في الرياضيات، حساب المثلثات الكروية (بالإنجليزية: Spherical Trigonometry)‏ هوفرع من فروع الهندسة الكروية، يهتم بالعلاقة الموجودة بين الدوال المثلثية لزوايا المضلعات الكروية (وبالتحديد المثلثات الكروية، مثلثات رُسمن على كرة) محددات من قبل عدد من الدوائر العظمى المتقاطعة على الكرة. حساب المثلثات الكروية له أهمية كبيرة للحسابات في فهم الفلك والجيوديسيا والملاحة.

من أجل المزيد من المعلومات حول أصول حساب المثلثات الكروية عند الإغريق والتطورات المهمة اللائي عهدها هذا المجال في العصر الإسلامي، انظر إلى تاريخ الحساب المثلثي وإلى الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية.

اتى هذا الموضوع ليؤتي ثماره في العصور الحديثة المبكرة مع تطورات مهمة قام بها جون نابير وديلامبر وآخرون، وحصل على شكل تام بشكل أساسي بحلول نهاية القرن التاسع عشر مع نشر كتاب تودهنتر "Spherical trigonometry for the use of colleges and Schools". ومنذ ذلك الحين، تطورات مهمة كانت تطبيق طرق المتجهات واستخدام الطرق العددية.

التمهيدات

المضلعات الكروية

المضلع الكروي هومتعدد الجوانب يقع على سطح الكرة يحدده عدد من أقواس الدوائر العظمى، والتي هي تقاطع السطح مع مستويات مارة بمركز الكرة. قد يحدث لهذه متعددات الجوانب (تسمى أيضًا الأقواس) أي عدد من الجوانب. مستويان يحددان هلالًا، يُطلق عليه أيضًا اسم "مضلع ثنائي" أوثنائي الزوايا. النظير ثنائي الأضلاع للمثلث: مثال رائج هوالسطح المنحني لبترة كروية لبرتنطقة. تحدد ثلاث مستويات مثلثا كرويا، الموضوع الرئيسي لهذه الموضوعة. تحدد أربع مستويات رباعيا كرويا: مثل هذا الشكل، والمضلعات ذات عدة أضلاع، يمكن دائمًا اعتبارها على أنها عدد من المثلثات الكروية.

من هذه النقطة سيقتصر الموضوع على مثلثات كروية، يشار إليها ببساطة على أنها "مثلثات".

الترميز

• يُشار إلى جميع من الرؤوس والزوايا في الرؤوس بالحروف الكبيرة نفسها A وB وC.
• الزوايا A، وB وC للمثلث متساوية مع الزوايا بين المستويات التي تتقاطع مع سطح الكرة. تقاس الزوايا بالراديان. تكون زوايا المثلثات الكروية "العادية" (بالاتفاقية) أقل من π بحيث تكون π < A + B + C < 3π.
• يُشار إلى الأضلاع (الأقواس أوجوانب المثلث) بأحرف صغيرة a، وb وc. على كرة الوحدة (كرة نصف قطرها يساوي 1)، أطوالها تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس الدائرة العظمى في المركز بالراديان. أضلاع المثلثات الكروية "العادية" تكون (بالاتفاقية) أقل من π بحيثقد يكون 0 < a + b + c < 2π.
• نصف قطر الكرة يؤخذ كوحدة (يساوي 1). بالنسبة للمعضلات العملية المحددة في نصف قطر الكرة R، يجب قسمة الأطوال المقاسة للأضلاع على R قبل استخدام المتطابقات الواردة أدناه. بطريقة مماثلة، بعد حساب في كرة الوحدة، يجب ضرب الأضلاع a، وb وc في R.

المثلثات القطبية

على الكرة التي مركزها O، نعتبر نقطتين A وB متمايزتين وليست متعاكستين قطريا. المستقيم الذي يضم O ويعامد المستوي OAB ويبتر الكرة في نقطتين تسمى أقطاب المستوي (OAB).

بالنسبة للمثلث "العادي" ABC المرسوم على كرة، نسمي C' قطب المستوي (OAB) الواقع على نفس نصف الكرة التي تقع فيه C. نقوم بانشاء النقطتين A' وB' بنفس الطريقة. يسمى المثلث (A'B'C) بالمثلث القطبي للمثلث ABC.

تثبت مبرهنة مهمة جدًا حتى زوايا وأضلاع المثلث القطبي تُعطى بواسطة:

${\displaystyle {\begin{alignedat {3 A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat$

لذلك، إذا تم إثبات أي متطابقة للمثلث ABC، فيمكننا على الفور اشتقاق متطابقة ثانية بتطبيق المتطابقة الأولى على المثلث القطبي عن طريق إجراء التعويضات المذكورة أعلاه. هذه هي الكيفية التي يتم اشتقاق معادلات جيب التمام التكميلية من معادلات جيب التمام. المثلث القطبي للمثلث القطبي هوالمثلث الأصلي.

مجموع زوايا المثلثات

قد يصل مجموع زوايا المثلثات الكروية إلى 5π أي 900°، وقد يصل مجموع زوايا المثلثات الكروية "العادية" إلى 3π أي 540°.

قوانين الجيب وجيب التمام

قانون جيب التمام

قانون جيب التمام هي المتطابقة الأساسية لحساب المثلثات الكروية: جميع المتطابقات الأخرى، بما في ذلك قانون الجيب، قد تكون مشتقة من قاعدة جيب التمام.

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!$

تقارب هذه المتطابقات قاعدة جيب التمام للمثلثات المسطحة إذا كانت الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة. (في كرة الوحدة، إذا كانت a, b, c << 1: نضع ${\displaystyle \sin a\approx a$ و${\displaystyle \cos a\approx 1-{a^{2 \over 2$ إلى غير ذلك.)

في حال كانت أطوال الأقواس الثلاثة بالمثلث الكروي معلومة فيمكن استنتاج قيمة الزاوية اللقاءة لكل قوس هكذا :

${\displaystyle {\displaystyle \cos A\ ={\frac {\cos a-\cos b\cos c {\sin b\sin c$

${\displaystyle {\displaystyle \cos B\ ={\frac {\cos b-\cos a\cos c {\sin a\sin c$

${\displaystyle {\displaystyle \cos C\ ={\frac {\cos c-\cos a\cos b {\sin a\sin b$

قانون الجيب

تعطى قانون الجيب للمثلثات الكروية بواسطة الصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {\sin A {\sin a ={\frac {\sin B {\sin b ={\frac {\sin C {\sin c .$

تقارب هذه المتطابقات قانون الجيب للمثلثات المسطحة عندما تكون الأضلاع أصغر بكثير من نصف قطر الكرة.

المتطابقات

قواعد جيب التمام التكميلية

تطبيق قواعد جيب التمام على المثلث القطبي يعطي، أي تعويض A بـ π-a، وa ب π-A ...، إلخ.

${\displaystyle {\begin{aligned \cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned$

صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث

يمكن كتابة الأجزاء الستة للمثلث بترتيب دائري كـ (aCbAcB). تربط "صيغ ظل التمام"، أو"صيغ الأجزاء الأربعة"، قوسين وزاويتين معضلة أربعة أجزاء متتالية حول المثلث، على سبيل المثال (aCbA) أو(BaCb). في مثل هذه المجموعة توجد أجزاء داخلية وخارجية: على سبيل المثال في المجموعة (BaCb) تكون الزاوية الداخلية C، والقوس الداخلي هوa، والزاوية الخارجية B، والقوس الخارجي هوb. يمكن كتابة قاعدة ظل التمام على النحوالتالي:

cos (القوس الداخلي) cos(الزاوية الداخلية) = cot(القوس الخارجي) sin(القوس الداخلي) - cot(الزاوية الخارجية) sin(الزاوية الداخلية)

والمعادلات الستة الممكنة هي (مع المجموعة ذات الصلة المشروحة على اليمين):

متطابقات نصف الزاوية ونصف الضلع

مع ${\displaystyle 2s=(a+b+c)$ و${\displaystyle 2S=(A+B+C)$:

يبدأ إثبات الصيغة الأولى من المتطابقة ${\displaystyle 2{\sin }^2<!--\; \; -->(A/2)=1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->A}$${\displaystyle 2\cos ^{2 (A/2)=1+\cos A$، والصيغة الثالثة هي حاصل القسمة ويتبع الباقي بتطبيق النتائج على المثلث القطبي.

صيغ ديلامبر (أوغاوس)

صيغ نابير

مراجع

انظر أيضا

• مثلث شفارز
• ملاحة جوية
• ملاحة فلكية
• هندسة كروية
• حل المثلثات

وصلات خارجية

• جزء من كتاب جامعي يتحدث عن حساب المثلثات الكروية

حساب المثلثات الكروية في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز