نفهم حتى الاستطاعة الآنية لعنصر تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle p(t)=v(t)i(t)\,$، وفي حال عنصر يخضع لتيار متناوب، تأخذ علاقة جميع من الفلطية والتيار الشكلين التاليين:

${\displaystyle v(t)=V_{m \sin(\omega t+{\theta _{1 )\,$

${\displaystyle i(t)=I_{m \sin(\omega t+\theta _{2 )\,$

وبالتالي يمكننا حتى نحسب الاستطاعة الآنية لهذا العنصر، فتكون (وباستخدام بعض التحويلات المثلثية!):

${\displaystyle p(t)=I_{m V_{m \sin(\omega t+\theta _{1 )\sin(\omega t+\theta _{2 )={\frac {-1 {2 I_{m V_{m [\cos(2\omega t+\theta _{1 +\theta _{2 )-\cos(\theta _{1 -\theta _{2 )]\,$

أي${\displaystyle p(t)={\frac {1 {2 I_{m V_{m [\cos(\theta _{1 -\theta _{2 )-\cos(2\omega t+\theta _{1 +\theta _{2 )]\,$

الآن يمكننا حساب الاستطاعة الوسطية المستهلكة خلال دور واحد من خلال العلاقة التالية: ${\displaystyle P={\frac {1 {T-0 \int _{0 ^{T {p(t)\{dt \,$

وبالتالي:خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): {\displaystyle P=\frac{1 {T V_{m I_{m [\int _{0 ^{T \cos (\theta _{1 -\theta_{2 )\{dt -\int _{0 ^{T {\cos (2\omega t+\theta _{1 +\theta_{2 )\{dt ] \, التكامل الأول هوتكامل لمقدار ثابت لا يتعلق بالزمن. أما الثاني فهوتكامل لتابع جيبي نبضه ${\displaystyle 2\omega \,$ فهومعدوم، ومنه:

${\displaystyle P={\frac {1 {2T V_{m I_{m [T\times \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )-0]={\frac {1 {2 V_{m I_{m \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )={\frac {1 {\sqrt {2 {\frac {1 {\sqrt {2 V_{m I_{m \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )\,$

ومنه:${\displaystyle {P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos(\theta _{1 -\theta _{2 )=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos \phi \,$

يسمى المقدار${\displaystyle \phi =\theta _{1 -\theta _{2 \,$ بعامل استطاعة الدارة. ويسمى المقدار ${\displaystyle S=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \,$ بالاستطاعة الظاهرية وتقاس بواحدة الفولط آمبير VA.

أما المقدار${\displaystyle Q=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \sin \phi \,$ فهوالاستطاعة التفاعلية، وتقاس بواحدة الفولط آمبير التفاعلية VAR (اختصارا لـ Volt-Ampère-Reactive). ويمكن تمثيل المقادير الثلاث السابقة في مثلث الاستطاعة القائم.

ونلاحظ حتى ${\displaystyle S={\sqrt {P^{2 +Q^{2 \,$

مثال محلول

لتكن لدينا الدارة المبينة بالشكل، وبفرض حتى النبض ${\displaystyle \omega =400{\mathit {rad /s\,$ والقيمة المنتجة للمنبع هي 20V:

1. احسب التيار العقدي ${\displaystyle I_{1 \,$ ثم التيارين العقديين ${\displaystyle I_{2 \,$ و${\displaystyle I_{3 \,$.
2. احسب الاستطاعة المستهلكة في المقاومة ${\displaystyle 2\omega \,$، وفي المقاومة ${\displaystyle 5\omega \,$.
3. احسب الاستطاعة التفاعلية الكلية في الدارة ${\displaystyle Q\,$.
4. احسب عامل الاستطاعة لهذه الدارة، ثم الاستطاعة الكلية المستهلكة فيها.

الحل:

الطلب الأول:. نفهم حتى التيار العقدي ${\displaystyle I_{1 \,$ يعطى بالعلاقة:${\displaystyle I_{1 ={\frac {V {Z_{E \,$ لذلك فإننا سنقوم بحساب الممانعة الكلية للدارة.

لنقم أولا بحساب الممانعة المكافئة لكل من المكثفة والمقاومة ${\displaystyle 5\omega \,$.

${\displaystyle Z_{C =-jX_{C =-j{\frac {1 {\omega C =-j{\frac {1 {400\times 0.2510^{-3 =-j10\Omega \,$

و${\displaystyle Z_{5\Omega =5\Omega \,$

فالممانعة المكافئة هي: ${\displaystyle Z_{1 ={\frac {Z_{5\Omega Z_{C {Z_{5\Omega +Z_{c ={\frac {-50j {5-10j \,$

عندما نضطر إلى تقسيم (أوضرب) عددين عقديين فإننا غالبا لا نلجأ إلى ضرب البسط والمقام بمرافق المقام، بل نقوم بتحويل العددين إلى الشكل المطاور الأسهل نسبيا حيث سنقوم بتقسيم الطويلتين، وطرح الزاويتين فقط.

من أجل تحويل عدد عقدي ${\displaystyle x+jy\,$ إلى الشكل المطاور${\displaystyle A{\angle \theta \,$ نستخدم العلاقات التالية:

للتحويل إلى شكل المطاور:${\displaystyle A={\sqrt {x^{2 +y^{2 \,$ و${\displaystyle \theta =\arctan({\frac {y {x )\,$

للعودة إلى الشكل العقدي التقليدي: ${\displaystyle x=A\cos \theta \,$ و${\displaystyle y=A\sin \theta \,$

إذاً يمكننا الآن حتى نقوم بإعادة كتابة ${\displaystyle Z_{1 \,$ بالشكل:

${\displaystyle Z_{1 ={\frac {50{\angle -90^{o {11.18{\angle -63.43^{o =4.473{\angle -26.57^{o =4-2j\,$

الآن نحسب ممانعة الوشيعة فنجدها: ${\displaystyle Z_{L =jX_{L =j\omega L=(400\times 10\times 10^{-3 )=4j\,$

وبالتالي يمكننا الآن حساب الممانعة الكلية: ${\displaystyle Z_{E =Z_{2\Omega +Z_{L +Z_{1 =2+(4j)+(4-2j)=6+2j=6.32{\angle 18.43^{o \,$

فيكون التيار العقدي ${\displaystyle I_{1 :I_{1 ={\frac {V {Z_{E ={\frac {20{\angle 0^{o {6.32{\angle 18.43^{o =3.165{\angle -18.43^{o =3-j\,$

من أجل حساب التيارين ${\displaystyle I_{2 \,$ و${\displaystyle I_{3 \,$ نستخدم قانون مقسم التيار، فنجد:

${\displaystyle I_{3 =I_{1 {\frac {Z_{2 {Z_{2 +Z_{3 =3.165{\angle -18.43^{o {\frac {5{\angle 0^{o {11.18{\angle -63.43^{o =1.415{\angle 45^{o =1+j\,$

ومن أجل الحصول على التيار ${\displaystyle I_{2 \,$ نطبق قانون كرشوف للتيارات فنجد:

${\displaystyle I_{2 =I_{1 -I_{3 =(3-j)-(1+j)=2-2j=2.828{\angle 45^{o \,$

الطلب الثاني: بما حتى التيار والفلطية متوافقان في مقاومة، ففرق الصفحة بينهما معدوم (راجع علاقة الاستطاعة التي مرت معنا)، فالاستطاعة المستهلكة هي جداء المقاومة في مربع طويلة التيار المنتج:

${\displaystyle P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos(0^{o )=R{I_{\mathit {eff ^{2 \,$

في المقاومة ${\displaystyle 2\omega \,$: ${\displaystyle 2{I_{1 ^{2 =2\times 3.165^{2 \simeq 20W\,$

في المقاومة ${\displaystyle 5\omega \,$: ${\displaystyle 5{I_{3 ^{2 =5\times 2.828^{2 \simeq 40W\,$

الطلب الثالث:

الاستطاعة التفاعلية للمكثفة:${\displaystyle Q_{c =V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \sin -90^{o =X_{c {I_{\mathit {eff ^{2 \sin -90^{o =-10\times 1.415^{2 \simeq -20{\mathit {VAR \,$

الاستطاعة التفاعلية للوشيعة:${\displaystyle Q_{L =X_{L {I_{1 ^{2 \sin(90^{o )=4\times 3.165^{2 \simeq 40{\mathit {VAR \,$

وبالتالي الاستطاعة التفاعلية للدارة: ${\displaystyle Q=Q_{c +Q_{L =20{\mathit {VAR \,$

الطلب الرابع: عامل استطاعة الدارة هو${\displaystyle \cos \phi =\cos(\theta _{1 -\theta _{2 )\,$، أي هوجيب التمام لفرق الطور بين التيار والفلطية الكليين، وبما أن

${\displaystyle Z_{E ={\frac {V {I ={\frac {V{\angle \theta _{1 {I{\angle \theta _{2 =(V/I){\angle (\theta _{1 -\theta _{2 )=6.32{\angle 18.43\,$

فيكون عامل استطاعة الدارة: ${\displaystyle \cos \phi =\cos(18.43^{o )\simeq 0.95\,$

الاستطاعة الكلية المستهلكة في الدارة: ${\displaystyle P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos \phi =20\times 3.165\times 0.95\simeq 60W\,$

وهي تماما مجموع الاستطاعتين المستهلكتين في المقاومتين فقط. فالمكثفة والوشيعة المثاليتان عنصران لا يستهلكان الطاقة.

انتهت المسألة!

الاستطاعة العقدية

ليكن لدينا عنصر فيه تيار متناوب${\displaystyle I=I_{\mathit {eff {\angle \beta \,$ ، والفلطية المطبقة هي${\displaystyle V=V_{\mathit {eff {\angle \alpha \,$ ، فتكون الاستطاعة المستهلكة:

${\displaystyle P=V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff \cos(\alpha -\beta )\,$ وحسب علاقة أويلر :${\displaystyle re^{\mathit {jx =r(\cos x+j\sin x)\,$، فإن الاستطاعة هي القسم الحقيقي للعدد العقدي: ${\displaystyle V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff e^{j(\alpha -\beta ) \,$ أي

${\displaystyle P={\mathit {Real [V_{\mathit {eff I_{\mathit {eff e^{j(\alpha -\beta ) ]={\mathit {Real [(V_{\mathit {eff e^{j\alpha )(I_{\mathit {eff e^{-j\beta )]\,$

ولكن${\displaystyle I_{\mathit {eff e^{-j\beta =I_{\mathit {eff {\angle -\beta \,$ ما إلا المرافق العقدي للتيار I أي: ${\displaystyle I^{M =I_{\mathit {eff e^{-j\beta \,$، لأن مرافق أي عدد عقدي كما نفهم يعطى بالعلاقة: ${\displaystyle (re^{j\theta )^{M =re^{-j\theta \,$. وبالتالي فالاستطاعة المستهلكة هي القسم الحقيقي لجداء الفلطية بالمرافق العقدي للتيار: ${\displaystyle P={\mathit {Real [VI^{M ]\,$