حسبان بمتعددات الحدود

في الرياضيات, تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها الغير محدود بواسطة القوانين التالية:

{\displaystyle \left(\sum _{k=0 ^{n a_{k x^{k \right)'=\sum _{k=0 ^{n ka_{k x^{k-1

و

{\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0 ^{n a_{k x^{k \right)\,dx=\sum _{k=0 ^{n {\frac {a_{k x^{k+1 {k+1 +C\,\!

.

لذلك, تكون مشتقة ${\displaystyle x^{100$

قاعدة القوة

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هوعدد طبيعي, تكون مشتقة

{\displaystyle f(x)=x^{n \!

هي

{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1 \!

, وبالتالي تكون القاعدة هي

{\displaystyle \left(x^{n \right)'=nx^{n-1 .

وقاعدة القوة للتكامل هي

{\displaystyle \int \!x^{n \,dx={\frac {x^{n+1 {n+1 +C

عندماقد يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا إستنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام بإشتقاق هذه المتباينة وإستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

البرهان

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب إستعمال طريقة الإشتقاق كنهاية رياضياتية:

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 {\frac {f(x+h)-f(x) {h .

وعند تعويض ${\displaystyle f(x)=x^{n$ ستكون المعادلة على النحوالتالي

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 {\frac {(x+h)^{n -x^{n {h .

ثم يمكن للمرء التعبير عن ${\displaystyle (x+h)^{n$

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 {\frac {\sum _{i=0 ^{n {{n \choose i x^{i h^{n-i -x^{n {h .

يمكن كتابة الحد ${\displaystyle i=n$ من المجموع في جهة مستقلة للحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 {\frac {\sum _{i=0 ^{n-1 {{n \choose i x^{i h^{n-i +x^{n -x^{n {h .

وبسبب إلغاء قيم الحدود ${\displaystyle x^{n$ ستكون المعادلة

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 {\frac {\sum _{i=0 ^{n-1 {{n \choose i x^{i h^{n-i {h .

ويمكن إخراج قيمة ${\displaystyle h$ من جميع الحدود من المجموع للحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 {\frac {h\sum _{i=0 ^{n-1 {{n \choose i x^{i h^{n-i-1 {h .

وبذلك يمكننا إلغاء قيم ${\displaystyle h$ من المقام والحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0 \sum _{i=0 ^{n-1 {{n \choose i x^{i h^{n-i-1 .

ولإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن ${\displaystyle n-i-1>0$ لكل ${\displaystyle i<n-1$ وتساوي صفر لكل ${\displaystyle i=n-1.$ لذلك نجد قيمة ${\displaystyle h^{0$ فقط عندماقد يكون ${\displaystyle i=n-1$ , وبالتالي تكون المعادلة

{\displaystyle f'(x)={n \choose {n-1 x^{n-1 .

وبإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة

{\displaystyle {n \choose {n-1 ={\frac {n! {(n-1)!\ 1! ={\frac {n\ (n-1)! {(n-1)! =n.

وبالتالي هذه المعادلة

{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1 .\!

تفاضل متعددات الحدود الكيفية

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء إستعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:

{\displaystyle \left(\sum _{r=0 ^{n a_{r x^{r \right)'=\sum _{r=0 ^{n \left(a_{r x^{r \right)'=\sum _{r=0 ^{n a_{r \left(x^{r \right)'=\sum _{r=0 ^{n ra_{r x^{r-1 .

وبإستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وبإستعمال نفس المراحل, سنجد المعادلة على النحوالتالي

{\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0 ^{n a_{k x^{k \right)\,dx=\sum _{k=0 ^{n {\frac {a_{k x^{k+1 {k+1 +c.

تعميم

يمكن للمرء بأن يبرهن بأن قاعدة القوة تكون سليمة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي

{\displaystyle \left(x^{a \right)'=ax^{a-1

عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام حتى قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وبإستعمال هذه الصيغة, مع

{\displaystyle \int \!x^{-1 \,dx=\ln x+c,

سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة الهجريبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة حتى تكون متعددة الحدود.

المراجع

Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.