دائرة مقاومة ومكثف

دائرة مقاومة ومكثف ، بالإنجليزية Resistor-capacitor circuit أو(RC Circuit) أو(RC Filter) هي دائرة كهربية تحتوي على مقاومات ومكثفات وتعمل بالتيار المتردد . أبسط أنواع تلك الدوائر تحتوي على مقاومة واحدة ومكثف واحد . تستعمل كثيرا في الدوائر الكهربائية والإلكترونيات كمرشح . وتبين الصورة ثلاثة مقاومات مختلفة ، وتدل مجموعة الحلقات الملونة المرسومة عليها على قيمتها بالأوم.

مقدمة

توجد أساسا ثلاثة أنواع من الأجزاء التي تعمل كامنة وخطية في الدوائر الكهربية : المقاومة (R) و المكثف (C) و المستحث (L). ويمكن حتى توصل هذه المكونات في تشكيلات : دائرة مقاومة ومكثف RC circuitودائرة مقاومة ومستحث RL circuit ودائرة مستحث ومكثف LC circuit أودائرة مقاومة ومستحث ومكثف RLC circuit. وتتبوء تلك الأنواع من الدوائر الكهربية مركزا مهما في الإلكترونيات التناظرية analog electronics. وهي تعمل على الأخص كمرشحات كامنة . هذه الموضوعة تتعلق بنوع دائرة المقاومة ومكثف . تعتمد تلك الموضوعة على فهم سابقة بالخواص المركبة لمكونات تلك الدوائر ، وفهم بالتيار الكهربائي المتردد وتمثيل الإشارات.

المعاوقة المركبة

تزيد المقاومة المكافئة لمكثف بزيادة الشحنة الكهربية المخزونة فيه .فإذا وصل المكثف بمصدر جهد متردد alternating current ، فإن شحنة المكثف تتأرجح بنفس تردد جهد المصدر المتردد . وحدثا زاد تردد الجهد حدثا تجمعت شحنة أصغر على المكثف بسبب قصر زمن الطور ، وبذلك تقل المقاومة المكافئة للمكثف . وهذا ما يفسر العلاقة العكسية بين المقاومة المكافئة للمكثف وتردد جهد المصدر .

المقاومة والمسماة المعاوقة المركبة Z_C بالأوم لمكثف ذوسعة C فاراد تساوي:

{\displaystyle Z_{C ={\frac {1 {sC

ويكون التردد الزاوي s عددا مركبا:

{\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega

حيث :

j تمثل الجزء التخيلي :

{\displaystyle j^{2 =-1

${\displaystyle \sigma \$ ثابت التحلل للدالة الأسية للأساس e بالراديان /ثانية ،

${\displaystyle \omega \$

دائرة التوصيل على التوالي

Series RC circuit

باعتبار الدائرة موزع للجهد ، نجد حتى الجهد عبر المكثف يساوي:

{\displaystyle V_{C (s)={\frac {1/Cs {R+1/Cs V_{in (s)={\frac {1 {1+RCs V_{in (s)

كما نجد الجهد عبر المقاومة :

{\displaystyle V_{R (s)={\frac {R {R+1/Cs V_{in (s)={\frac {RCs {1+RCs V_{in (s)

.

ويكون التيار متساويا عبر الدائرة كلها حيث أنها موصّلة على التوالي:

{\displaystyle I(s)={\frac {V_{in (s) {R+1/Cs ={Cs \over 1+RCs V_{in (s)

الاستجابة للإشارة

تمثل استجابة الدائرة للجهد الموصل بها في هيئة إشارة كهربية ، استجابة المكثف والمقاومة .

استجابة المكثف للإشارة:

{\displaystyle h_{C (t)={1 \over RC e^{-t/RC u(t)={1 \over \tau e^{-t/\tau u(t)

{\displaystyle \tau \ =\ RC

ثابت زمني يعتمد على سعة المكثف ومقدار المقاومة .

ويُعطى ستجابة المقاومة للإشارة الكهربية :

{\displaystyle h_{R (t)=\delta (t)-{1 \over RC e^{-t/RC u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau e^{-t/\tau u(t)

حيث تسمى δ(t) دالة دلتا لديراك .

الثابت الزمني ${\displaystyle \tau$ يحدد سرعة انهيار شحنة المكثف أوسرعة شحنه ويمكن التحكم في تلك السرعة بتغيير قيمة المقاومة أوسعة المكثف أوكلاهما معا .

تغير شحنة المكثف مع الزمن

نفترض حتى جهد الإشارة الداخلة:

${\displaystyle V_{in =0$ عند الزمن ${\displaystyle t=0$

ثم تتغير وتصبح

{\displaystyle V_{in =V

:

{\displaystyle V_{in (s)=V{\frac {1 {s

أي حتى Vin تتغير بتغير التردد الزاوي s (أنظر أعلاه)،

{\displaystyle V_{C (s)=V{\frac {1 {1+sRC {\frac {1 {s

وتكون:

{\displaystyle V_{R (s)=V{\frac {sRC {1+sRC {\frac {1 {s

.

تزايد جهد المكثف مع الزمن.

تناقص جهد المقاومة مع الزمن .

وبتحليل تلك العلاقات نحصل على :

{\displaystyle \,\!V_{C (t)=V\left(1-e^{-t/RC \right)

{\displaystyle \,\!V_{R (t)=Ve^{-t/RC

.

تساعدنا تلك المعادلات على حساب الجهد عبر المكثف والمقاومة في وقت زيادة شحنة المكثف . وعند تفريغ المكثف ينعكس تغير المعادلات مع الزمن t. ويمكننا حساب الشحنة وتغيرها مع الزمن C=Q/V كما يمكننا حساب التيار وتغيره مع الزمن V=IR طبقا لقانون أوم.

يميل جهد المكثف لاتخاذ القيمة V بمرور الزمن ، بينما يتجه جهد المقاومة نحوالصفر كما يبين المنحنيان . ويمكننا فهم ذلك حتى المكثف تكتمل شحنته رويدا رويدا حتى تكتمل شحنته، عندئذ يقف التيار وتصبح الدائر مفتوحة.

تبين تلك المعادلات حتى دائرة المقاومة ومكثف تتميز بثابت زمني يرمز له< math>\tau = RC</math> وهوالوقت الذي يزيد فيه الجهد عبر المكثف أوينخفض عبر المقاومة بنسبة ${\displaystyle 1/e$ من قيمته النهائية . أي حتى ${\displaystyle \tau$ هوالوقت اللازم لكي تصل ${\displaystyle V_{C$ إلى القيمة ${\displaystyle V(1-1/e)$ ، وجهد المقاومة ${\displaystyle V_{R$ لكي يصل إلى القيمة ${\displaystyle V(1/e)$ .

ومعدل تغير الشحنة هونسبة ${\displaystyle \left(1-{\frac {1 {e \right)$ إلى ${\displaystyle \tau$ . وعلى ذلك عند تغير ${\displaystyle t=N\tau$ إلى ${\displaystyle t=(N+1)\tau$ قد يكون الجهد قد تغير بنسبة 63.2 % من قيمته النهائية ${\displaystyle t=N\tau$ . أي حتى المكثفقد يكون قد وصل إلى 63.2 % من شحنته بعد زمن ${\displaystyle \tau$ ويصل إلى 99.3 % من شحنته النهائية بعد ${\displaystyle 5\tau$ . وعندما تُغلق الدائرة ويكون المكثف مشحونا تماما ينخفض الجهد عبر C طبقا للدالة الأسية e بالأس t من ${\displaystyle V$ إلى 0. وتتفرغ شحنة C إلى 36.8 % (=1/e) بعد مرور ${\displaystyle \tau$ وتقترب من التفريغ بنسبة 0.7 % بعد زمن ${\displaystyle 5\tau$ .