التوزيع الاحتمالي probability distribution، هوتصنيف للصفات أوالقيم التي يأخذها متغير إحصائي (أوأكثر). وغالباً ما يقدم ذلك في جدول مؤلف من عمودين (أوسطرين) أوأكثر. يظهر العمود الأول الصفات أوالقيم المتنوعة التي تحددها طبيعة الظاهرة المدروسة، ويظهر العمود الثاني تكرار تلك الصفة أوالقيمة، وهوعدد عناصر العينة المدروسة اللقاءة لتلك الصفة أوالقيمة. ويمكن حتى يرافق هذا الجدول أشكال بيانية تمثله وتزيده وضوحاً، ففي أي دراسة إحصائية نتعرض للقاءة بيانات عددية تمثل قيماً لمتغيرات طبية، اجتماعية، اقتصادية، حيوية أوما شابه ذلك. وتختلف كيفية تناول هذه البيانات إحصائياً باختلاف تلك المتغيرات، ويمكن تقسيم هذه المتغيرات إلى متغيرات وصفية أونوعية، ومتغيرات رتبية ومتغيرات كمية عددية.

مقدمة

يحددالتوزيع الاحتمالي جميع قيمة ممكنة لمتغير عشوائي (عندماقد يكون المتغير متبتراً) أواحتمال القيمة الواقعة ضمن مجال معين (عندماقد يكون المتغير مستمراً). وبعبارة أخرى، فإن التوزيع الاحتمالي هوقياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بورل على مجموعة الأعداد الحقيقية.

التوزيع الإحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هوالقياس الاحتمالي، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموگروف .

كل متغير عشوائي ينشأ عنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير . فإذا كان المتغير X متغيرا عشوائيا فإن التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال [a, b] احتمالا : بمعنى حتى احتمال حتى يأخذ المتغير X قيمة ضمن المجال هي : Pr[a ≤ X ≤ b] .

يمكن وصف التوزيع الاحتمالي للمتغير عن طريق تابع التوزيع التراكمي التي تعهد كما يلي :

${\displaystyle F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]$

نقول عن توزيع احتمالي أنه متبتر إذا كان تابع التوزيع التراكمي له مؤلفاً من تسلسل قفزات متناهية، مما يعني أنه يعود لمتغير عشوائي متبتر، وهوبالتعريف متغير يمكنه حتى يأخذ فقط قيما من مجموعة محددة منتهية وقابلة للعد.

ونقول عن التوزيع الاحتمالي أنه مستمر إذا كان تابع التوزيع التراكمي له مستمراً أي أنه يعود لمتغير عشوائي احتمال أخذه لقيمة محددة معينة معدوما أي : Pr[ X = x ] = 0 أيا كانت x من مجموعة الأعداد الحقيقية، في مثل هذه الحالة لا وجود لاحتمال غير معدوم إلا من أجل مجال ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية اما ان يأخذ المتغير قيمة محددة فهوأمر عديم الاحتمال .

هذه التوزيعات المستمرة المطلقة يمكن التعبير عنها بوساطة: تابع الكثاقة الاحتمالية : وهوتعبير عن دالة قابلة للتكامل بطريقة ليبزگو، موجبة حتما وفهم على مجموعة الأعداد الحقيقية :

${\displaystyle \Pr \left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a ^{b f(x)\,dx$

المصطلح

المصطلحات الرئيسية

التوزيع الاحتمالي المنفصل

${\displaystyle \sum _{u \Pr(X=u)=1$

الكثافة التراكمية

اعادة تمثيل وظيفة دلتا

اعادة تمثيل وظيفة المؤئر

For a discrete random variable X, let u₀, u₁, ... be the values it can take with non-zero probability. Denote

${\displaystyle \Omega _{i =\{\omega :X(\omega )=u_{i \ ,\,i=0,1,2,\dots$

These are disjoint sets, and by formula (1)

${\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{i \Omega _{i \right)=\sum _{i \Pr(\Omega _{i )=\sum _{i \Pr(X=u_{i )=1.$

${\displaystyle X=\sum _{i u_{i 1_{\Omega _{i$

المتغيرات الوصفية

المتغيرات الوصفية هي متغيرات لا يمكن قياس مفرداتها عددياً كالمتغيرات الدالة على لون العيون أومهنة المريض أوجنسية الطالب، ولكن يمكننا ترميز هذه الصفات بأعداد أوأحرف تدل عليها.

المتغيرات الرتبية

المتغيرات الرتبية ranked variables، فهي متغيرات وصفية أيضاً، ولكن تأخذ صفات قابلة للترتيب مثل المتغير الإحصائي الدال على التقديرات النهائية لمجموعة من خريجي كلية ما (مقبول، جيد، جيد جداً).

- هوامش:

• التكرار النسبي لتقدير يساوي تكراره مقسوماً على مجموع التكرارات.
  • التكرار التراكمي لتقدير يساوي عدد عناصر العينة الذين لهم ذلك التقدير على الأكثر.
    • التكرار التراكمي النسبي لتقدير يساوي تكراره التراكمي مقسوماً على مجموع التكرارات.

وإما عن طريق استعمال أدوات القياس، كوزن عينة من أطفال حديثي الولادة في أحد المشافي.

ويبين الجدول السابق حتى أصغر قراءة للأوزان فيه 2.85 وأكبر قراءة فيه للأوزان 5.43 والفرق بينهما هو2.58. ويسمى هذا الفرق مدى التوزيع. ولما كانت معظم القيم غير مكررة وعددها كبير نسبياً، فيمكن وصف هذا البيان الإحصائي بشكل أبسط من خلال تقسيم المجال الذي يحوي أصغر قراءة وأكبر قراءة للأوزان، على سبيل المثال المجال [2.6] بمجالات جزئية منفصلة ومتعاقبة، كما في الجدول التالي، وحيث رُمز لكل مجال ببدايته.

• ملاحظة: التكرار النسبي بالمئة أوالتكرار النسبي المئوي لقيمة أولفئة يساوي تكرارها النسبي مضروباً بـ 100.

يسمى جميع مجال جزئي ورد ذكره فئة بدايتها بداية المجال الجزئي الموافق لها ونهايتها نهايته وطولها يساوي الفرق بين طرفي المجال الموافق وهوهنا ثابت يساوي 0.5، ويسمى منتصف المجال الجزئي مركزاً للفئة الموافقة له، فمركز الفئة الثانية . وقد يشار إلى الفئة بذكر بدايتها أونهايتها أوبذكرهما معاً أوبتحديد مركزها.

ويسمى مجموع التكرارات للفئات السابقة لفئة، مضافاً إليها تكرار تلك الفئة بالتكرار المتجمع الصاعد لهذه الفئة، أوالتكرار التراكمي (المباشر) لها.

ويسمى مجموع التكرارات للفئات اللاحقة لفئة، مضافاً إليها تكرار تلك الفئة بالتكرار المتجمع الهابط لهذه الفئة، أوالتكرار التراكمي العكسي لها.

يسمى التكرار التراكمي لفئة مقسوماً على مجموع التكرارات، بالتكرار التراكمي النسبي لهذه الفئة.

ويسمى التكرار التراكمي العكسي لفئة مقسوماً على مجموع التكرارات بالتكرار التراكمي العكسي النسبي لهذه الفئة.

• ملاحظة: يشار إلى أنه ليس من الضروري حتى تكون أطوال الفئات في جدول توزيع إحصائي متساوية، ولعل الجدول التالي يوضح ذلك.

• ملاحظة: هنا طول الفئة الأولى 5-1=4 أما طول الفئة الأخيرة فهوغير محدد (65 فما فوق).

التوزيع الاحتمالي المستمر

${\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a ^{b f(x)\,dx$

${\displaystyle F(x)=\mu (-\infty ,x]=\int _{-\infty ^{x f(t)\,dt.$

التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العددية العشوائية

إن تفحص عدد كبير من أشكال التوزيعات الإحصائية أومدرجاتها التكرارية، يظهر حتى معظمها يميل إلى التجمع في منطقة ما، وينطق في مثل هذه الحالة إذا قيم المتغير المشاهدة تظهر نوعاً من النزوع أوالميل لكونها أكثر عدداً في منطقة خاصة، غالباً ما تكون مركز التوزيع. وتتوزع القيم المشاهدة المتبقية حول هذه المنطقة (المركز) ممتدة يمنة ويسرة على جانبيها. إذا هذين الأمرين يمكن حتى يميزا التوزيع عددياً، ويعطيان خلاصة سهلة من جهة وتفيدان من جهة أخرى في مقارنة هذا التوزيع مع توزيع آخر من الطبيعة نفسها. وثمة عدة معايير أومقاييس عددية مميزة للتوزيعات الإحصائية أهمها مقاييس النزعة المركزية وأشهرها المتوسط الحسابي ومقاييس التفاوت وأشهرها المدى والتشتت والانحراف المعياري، إذ يعرّف المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم بأنه حاصل قسمة مجموع تلك القيم على عددها. أما التشتت فيساوي حاصل قسمة مجموع مربعات انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي على عددها، أما الانحراف المعياري فهوالجذر التربيعي للتشتت. فإذا أُخذت مجموعة الأوزان الموجودة في العمود الأيسر من الجدول (4) والتي عددهاستة فسيكون متوسطها الحسابي يساوي تقريباً 2.99 وسيكون مداها وهوالفرق بين أكبر قراءة للوزن وأصغر قراءة هو2.85-3.10 = 0.25 أما انحرافها المعياري فإنه يساوي تقريباً 0.11. ويستحسن حتىقد يكون أي مقياس من المقاييس السابقة معهداً بصورة موضوعية ومستقلة عن المشاهد، ولا يتأثر كثيراً بالقيم المتطرفة أوالشاذة، وكذلك لا يتأثر كثيراً باختلاف العينات ذات الحجم الواحد.

التوزيعات الإحصائية لأكثر من متغير

إذا درست معاً صفتان متغيرتان (أوأكثر) لعينة من أفراد المجتمع، فيُمثل التوزيع الإحصائي المشهجر لهما بجدول ذي مدخلين، كما في الجدول التالي.

يمكن حتى نلاحظ من الجدولسبعة وجود توزيعين «هامشيين»، الأول يتعلق بمتغير التدخين والذي يمثله العمودان الثاني والثالث في الجدول السابق، والثاني يتعلق بلون العينين والذي تمثله السطور الثلاثة الثاني والثالث والرابع في الجدول السابق. في مثل هذه الحالات يهتم الإحصائي بالبحث عن وجود ارتباط أوعلاقة أوعامل كموني بين الصفتين المدروستين، كالعلاقة بين التدخين ووجود سقم السرطان، وكذلك العلاقة بين استهلك الكحول ووجود سقم السرطان.

بعض الخصائص

تعريف كولموگروڤ

جيل العدد العشوائي

التطبيقات

توزيعات احتمالية شائعة

توزيعات احتمالية متبترة

• توزيع برنولي
• التوزيع الثنائي
• توزيع بواسون
• توزيع هندسي
• توزيع فوق هندسي
• توزيع ثنائي سالب

توزيعات احتمالية مستمرة

• التوزيع الطبيعي
• توزيع ستيودنت
• توزيع مكسويل-بولتزمان
• توزيع بولتزمان
• توزيع بوز-اينشتاين
• توزيع كاي
• توزيع كاي مربع
• توزيع كاي مربع المعكوس

انظر أيضاً

• Moment-generating function
• Copula (statistics)
• Histogram
• Likelihood function
• قائمة موضوعات الاحصاء
• Riemann–Stieltjes integral application to probability theory

المصادر

• B. S. Everitt: The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press, Cambridge (3rd edition, 2006). ISBN 0-521-69027-7
• Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, ISBN 0-387-31073-8

وصلات خارجية

مشاع الفهم فيه ميديا متعلقة بموضوع Probability distribution.