المتغير العشوائي Random variable هومصطلح يستخدم في الرياضيات التصادفية. المتغير العشوائي يرمز إلى دالة رياضية والتي تظهر نتائج تجربة عشوائية معينة. والمتغير العشوائي هومتغير يمكن له حتى يأخذ أي قيمة عشوائية غير محددة سلفا بالتالي يمكن اعتباره النتيجة العددية لإجراء تجربة غير حتمية النتيجة. فعملية دحرجة النرد للحصول على رقم من ضمن المجموعة {1, 2, 3, 4, 5, 6 هي عملية توليد لمتغير عشوائي هوناتج عملية الدحرجة.

المتغير العشوائي يختلف عن غيره من المتغيرات العشوائية بأنه لا يأخذ النتيجة العملية المحتمة للتجربة بل يأخذ احدى احتمالات التجربة العشوائية .

تعرَّف التجربة بأنها أي عملية تؤدي إلى قياس أوملاحظة. فعدد الخريجين من كلية العلوم مثلاً هوقياس كمي، ومن سيفوز بسباق جري هوقياس وصفي، ويمكن دوماً، ردُّ المشاهدات الوصفية إلى مشاهدات كمية بتخصيص عدد لكل نتيجة وصفية وفق نظام معين سابقاً؛ فيسجل مثلاً الرقم (1) إذا فاز أحمد بالسباق والرقم (0) إذا لم يفز أحمد بالسباق. فإذا رمز لعدد الخريجين بـ X ولنتيجة أحمد بسباق الجري بـ Y، فمع نهاية جميع عام، نحصل على قيمة للمتغير X، ومع ختام جميع سباق يشارك فيه أحمد، نحصل على قيمة للمتغير Y. ومن الطبيعي حتى ينطق عن متغير مثل X أوY إنه متغير عشوائي random variable لأن القيم التي يفترضها جميع منهما مرتبطة بتجارب عشوائية random experiments.

تعريف المتغير العشوائي وأنواعه

1ـ تعريف المتغير العشوائي: إذا كان Ω الفضاء عيِّنة لتجربة عشوائية ما، فإن أي دالَّة X تخصص عدداً حقيقياً X(ω) لكل عنصر ω ∈ Ω تدعى متغيراً عشوائياً. فإذا كانت ω عنصراً من Ω وكان X هوالمتغير العشوائي، فإن X(ω) هي قيمة X عند ω، أي:

X(ω) هي القيمة التي يأخذها المتغير العشوائي X عند العنصر ω، وبمعنى آخر فإن X(ω) هوالعدد الحقيقي الذي خصصته الدالة X ليرافق العنصر ω.

وعلى ذلك فإن المتغير العشوائي X على فضاء العيِّنة Ω هوتعبير عن دالة من Ω في مجموعة الأعداد الحقيقية R بحيث حتى الصورة العكسية لكل مجال في R هي حادثة في Ω. وبمعنى آخر إذا كانت A حادثة في Ω، وكانت T هي مجموعة الأعداد الحقيقية التي خصصتها الدالَّة X كصورة للحادثة A، فينطق إذا A هي الصورة العكسية للمجموعة T أي

X-1 (T) = A وفي هذه الحالة ينطق إن: T R ⇔ A Ω وإن P (T) = P (A).

2ـ أنواع المتغيرات العشوائية: تنقسم المتغيرات العشوائية إلى نوعين

أ) المتغير العشوائي المنفصل discrete random variable

ينطق إذا المتغير العشوائي منفصل إذا كان يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة منتهية، أوغير منتهية ولكنها قابلة للعد، أي أنه يأخذ قيماً منفصلة عن بعضها البعض (أي يوجد بينها ثغرات). ويرمز لمجموعة قيم المتغير العشوائي X بالرمز Rx ، وبالتالي تكون Rx من الشكل: Rx = {X1, X2, ..., Xn أومن الشكل Rx = {X1, X2, ..., Xi .

مثال (1): لدى أسرة ثلاثة أطفال، وليكن X المتغير الدال على عدد الذكور لدى هذه الأسرة.

عندئذ تكون عِدَّة فضاء العيِّنة (أي عدد نتائج هذه التجربة) هو: |Ω| = 23= 8

ويكون فضاء العينة (أي مجموعة نتائج هذه التجربة):

Ω = {GGG,GGB,GBG,BGG,GBB,BGB,BBG,BBB

حيث رُمِزَ للأنثى بـ G وللذكر بـ B كما يلي:

وتكون مجموعة قيم المتغير العشوائي X من الشكل: RX={0.1,2,3

وإذا كانت الحادثة [X=2] مثلاً، فإن الصورة العكسية لـ X=2 أي X-1 (2) هي:

X=2] = X-1 (2) = {GBB,BGB,BBG ]

ونلاحظ حتى المتغير يأخذ، عند جميع نقطة عينة من النقاط الثماني التي يتضمنها فضاء العينة لهذه التجربة، قيمة واحدة فقط من هذه القيم الممكنة والجدول التالي يبين ذلك:

ونلاحظ حتى X يمثل دالة عددية معرَّفة على فضاء العينة Ω

حيث X: Ω →{0,1,2,3

X(GGG) = 0 ; X(GGB) = 1; .... ; X(BBG) = 2 ; X(BBB) = 3

مثال (2): إذا كان X متغيراً عشوائياً يشير على الوجه الحاصل من تجربة إلقاء حجر نَرْد متوازن مرة واحدة ، تكون Rx من الشكل: Rx ={1,2,3,4,5,6

ب) المتغير العشوائي المتصل continuous random variable

ينطق إذا المتغير العشوائي متصل إذا كان يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد، بمعنى حتى المتغير يأخذ جميع القيم التي تقع في نطاق تغيُّره، أي Rx تكون من الشكل: Rx ={x:a ≤ x ≤ b; a, b ∈ R

مثال (3): تجربة اختيار نقطة من قرص دائري مركزه مبدأ الإحداثيات ونصف قطره r.

ليكن X المتغير الدال على المسافة بين النقطة المختارة ومبدأ القرص الدائري.

عندئذ تكون RX من الشكل: Rx ={x : 0 ≤ x ≤ r وهذه مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد.

التوزيع الاحتمالي probability distribution

في حالة المتغير العشوائي المنفصل X:قد يكون التوزيع الاحتمالي تعبير عن دالة احتمالية probability function fx (•) تعطي احتمالات قيم X المتنوعة وتعرَّف كالآتي:

f x(x) = f (x) = P[X=x] = P[ω: x(ω) = x]

أي حتى احتمال المتغير العشوائي X عند القيمة x هواحتمال الحادثة التي هي الصورة العكسية للقيمة x. وهذه الدالة تحقق الشرطين الآتيين: (الشكل 1)

وأي دالة تحقق الشرطين السابقين تعتبر دالة احتمالية لمتغير عشوائي.

وتوصف الدالة الاحتمالية بجدول من الشكل التالي:

مثال (4): بالعودة للمثال (1) تكون الدالة الاحتمالية من الشكل:

ويلاحظ أيضاً تحقق الشرطين (ii) و(i) أعلاه.

ويمكن تمثيل الدالة الاحتمالية للمتغير X بالعلاقة:(الشكل2)

حيث تمثل عدد توافيق ثلاثة أشياء مأخوذة x معاً.

مثال (5): بالعودة للمثال (2) تكون الدالة الاحتمالية من الشكل:

وفي حالة المتغير المتصل (المستمر): فإن المتغير X يأخذ عدداً لا نهائياً من القيم، لذلك فإنه لا يمكن حتىقد يكون هناك احتمال موجب مرافق لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي بمعنى أن: p :"cÎRcc:p[X=x]=0. ولكن يمكن حتىقد يكون هناك احتمال مرافق لكل مجال من مجالات المتغير. ويوضح ذلك من خلال دراسة دالة التوزيع التراكمية للمتغير X أواختصاراً (دالة التوزيع).

دالة التوزيع التراكمية cummulative distribution function

يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي لأي متغير عشوائي X بدلالة دالة تسمى دالة التوزيع

التراكمية ويرمز لها بـ (·(Fx أو(·(F وتعرَّف كالآتي: Fx (x) = P[X £ x]n وبالتالي في حالة المتغير العشوائي المنفصل فإنهقد يكون:(الشكل3)

أي تساوي مجموع احتمالات قيم X التي هي أقل من أوتساوي القيمة x. ومنحني هذه الدالة يأخذ صورة منحني الدالة الدَّرَجية، ويتكوَّن من قفزات عند قيم المتغير. ومقدار القفزة عند القيمة u، يساوي احتمال u ، أي حتى القفزة عند u هي f (u) = P[X = u].

مثال (6): بالعودة للمثال (1) وللمثال (4) تكون دالة التوزيع من الشكل:(الشكل3)

مثال (7): بالعودة للمثال (2) وللمثال (5) تكون دالة التوزيع للمتغير X من الشكل:

مثال (8) : بالعودة للأمثلة (1ـ أربعة ـ 6) فإن احتمال الحصول على ذكرين على الأكثر هوp [X £ 2]n فيمكن بالاستفادة من دالة التوزيع والدالة

الاحتمالية حساب ذلك وفق مايلي:(الشكل6)

أما في حالة المتغير المتصل، فإذا كان هناك دالة رياضية (·(Fx فإن:(الشكل7)

إن الدالة f(x) التي يمكن تمثيلها عند القيمة x بمشتق الدالة F(x) أي: تسمى دالة الكثافة الاحتمالية probability density function للمتغير X. ويسمى F(x) دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير X. وتحقق دالة الكثافة الاحتمالية الشرطين التاليين:(الشكل8)

وبالتالي فإن لكل مجال من مجالات X تكون المساحة بين المحور الأفقي ومنحني الدالة فوق هذا المجال مساوية لاحتمال حتى يقع X في هذا المجال أي أن:(الشكل9)

ويكون منحني الدالة Fx (X)n مستمراً بالإطلاق وله أيضاً بعض الخواص يذكر منها:

أ) دالة التوزيع F(x) دالة غير متناسيرة أي :(الشكل10)

ب) F (-¥)=0 ; F (+¥) = 1

ج ) F(x) دالة مستمرة من اليمين أي:(الشكل11)

د) دالة التوزيع F(x) وحيدة لكل متغير عشوائي X.

هـ) إذا كان X متغيراً عشوائياً متصلاً وكانت a < b فإن:

p[α ≤ × ≤b] = F (b) - F (α)n.

و) إذا كان X متغيراً عشوائياً منفصلاً فإن:

p[α ≤ × ≤b] = F (b) - F (α)n

p[α < × ≤b] = F (b) - F (α) + ƒ(α)n

p[α < × <b] = F (b) - F (α) + ƒ(α) + ƒ(b)n

p[α ≤ × <b] = F (b) - F (α) - ƒ(b)n

وبناءً على ما تجاوز يمكن القول إذا أي ظاهرة عشوائية (أي متغير عشوائي) لها توزيع احتمالي يصفها، وهذا التوزيع الاحتمالي يعرَّف بدلالة دالة التوزيع التراكمية (•) F، كما أنه يعرَّف بدلالة الدالة الاحتمالية إذا كان المتغير منفصلاً، أوبدلالة دالة الكثافة الاحتمالية (•) f إذا كان المتغير متصلاً.

خواص المتغيرات العشوائية characteristics of random variables

هناك الكثير من المزايا والخواص تميِّز التوزيعات الاحتمالية، وقد لا تكون المعلومات عن التوزيع الاحتمالي مهمة، إلا أنه قد يحدث المطلوب فهم خواصه وهي مقادير إحصائية تصف وتمثل التوزيع محل الدراسة، فمثلاً لا تكون فهم جميع تفاصيل التوزيع الاحتمالي لأعمار الصمامات الكهربائية التي ينتجها أحد المصانع أمراً مهماً ولكن يكتفى ببعض الخواص التي تميز هذا التوزيع مثل متوسط عمر الصمام.

1) التوقُّع الرياضي أوالقيمة المتسقطة mathematical expectation or the expected value

القيمة المتسقطة للمتغير العشوائي هي مقدار يقيس متوسط القيم المتنوعة التي يأخذها المتغير العشوائي وتعرَّف كالآتي: من أجل X كمتغير عشوائي منفصل يأخذ القيم (x1,x2), x3,...n) باحتمالات n(f (x1),f (x2), f(x3)...)n على الترتيب، فإن القيمة المتسقطة للمتغير أوللتوزيع ويرمز لها بالرمز E(X) أوμ تعطى بالعلاقة:

بشرط حتى يتقارب هذا المجموع تقارباً مطلقاً أي أن:(الشكل13)

ومن أجل X كمتغيرٍ عشوائي متصلٍ كثافته الاحتمالية f (x)قد يكون:(الشكل14)

بشرط حتى يتقارب التكامل تقارباً مطلقاً أي حتىقد يكون:(الشكل15)

وإذا لم يتقارب المجموع أوالتكامل تقارباً مطلقاً فإنه لا يوجد للمتغير قيمة متسقطة أومتوسط.

مثال (9): بالعودة للمثال (1) والمثال (4)قد يكون تسقط X:(الشكل16)

وهذا يعني حتى القيمة 1.5 هي القيمة المتسقطة رياضياً لعدد الذكور لدى الأسرة ، فهي متوسط التوزيع الاحتمالي، والتفسير الفهمي للقيمة 1.5 هي أنها تمثل القيمة المتوسطة لعدد الذكور لدى الأسر التي تمتلك ثلاثة أطفال على المدى الطويل (أي متوسط مجتمع القياسات).

بمعنى آخر لوكُررت التجربة عدداً كبيراً جداً من المرات للأسر التي تمتلك ثلاثة أطفال وسُجلت في جميع مرة عدد الذكور لديها ثم حُسب متوسط هذه الأعداد لكانت النتيجة 1.5.

مثال (10): بالعودة للمثال (2) والمثال (5)قد يكون تسقط X:(الشكل 17)

ملاحظة: يلاحظ حتى التقارب المطلق محقق في الأمثلة الثلاثة أعلاه.

2) القيمة المتسقطة لأي دالة في المتغير العشوائي X “expected value of a function in the random variable X”

إذا كان X متغيراً عشوائياً توزيعه الاحتمالي f(x) وكان Y = g(x) دالة في X فإن Yقد يكون هوالآخر متغيراً عشوائياً وتكون قيمته المتسقطة من الشكل:(الشكل 18)

بشرط حتى يتقارب المجموع والتكامل تقارباً مطلقاً.

مثال (11): بالعودة للمثال (1) وللمثال (4)قد يكون:(الشكل19)

مثال (12): بالعودة للمثال (2) وللمثال (5)قد يكون:(الشكل20)

مثال (13): بالعودة للمثال (10)قد يكون:(الشكل21)

تجدر الملاحظة إلى حتى التسقط الرياضي يتمتع بالخواص الآتية:

أ) إذا كان C مقداراً ثابتاً فإن: E (C) = C

ب) من أجل a,b أعداداً ثابتة فإن:  E (aX + b) = aE (X) +b

ج) من أجل ثوابت عددية C1, C2, C3, ...n وX1, X2, X3, ...n متغيرات عشوائية فإن:(الشكل22)

) التباين (التشتت) variance: وهومن أبرز صفات التوزيعات الاحتمالية ويرمز لها بالرمز V(X) أوsx2 أوs2 ويعرَّف على أنه:(الشكل23)

وهويمثل متوسط مربع انحرافات قيم المتغير العشوائي X عن قيمته المتسقطة وبالتالي:(الشكل24)

) الانحراف المعياري standard deviation

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هوالجذر التربيعي الموجب للتباين ويرمز له بالرمز أوσ أي أن: وهويقيس مقدار تباين أوتشتت أواختلاف قيم المتغير العشوائي بعضها عن بعض.

مثال (14): بالعودة للأمثلة (1 ـ أربعة ـتسعة ـ 11)قد يكون تباين X:(الشكل25)

مثال (15): بالعودة للأمثلة (2 ـخمسة ـعشرة ـ 12)قد يكون تباين X:(الشكل26)

ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:(الشكل27)

مثال (16): بالعودة للمثال (13)قد يكون تباين X:(الشكل28)

ويكون الانحراف المعياري للمتغير X:(الشكل29)

تجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا كان الانحراف المعياري صغيراً فهذا يعني حتى القراءات قريبة من بعضها أي متجانسة ، أما إذا كان كبيراً فهذا يعني حتى قيم المتغير مشتتة أومبعثرة وغير متجانسة.

كما حتى التباين يتمتع بالخواص التالية :

أ) إذا كان C ثابتاً عددياً فإن V(C) = 0

ب) إذا كانت a,b ثوابت عددية فإن: V(aX + b) = aV(X)

ج ) إذا كان Y,X متغيرين عشوائيين مستقلين فإن: V(X+Y)=V(X) +V(Y)

ويمكن تعميم ذلك لأكثر من متغيرين مستقلين.

5) التغاير covariance

يعرَّف التغاير لمتغيرين عشوائيين X,Y بالعلاقة:

COV (X,Y) = E (X- E (X)) (Y- E (Y)) = E (XY) - E (X) . E (Y)

وإذا كان المتغيران Y,X مستقلين عشوائياً فإن COV(X ,Y) = 0

وإذا لم يكن المتغيران Y,X مستقلين فإن:

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV (X,Y)

6) متباينة تشيبشف inequality of Tchebycheff

إذا كان X متغيراً عشوائياً له التسقط μ والانحراف المعياري σ فإن المتباينة تنص على أنه:(الشكل30)

أي حتى المتباينة تعطي حداً راجحاً للاحتمال بغض النظر عن نوع توزيع المتغير X.

مثال (17): بالعودة للأمثلة (2 ـخمسة ـ10 ـ 12 ـ 15) حيث كان:(الشكل31)

فإن متباينة تشيبشف تكون من الشكل:(الشكل33)

مثال (18): بالعودة للأمثلة (13 ـ 16) حيث وجد:(الشكل34)

وإذا حُسبت القيمة العملية للاحتمال:(الشكل35)

انظر أيضاً

المصادر

• الموسوعة العربية

أدب

This article incorporates material from Random variable on PlanetMath, which is licensed under the GFDL.

نطقب:بذرة احصاء واحتمالات