ه (رياضيات)

صورة منحنى العدد النيبيري

${\displaystyle e$

${\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0 ^{\infty {\dfrac {1 {n! ={\frac {1 {1 +{\frac {1 {1 +{\frac {1 {1\cdot 2 +{\frac {1 {1\cdot 2\cdot 3 +\cdots$

للعدد النيبيري أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم، وقد فتح الباب لحل المعادلات التفاضلية وخصوصاً الخطية والمثلثية. قدم الثابت الحسابي هـ (أوe ) إجابات على عدد من المسائل الفيزيائية والهندسية لا حدود لها وخصوصاً عند تعميم مجال استخدام الدالة في مجال الأعداد المركبة (خصوصا في الهندسة الكهربائية) فيعطي حلا لكثير من المسائل ينتج عنها الدالة الجيبية أوجيب التمام.

التاريخ

نشرت أول إشارة لهذه الثابتة عام 1618 في عمل لجون نابير حول اللوغاريتمات. ولكن اكتشاف الثابت العملي يُنسب إلى ياكوب بيرنولي الذي حاول ايجاد نهاية للمتتالية التالية:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty \left(1+{\frac {1 {n \right)^{n$

تطبيقات

الفائدة المركبة

أثر كسب عشرين في المائة من الفائدة السنوية من استثمار مبلغ 1000 دولار بترددات مختلفة لهجريب الفائدة؛ سنويا أوربع سنوي أوشهريا أوغير ذلك.

اكتشف يعقوب بيرنولي الثابت خلال دراسته للفائدة المركبة.

في الحساب

الثابت الرياضي e هوعدد حقيقي فريد من نوعه فمشتق دالته ${\displaystyle \operatorname {f (x)=e^{x$ عند النقطة x = 0 تساوي الواحد تماما ً. يطلق على هذه الدالة اسم دالة الأس الطبيعي ، وعلى معكوسها دالة اللوغاريتم الطبيعي. يمكن حساب قيمته من خلال السلسلة الآتية:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty \left(1+{\frac {1 {n \right)^{n$

أو ${\displaystyle \lim _{n\to 0 \left(1+n\right)^{\frac {1 {n$

خصائص

نظرية الأعداد

العدد e عدد غير نسبي (أصم). برهن على ذلك أويلر بالبرهان على كون الكسر المستمر البسيط الممثل ل e غير منته (انظر أيضا إلى البرهان على حتى e عدد غير جذري من طرف فورييه).

الأعداد العقدية

يمكن حتى تخط دالة الأس على شكل متسلسلة تايلور كما يلي:

${\displaystyle e^{x =1+{x \over 1! +{x^{2 \over 2! +{x^{3 \over 3! +\cdots =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {x^{n {n!$

صيغة أويلر:

${\displaystyle e^{ix =\cos x+i\sin x,\,\!$

حيث حتى ${\displaystyle i$ عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي حتى ${\displaystyle i^{2 =-1$ ).

المعادلات التفاضلية

الدالة العامة:

${\displaystyle y(x)=Ce^{x \,$

هي الحل للمعادلة التفاضلية التالية:

${\displaystyle y'=y.\,$

منحنى الدالة النيبيرية

يرسم منحنى الدالة النيبيرية بعدة أشكال، وهذا هوالشكل الأساسي:

${\displaystyle {\frac {d {dx e^{x =\lim _{h\to 0 {\frac {e^{x+h -e^{x {h =\lim _{h\to 0 {\frac {e^{x e^{h -e^{x {h =e^{x \left(\lim _{h\to 0 {\frac {e^{h -1 {h \right).$

مثال

${\displaystyle {\frac {d {dx e^{x =e^{x .$

${\displaystyle {\frac {d {dx (3e^{x +x^{2 )=3e^{x +2x.$

${\displaystyle {\frac {d {dx (\sin(e^{x ))=\cos(e^{x )(e^{x ).$

${\displaystyle {\frac {d {dx (e^{\sin x )=(e^{\sin x )(\cos x).$

${\displaystyle {\frac {d {dx (x^{2 e^{x\sin x )=2xe^{x\sin x +(x^{2 )(e^{x\sin x )(1\sin x+x\cos x).$

لاحظ: : ${\displaystyle {\frac {d {dx e^{u =e^{u {\frac {du {dx .$

انظر أيضا

ط (رياضيات)

لوغاريتم

مراجع

^ Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. سبرنجر. صفحة 136. ISBN

^ natural logarithm نسخة محفوظة 16 أغسطس 2016 على مسقط واي باك مشين.

^ Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein (1985). . Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 يناير 2020.

وصلات خارجية

العدد النيبيري حتى مليون مرتبة عشرية.

في كومنز صور وملفات عن: ه

[1] Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. سبرنجر. صفحة 136. ISBN

[2] tural logarithm نسخة محفوظة 16 أغسطس 2016 على مسقط واي باك مشين.

[3] Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein (1985). . Springer. ISBN . مؤرشف من الأصل في 25 يناير 2020.

الثابت الرياضي هـ
جزء من سلسلة منطقات حول

الخصائص
لوغاريتم طبيعي دالة أسية
التطبيقات
الفائدة المركبة متطابقة أويلر صيغة أويلر عمر النصف النموو‌التضاؤل الاسيين
تعريف هـ
البرهان على حتى e عدد غير جذري قائمة أشكال عرض هـ مبرهنة ليندمان-ويرستراس
افراد
جون نابير ليونهارت أويلر
مواضيع متعلقة
حدسية سكانويل

ه (رياضيات)

التاريخ

تطبيقات

الفائدة المركبة

في الحساب

خصائص

نظرية الأعداد

الأعداد العقدية

المعادلات التفاضلية

منحنى الدالة النيبيرية

مثال

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية

سحابة الكلمات المفتاحية، مما يبحث عنه الزوار في كشاف:

آخر الأخبار حول العالم