زاوية محوطة

في فهم هندسة الرياضيات، فإن الزاوية المحوطة تتشكل من التقاء خطين قاطعين، أوالتقاء خط قاطع مخ خط مماس، على دائرة. وبأسلوب مبسط، يمكن القول حتى الزاوية المحوطة تتشكل من أي وتري دائرة يتشاركان بنفس نقطة النهاية.

خاصية

ربى ما ضي هه أن قيمة زاوية القوس الذي تشكل بالتقاء خطي زاوية محوطة هي ضعف قيمة الزاوية نفسها.

وهذه الخاصية عدة نتائج منطقية منها:

يمكن برهنة أنه عند التقاء زاويتين محوطتين على نفس القوس، فحصيلة ضرب طول ضلعيهماقد يكون متساويا.
يمكن برهنة حتى الزاويتين المتقابلتين لرباعي دائري هما زاويتان متكاملتان (أي مجموع قيمتهما يساوي 180 درجة).

البرهان

الحالة الأولى: زاوية محوطة بحيث أحد أضلاعها هوقطر الدائرة

أرسم الشكل التالي: أرسم دائرة مركزها نقطة O. أختر نقطتين على محيط الدائرة وسميهم V وA. أرسم الخط VO ومده ليتخطى O ويبتر الدائرة في نقطة B والتي هي لقاءة لنقطة V بالنسبة للمركز. أرسم زاوية ذات رأس V وأضلاعها تمر بـ A وB.

أعطي الزاوية المركزية BOA اسم θ. أرسم خط OA. لاحظ حتى خطي OV وOA هما شعاعي الدائرة، لذا هما متساويين. لذلك، فإن المثلث VOA هومتساوي الضلعين وبالتلي، فإن الزاويتين BVA وVAO متساويتان. سمي جميع منهما بـ ψ.

بما حتى VB هوخطا مستقيما، فإن الزاويتين BOA وAOV هما زاويتين متكاملتين ومجموعهما هو°180. أذا، الزاوية AOV تساوي θ-°180 ومن المعروف حتى مجموع زاوية المثلث يساوي °180 فإذا

{\displaystyle \psi +\psi +180^{\circ -\theta =180^{\circ

وبالنتيجة

{\displaystyle 2\psi +180^{\circ -\theta =180^{\circ

اطرح °180 من الجانبين فتحصل على:

{\displaystyle 2\psi =\theta ,\,

التي تثبت النظرية.

الحالة الثانية: زاوية محوطة بحيث مركز الدائرة بداخلها

ارسم الشكل التالي: ارسم دائرة مركزها O. أختر ثلاث نقط على محيطها وسمهم V وC وD. أرسم الخطين VC وVD.الزاوية DVC هي زاوية محوطة. أرسم الحط VO ومده ليبتر محيط الدائرة في نقطة E لاحظ حتى الزاوية DVC تشكل القوس DC على الدائرة..

افترض حتى النقطة E هي على هذا القوس. E هي لقاءة للنقطة V. الزاويتين DVE وEVC هما زاويتين محوطتين أيضا وكلاهما لهما ضلع يمر بمركز الدائرة. لذلك الحلوالأولى التي برهنت في الأعلى تنطبق عليهما. فإذن:

{\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.\,

ودع

{\displaystyle \psi _{0 =\angle DVC,

{\displaystyle \psi _{1 =\angle DVE,

{\displaystyle \psi _{2 =\angle EVC,

بحيث

{\displaystyle \psi _{0 =\psi _{1 +\psi _{2 .\qquad \qquad (1)

أرسم الخطين OC وOD. فتصبح الزاوية DOC زاوية مركزية وكذلك الزاويتين DOE وEOC.

{\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.

ودع

{\displaystyle \theta _{0 =\angle DOC,

{\displaystyle \theta _{1 =\angle DOE,

{\displaystyle \theta _{2 =\angle EOC,

بحيث

{\displaystyle \theta _{0 =\theta _{1 +\theta _{2 .\qquad \qquad (2)

ومن القسم الأول حصلنا على ${\displaystyle \theta _{1 =2\psi _{1$ وعلى ${\displaystyle \theta _{2 =2\psi _{2$ . وبدمح النتيجتين مع (2) نحصل على:

{\displaystyle \theta _{0 =2\psi _{1 +2\psi _{2 \,

وبالتالي: ${\displaystyle \theta _{0 =2\psi _{0 .\,$ التي تبرهن النظرية.

الحالة الثالثة: زاوية محوطة بحيث مركز الدائرة خارجها

أرسم الشكل التالي: أرسم دائرة مركزه O. أتر ثلاث نقاط V وC وD على محيطها. أرسم الخطين VC وVD. لاحظ حتى الزاوية DVC هي زاوية محوطة. ارسم الحط VO ومده بشكل مستقيم ليبتر الدائرة بنقطة E. الزاوية DVC تشكل القوس DC على الدائرة.

أفترض حتى نقطة E هي خارج القوس. نقطة E هي متقابلة مع النقطة V. الزاويتين DVE وEVC هما زاويتين محوطتين أيضا ولكلتيهما ضلع يمر بالمركز. فاذا هي مطابقة للحالة الأولى التي برهناها سلفا. لذلك: