4n -1 \right)$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{3 {180 =\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {1 {n^{3 \left({\frac {4 {q^{n -1 -{\frac {5 {q^{2n -1 +{\frac {1 {q^{4n -1 \right)$

وأخرى بالشكل،

${\displaystyle \pi ^{k =\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {1 {n^{k \left({\frac {a {q^{n -1 +{\frac {b {q^{2n -1 +{\frac {c {q^{4n -1 \right)$

حيث q = e^π, k هوعدد فردي، وa, b, c هي أعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m + 3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط،

${\displaystyle p\pi ^{k =\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {1 {n^{k \left({\frac {2^{k-1 {q^{n -1 -{\frac {2^{k-1 +1 {q^{2n -1 +{\frac {1 {q^{4n -1 \right)$

صيغة بيلارد

• تم تحسين منشور سيمون بلوف بواسطة فابريس بيلارد واكتشاف صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي حديث على حاسوب شخصي لايتجاوز ثمنه 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009 وتدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد:

${\displaystyle {\begin{aligned \pi ={\frac {1 {2^{6 \sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {2^{10n \,\left(-{\frac {2^{5 {4n+1 \right.&{ -{\frac {1 {4n+3 +{\frac {2^{8 {10n+1 -{\frac {2^{6 {10n+3 \left.{ -{\frac {2^{2 {10n+5 -{\frac {2^{2 {10n+7 +{\frac {1 {10n+9 \right)\end{aligned$

انظر أيضا

• ثابت رياضي
• قائمة الأعداد
• الأعداد غير النسبية
• متسلسلات مادهافا

المراجع

وصلات خارجية

• 10 million decimal places
• "Pi" على مسقط ماثوورلد
• Representations of Pi على ولفرام ألفا