مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاويةقد يكون مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، وفيلسوفا، وعالم فلك في اليونان القديمة.

المبرهنة

مبرهنة فيثاغورس المباشرة

وهي الشكل الأكثر شهرة لمبرهنة فيثاغورس:

« في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة. »

في مثلث ABC قائم الزاوية في C، أي حتى [AB] هوالوتر، نضع AB=c وAC=b وBC=a. لدينا:

${\displaystyle BC^{2 +AC^{2 =AB^{2 \,$

أو

${\displaystyle a^{2 +b^{2 =c^{2 \,$

تمكن مبرهنة فيثاغورس من حساب طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بفهم طولي الضلعين الآخرين. مثلا: إذا كان b=3 وa=4 فإن

${\displaystyle a^{2 +b^{2 =3^{2 +4^{2 =25=c^{2 \,$

ومنه ${\displaystyle c=5\,$.

مثلوث ثلاثة أعداد سليمة تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، مثل (5 ،4 ،3)، يسمى مثلوث فيثاغورس.

مبرهنة فيثاغورس العكسية

نص مبرهنة فيثاغورس العكسية (العبارة 47 من الجزء الأول من كتاب العناصر لإقليدس):

« في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية اللقاءة لأطول ضلع، والضلع الأطول هوالوتر. »

مبرهنة فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية.

بتعبير آخر:

« في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB² فإن هذا المثلث قائم الزاوية في C .»

تاريخ المبرهنة

عهدت خاصية فيثاغورس في العصور القديمة، والدلائل على ذلك ما زالت موجودة إلى الآن. يكفي مثلا حتى نلاحظ الحبل ذا ثلاث عشرة عقدة الذي كان المسّاحون المصريون يستعملونه والذي نجد له صورا في عدة تصاوير للأعمال الزراعية. يسمح هذا الحبل، علاوة على قياس المسافات، بإنشاء زوايا قائمة دون الحاجة إلى الكوس، إذ تسمح العقد الثلاث عشرة (والمسافات الاثنتي عشرة الفاصلة بين العقد) من إنشاء مثلث أبعاده (5 ،4 ،3)، مثلث يتضح أنه قائم الزاوية. ظل هذا الحبل أداة هندسية طيلةالعصور الوسطى.

أقدم تمثيل لمثلوثات فيثاغورس (مثلث قائم الزاوية وأطوال أضلاعه أعداد سليمة طبيعية) نجده في الميغاليثات (2500 سنة قبل الميلاد). كما أظهرت آثار البابليين (لوحة Plimpton، حوالي سنة 1800 قبل الميلاد) أنه قبل ظهور فيثاغورس بأكثر من 1000 سنة، عهد المهندسون وجود مثلوثات فيثاغورس.

لكن بين اكتشاف الخاصية «نلاحظ حتى بعض المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية»، تعميمها «يبدوحتى جميع المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية» وإثباتها «كل المثلثات القائمة الزاوية (فقط) في المستوى الإقليدي تحقق هذه الخاصية» عدة أجيال.

ندرة الدلائل التاريخية تجعلنا غير قادرين على نسب المبرهنة إلى فيثاغورس بشكل قاطع، مع أننا على يقين بأنه صاحبها. أول برهان مكتوب نجده في كتاب العناصر لإقليدس بالصيغة التالية:

« في المثلثات القائمة الزاوية، مربع طول الضلع اللقاء للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. »

مع صيغتها العكسية: « إذا كان مربع طول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين قائمة. »

ومع ذلك، فتعليقات Proclus على كتاب العناصر لإقليدس (حوالي 400 سنة بعد الميلاد) تشير إلى حتى إقليدس لم يقم سوى بإعادة تدوين برهان قديم نسبه Proclus إلى فيثاغورس.

إذن، يمكننا حتى نؤرخ البرهان على هذه الخاصية ما بين القرن الثالث والقرن السادس قبل الميلاد. يحكى أنه في تلك الفترة اكتشفت الأعداد اللاجذرية. بالعمل، يمكن بسهولة إنشاء مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين طول أحدهما 1، فيكون مربع طول الوتر هو2. برهان سهل أيام فيثاغورس يثبت حتى العدد 2 ليس مربعا لعدد جذري. ينطق حتى هذا الإكتشاف تم إبقاؤه سرا من طرف المدرسة الفيثاغورسية تحت تهديد بالقتل.

إلى جانب هذه الإكتشافات، يظهر حتى هذه المبرهنة عهدت في الصين أيضا. نجد إشارة إلى وجود هذه المبرهنة في واحد من أقدم المؤلفات الصينية في الرياضيات، كتاب Zhoubi suanjing. هذا المؤلف، خط على الأغلب في Han Dynasty (أعظم الفترات في تاريخ الصين)، (206 قبل الميلاد، 220 سنة بعد الميلاد) يضم التقنيات المستعملة في فترة Zhou Dynasty. (القرن العاشر قبل الميلاد، 256 قبل الميلاد). نجد برهان هذه الخاصية، التي تحمل في الصين اسم مبرهنة جوجوGougu (القاعدة والإرتفاع)، في كتاب Jiuzhang suanshu (الفصول التسعة في فن الرياضيات، 100 سنة قبل الميلاد، 50 سنة بعده)، برهان مختلف كليا عن برهان إقليدس.

كما نجد في الهند برهانا عدديا للخاصية يعود إلى القرن الثالث قبل الميلاد (برهان بإستعمال أعداد خاصة، لكن يمكن تعميمه بسهولة).

رغم أنها خاصية هندسية، إلا أنها أخذت منحى حسابيا عند البحث عن جميع مثلوثات أعداد سليمة طبيعية تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية: أي مثلوثات فيثاغورس. هذا البحث فتح الباب لبحث آخر: البحث عن المثلوثات التي تحقق ${\displaystyle a^n+b^n=c^n}$

توجد في الحقيقة الكثير من البراهين على هذه الخاصية، مثل برهان إقليدس، وبرهان الصينيين، مرورا ببرهان الهنود، وبرهان دا فينشي وحتى برهان الرئيس الأمريكي James Abram Garfield. كما لا يفوتنا ذكر الكاشي الذي عمم هذه المبرهنة على جميع المثلثات: مبرهنة الكاشي.

براهين

بلا شك، هذه المبرهنة لديها أكبر عدد معروف من الإثباتات (كما هوالحال بالنسبة لخاصية Quadratic reciprocity). ها هي بعض منها:

برهان إقليدس

قبل البرهنة على خاصية فيثاغورس، يجب إثبات عبارتين. العبارة الأولى التي يجب إثباتها (العبارة 35 من الجزء الأول من كتاب العناصر) هي تساوي مساحتي متوازيي أضلاع لهما نفس القاعدة ونفس الإرتفاع:

« متوازيات الأضلاع التي لها قاعدة مشهجرة، ومحصورة بين نفس المستقيمين المتوازيين، لها نفس المساحة. »

لنعتبر متوازيي الأضلاع ABCD وBCFE، لديهما قاعدة مشهجرة [BC]، ومحصوران بين المتوازيين (BC) و(AF)، لاحظ حتى AD=BC (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع ABCD)، وBC=EF (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع BCFE)، وبالتالي AD=EF.

توجد ثلاثة حالات فقط (مبينة في الشكل جانبه) لموضع النقطة E بالنسبة إلى D : يمكن حتى توجد E على يسار D، منطبقة على D أوعلى يمين D. سندرس جميع حالة:

1. إذا كانت E على يسار D فإن [ED] مشهجرة بين جميع من [AD] و[EF]، ومنه نستطيع التحقق من حتى المسافتين AD وEF متساويتين. لاحظ حتى الضلعين [AB] و[DC] متقايسان (لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الأضلاع ABCD)، والنقط D، E، A وF مستقيمية، الزاويتان ${\displaystyle [\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{BAE}]}$

2. إذا كانت E منطبقة على D، سنجد بطريقة مماثلة حتى المثلثين BAE وCDF متقايسان، وأنه من الممكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD وBCFE بإضافة المثلث BAE (أوCDF) إلى المثلث المشهجر BCD.

3. إذا كانت E على يمين D، لدينا AD=EF، وبإضافة DE لكل منهما نجد حتى AE=DF. وبطريقة مماثلة لتلك التي إستعملناها في 1 و2، يمكن حتى نبين حتى المثلثين BAE وCDF، وأيضا شبهي المنحرف BADG وCGEF، متقايسان. إذن من الواضح أنه يمكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD وCBEF عن طريق إضافة المثلث المشهجر BCG إلى شبه المنحرف BADG (أوCGEF).

استبدال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة والإرتفاع يعهد في الرياضيات بإسم القص. هذا الأخير مهم جدا في إثبات العبارة التالية:

« إذا كان لمتوازي أضلاع ولمثلث نفس القاعدة، ومحصورين بين مستقيمين متوازيين، فإن مساحة متوازي الأضلاع هي ضعف مساحة المثلث. »

لنعتبر متوازي أضلاع ABCD، ولتكن E نقطة من نصف المستقيم (AD] ولا تنتمي إلى البترة [AD]. نريد إثبات حتى مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC. بعد رسم القطر [AC]، نلاحظ حتى مساحة ABCD هي ضعف مساحة ABC. ولدينا مساحة ABC تساوي مساحة BEC (لأن لهم نفس القاعدة). إذن ضعف مساحة BEC هي ضعف مساحة ABC، أي ABCD. . ومنه مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC المثلث.

نستطيع الآن متابعة البرهان:

نعتبر مثلثا ABC قائم الزاوية في A. لتكن ABFG ،ACIH وBCED مربعات الأضلاع AB ،AC وBC على التوالي. لتكن J نقطة تقاطع (BC) و(AK). نريد إثبات حتى مساحة BCED تساوي مجموع مساحتي ABFG وACIH. يمكننا هذا عن طريق إثبات حتى مساحة المربع ABFG تساوي مساحة المستطيل BJKD، وحتى مساحة المربع ACIH تساوي مساحة المستطيل CEKJ.

لإثبات المتساوية الأولى، يمكن حتى نلاحظ حتى المسافتين FB وBC تساويان AB وBD على التوالي. لأن الزاويتان ${\displaystyle [{\widehat {ABF ]$ و${\displaystyle [{\widehat {CBD ]$ متقايستان، والزاويتان ${\displaystyle [{\widehat {FBC ]$ (لاحظ حتى ${\displaystyle {\widehat {FBC ={\widehat {FBA +{\widehat {ABC$) و${\displaystyle {\widehat {ABD$ (لاحظ حتى ${\displaystyle {\widehat {ABD ={\widehat {ABC +{\widehat {CBD$) متقايستان. كنتيجة، لدينا المثلثان FBC وABD متقايسان. لاحظ أيضا أنه حسب العبارة XLI، مساحة المربع ABFG هي ضعف مساحة المثلث FBC وحتى مساحة المستطيل BJKD هي ضعف مساحة المثلث ABD. بما حتى المثلثين ABD وFBC متقايسان، فإن مساحة ABFG تساوي مساحة BJKD.

نحصل على المتساوية الثانية بطريقة مشابهة: بملاحظة حتى IC وCB يساويان AC وCE على التوالي، وحتى الزاوية ${\displaystyle [{\widehat {ICB ]$ تقايس الزاوية ${\displaystyle [{\widehat {ACE ]$، نحصل على حتى المثلثين ICB وACE متقايسان. وفهما حتى مساحة المربع ACIH هي ضعف مساحة المثلث ICB وحتى مساحة المستطيل CEKJ هي ضعف مساحة ACE، وبما حتى المثلثين ICB وACE متقايسان، فإن مساحة ACIH تساوي مساحة CEKJ.

وبالتالي، مساحة BCED تساوي مساحة مجموع مساحتي BJKD وCEKJ، أي مجموع مساحتي ABFG وACIH.

وتكون مبرهنة فيثاغورس حالة خاصة لمبرهنة كليرو.

برهان جوجو

تمت إعادة صياغة مبرهنة جوجوGougu إنطلاقا من تعليقات وملاحظات الرياضي الصيني Liu Hui (القرن الثالث بعد الميلاد) على كتاب « الفصول التسعة في فن الرياضيات » (206 قبل الميلاد، 220 بعده) وعلى كتاب Zhoubi Suanjian « ظل الدوائر، كتاب في Calculus » (كتاب في فهم الفلك).

هذا البرهان يعتمد على مبدأ لعبة اللغز Puzzle: مساحتان متساويتان بعد تقطيع وهجريب. يذكر حتى إقليدس استخدم نفس المبدأ (القص) تقريبا.

في الشكل جانبه، المثلث القائم الزاوية مرسوم بلون غامق، مربع أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة رسم خارج المثلث، بينما نقوم بالعكس بالنسبة للضلعين الآخرين.

المثلث الأحمر يقايس المثلث البدئي. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأصفر يساوي طول أصغر ضلع في المثلث البدئي، وزوايا هذين المثلثين متقايسة. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأزرق يساوي فرق طولي ضلعي الزاوية القائمة للمثلث البدئي وزواياهما متقايسة أيضا.

بإستعمال الجداء السلمي

ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A

${\displaystyle {\overrightarrow {CB ={\overrightarrow {AB -{\overrightarrow {AC$

${\displaystyle {\overrightarrow {CB ^{2 =({\overrightarrow {AB -{\overrightarrow {AC )^{2$

${\displaystyle CB^{2 =AB^{2 +AC^{2 -2.{\overrightarrow {AB .{\overrightarrow {AC$

بما حتى ABC قائم الزاوية في A فإن ${\displaystyle {\overrightarrow {AB .{\overrightarrow {AC =0$

ومنه ${\displaystyle BC^{2 =AB^{2 +AC^{2$

برهان حديث

لنعتبر مثلثا قائم الزاوية حيث قياسات أضلاعه هي b ،a وc. نقوم بنسخ المثلث ثلاث مرات بحيث يشكل جميع ضلع طوله a مستقيما مع ضلع طوله b لمثلث آخر. نحصل في الأخير على مربع طول ضلعه a+b، كما في الصورة.

لنحسب مساحة المربع المحدد بالأضلاع ذات الطول c. من طبيعة الحال المساحة هي c²، وتساوي أيضا فرق مساحة المربع الكبير ذوالضلع a+b ومجموع مساحات المثلثات الأربع. مساحة المربع الكبير هي ²(a+b) لأن طول ضلعه هوa+b. ومجموع مساحات المثلثات هي أربع مرات مساحة مثلث واحد، أي 4(ab/2)، إذن الفرق هو(a+b)²-4(ab/2) بالتبسيط a²+b²+2ab-2ab أي a²+b². بهذا نكون قد برهنا على حتى مساحة المربع ذوالضلع c تساوي a²+b²، أي a²+b²=c².

توجد طرق عديدة أخرى لإثبات مبرهنة فيثاغورس، حتى الرئيس الأمريكي الواحد والعشرون جيمس جارفيلد James Garfield برهن، بطريقة قريبة من الطريقة السابقة، على مبرهنة فيثاغورس.

أشكال أخرى للمبرهنة

إستلزامها المضاد للعكس

نص الإستلزام المضاد للعكس:

« إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ABC تحقق ${\displaystyle BC^{2 \neq AB^{2 +AC^{2 \,\!$ فإن المثلث ABC ليس قائما في النقطة A. »

رغم حتى الإستلزام المضاد للعكس يكافئ منطقيا المبرهنة المباشرة، إلا حتى إستعماليهما مختلفان: فمبرهنة فيثاغورس المباشرة تستعمل لحساب طول ضلع مثلث قائم الزاوية بدلالة طولي الضلعين الآخرين، في حين حتى إستلزامها المضاد للعكس يستعمل لإثبات كون مثلث (قياسات أضلاعه معلومة) ليس قائم الزاوية.

الإستلزام المضاد للعكس للخاصية العكسية

يقول ما يلي: « إذا كان المثلث ABC ليس قائم الزاوية في A فإن ${\displaystyle BC^{2 \neq AB^{2 +AC^{2 \,\!$ »

تعميم على أشكال هندسية أخرى غير المربعات

عمم إقليدس مبرهنة فيثاغورس في كتابه العناصر (العبارة 31، الجزء VI من كتاب العناصر):

« في المثلثات القائمة الزاوية، مساحة شكل مرسوم على الوتر، يساوي مجموع مساحتي الشكلين المشابهين له المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة. »

بتعبير آخر:

« إذا أنشأنا أشكالا متشابهة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مساحتي الشكلين الصغيرين تساوي مساحة الشكل الكبير. »

هذه الخاصية تسمح لنا بالبرهنة على حتى مساحة مثلث تساوي مجموع مساحتي الهلالين المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة: مبرهنة الهلالين.

استعمالاتها

• تسمح مبرهنة فيثاغورس بحساب المسافة بين نقطتين في مفهم متعامد بدلالة إحداثياتهما الديكارتية، إذا كانت ${\displaystyle A(x_a,y_a)}$

${\displaystyle {\sqrt {(x_{b -x_{a )^{2 +(y_{b -y_{a )^{2$

إذا كانت ${\displaystyle (x_b,y_a)}$

${\displaystyle CA=|x_{b -x_{a |$

${\displaystyle CB=|y_{b -y_{a |$

بينما تمثل المسافة AB طول وتر المثلث ACB.

• بشكل عام، في فضاء إقليدي (أوفضاء تآلفي إقليدي)، المسافة من ${\displaystyle (x_{1 ,\dots ,x_{k )$ إلى ${\displaystyle (y_{1 ,\dots ,y_{n )$ تساوي:

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{k=1 ^{k=n {(x_{k -y_{k )^{2$

• يمكن حتى نعتبر مبرهنة Parseval تعميما لمبرهنة فيثاغورس في فضاء الجداء الداخلي.

• تعمم مبرهنة فيثاغورس على التبسيطات ذات الأبعاد الكبيرة. إذا كان لرباعي أوجه ركن قائم (ركن من مكعب)، فإن مربع مساحة الوجه اللقاء للركن، يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى. تعهد هذه المبرهنة أيضا بإسم مبرهنة Gua.

انظر أيضا

• مبرهنة كليرو، حالة عامة، مع متوازيات أضلاع محيطة بمثلث عادي.
• مبرهنة الكاشي، تعميم لمبرهنة فيثاغورس على جميع المثلثات.
• الجبر الخطي
• مثلوث فيثاغورس
• مبرهنة فيرما الأخيرة

وصلات خارجية

• ثلاثيات فيثاغورس على شبكة الرياضيات رمز
• 69 برهانا مختلفا
• برهان إقليدس
• وسائل توضيحية: الوسيلة الأولى، الوسيلة الثانية