مثلث
المثلث هوأحد الاشكال الاساسية في الهندسة.وهوشكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة اضلاع، التي هي تعبير عن بتر مستقيمة.
أنواع المثلثات
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لاطوال اضلاعها كما يلي:
- مثلث متساوي الأضلاع: هومثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الاضلاع متساوية أيضا، وقيمتها 60 درجة.
- مثلث متساوي الضلعين: هومثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان اللقاءتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.
- مثلث مختلف الأضلاع: هومثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.
.
| متساوي الاضلاع | متساوي الساقين | مختلف الاضلاع |
كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:
- مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع اللقاء للزاوية القائمة بالوتر، وهوأطول أضلاع هذا المثلث.
- مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية منفرجه)
- مثلث حاد الزوايا: جميع زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).
nbsp;
| قائم | منفرج | حاد[[ميديا: |
حقائق عن المثلثات
تشابه مثلثين
ينطق عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من جميع منهما متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره اوتصغيره. ان اطوال اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول أقصر اضلاع المثلث الاول هوضعفا طول أقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول جميع من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الاول هوضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني ايضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الاول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~) يتشابه مثلثان اذا تطابقتزواياهما المتناظرة ___ اذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتان في مثلث اخر كان المثلثان متشابهين.
نظرية فيثاغورس
واحدة من النظريات الاساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على انه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي إلى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، اي:
د َ² = ب َ² + ج َ²
مما يعني ان فهم طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لفهم طول الضلع الثالث:
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتضم اي مثلث عبر قانون التجيب:
د َ² = ب َ² + ج َ² - 2 ب َ ج َ تجب د
وهوسليم من اجل جميع المثلثات حتى ولولم تكن د قائمة.
سؤال:هل تظل النظرية سليمة في حالة ان تكون الاشكال المقامة مضلعات منتظمة اخرى مثل مضلع ثلاثي:أوخماسي أوسداسي،...الخ ماهوتعريف فهم المثلثات
مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي:
سط = ق × ع / 2
حيث ان ق هي طول احدى اضلاع المثلث (القاعدة)، وع هوطول العمود النازل على هذا الضلع من الرأس اللقاء له (الارتفاع).
من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:
يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع |
مثلث أحد الأشكالِ الأساسيةِ في هندسة: شكل ثنائي الأبعاد بثلاثة قِمَم وثلاثة جوانبِ بشكل خطوط مستقيمة . عهد المثلثات
أنواع المثلثاتِ
المثلثات يُمْكِنُ أَنْ تُصنّفَ طبقاً للأطوالِ النسبيةِ مِنْ جوانبِها:
- في مثلث متساوي الأضلاع كُلّ الجوانب ذات طولِ متساو. مثلث متساوي الأضلاع أيضاً متساوي الزوايا ، أي حتى جميع زاوية هي 60 درجة؛ * في مثلث متطابق الضلعين جانبان متساويان في الطول. مثلث متساوي الساقين لَهُ زاويتان داخليتانُ متساويتانُ أيضاً.
- في مثلث مختلف الأضلاع كُلّ الجوانب لَها أطوالُ مختلفةُ. إنّ الزوايا الداخليةَ في مثلث مختلف الزوايا هي مختلفة أيضا.
المثلثات يُمْكِنُ أيضاً أَنْ تُصنّفَ طبقاً لحجمِ زاويتِهم الداخليةِ الأكبرِ، وَصفَ تحت استعمال درجة مِنْ القوسِ.
- أي مثلث قائم (أَو مثلث قائم الزاوية ) عِنْدَهُ 90 واحد °؛ الزاوية الداخلية (a زاوية قائمة). الجانب قبالة الزاوية القائمة وتر زاوية قائمة ؛ هوالجانبُ الأطولُ في المثلث القائمِ. إنّ الجانبانَ الآخرَ سيقان المثلثِ.
- مثلث منفرج عِنْدَهُ زاويةُ داخليةُ واحدة أكبرُ مِنْ 90 °؛ ( زاوية منفرجة).
- مثلث حادّ عِنْدَهُ زوايا داخليةُ التي جميعاً أصغر مِنْ 90 °؛ (ثلاثة زاوية حادة ).
نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث
- الموسط العمودي لمثلث هومستقيم يمر من أحد اضلاع المثلث في منتصفه وقد يكون عموديّا عليه وتتلاقى الوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث وقد يكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاث وقد يكون تقاطع موسطين عموديين فقط كافيا لفهم مركز هذه الدائرة.
- تقول مبرهنة طالس انّه اذا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث توجد على ضلع من أضلاع المثلث فانّ الزاوية اللقاءة لهذا الضلع تكون قائمة.
.
- الارتفاع هوبترة مستقيم تكون صادرة من راّس من رؤوس المثلث وتكون عمودية غلى الضلع اللقاء ويمثل الارتفاع البعد بين الراس والضلغ اللقاء كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى المركز القائم.
.
- منصف الزاوية هومستقيم يمرّ من راس من رؤوس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمسّ اضلاع المثلث الثلاث.
- الموسّط هوبترة مستقيم تنطلق من رأس من رؤوس المثلث وتمر من منتصف الضلع اللقاء وتتقاطع الموسطات الثلاث في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث وقد يكون تقاطع موسطين فقط كافيا لفهم مركز الثقل. كماقد يكون البعد بين راس المثلث ومركز الثقل مساويا ل 2/3 الموسط الصادر من ذلك الراس.
- منتصفات الاضلاع الثلاث ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع اللقاء له موجودة كلها على نفس المثلث دائرة النقاط التسع للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين راس المثلث والمركز القائم وشعاع دائرة النقاط التسع هي نصف شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث .
حساب مساحة المثلث
أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي
حيث هي المساحة وهي طول قاعدة المثلث وهوازدياد المثلث . قاعدة المثلث تمثل ايّ ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هوالمستقيم الصادر من الراس اللقاء للضلع والعموديّ عليه.
اقرأ ايضا
- فهم المثلثات
وصلات خارجية
- Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
- Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
- Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
- Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees
- Area of a triangle -سبعة different ways
- Triangle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting.
- Animated demonstrations of triangle constructions using compass and straightedge.
- Triangles: Theorems and Problems. Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas.
- Many things about triangles
- Triangle in light aircraft
- All Math Words Encyclopedia for grades 7-10.
