التفاضل والتكامل

حساب التفاضل والتكامل (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يفهم النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات اللانهائية، وهوفهم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل فهم التفاضل والتكامل في الكثير من التطبيقات في الهندسة والعلوم المتنوعة حيث كثيراً ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز فهم الجبر عن حلها بسهولة،وعادة مايدرس فهم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات، ومن الموضوعات الرئيسية في هذا الفهم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

وينقسم إلى هذا الفهم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعهد بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفى بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فيه الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المتنوعة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحي والتفاضل والتكامل العلائقي والتفاضل والتكامل المؤكد.

التاريخ

إسحاق نيوتن طور استخدام التفاضل والتكامل في كتابه قوانين الحركة والجاذبية.

گوتفريد لايبنتز كان أول من نشر نتائجه حول تطوير التفاضل والتكامل.

Maria Gaetana Agnesi

التفاضل والتكامل ويطلق عليه أحيانا فهم الحسبان. ومع حتى اصول حسابِ التكامل تَعتبرُ قديمة جدا إلى ما قبل ظهورها في لغة يُونانِيَّة قدِيمَة، فهناك مرشد حتى المصريون القدماء لَرُبَما كانوا على فهم بمثل هذه الفهمِ أيضاً. (انظر ورق بردي موسكوالرياضي. ) يعتبر مع طريقة ، التي جَعلَت من الممكن حِساب المساحات وحجومِ المناطقِ والمواد الصلبةِ. طوّرَ أرخميدس هذه الطريقةِ أبعد من ذلك ، كما اخترع طرقا أيضاً التي تَشْبهُ المفاهيمَ المعاصرةَ.

عالم رياضيات هندي، باسكارا (1114-1185)، منحَ مثالَ على ما يدعى الآن "معامل تفاضلي" والفكرة الأساسية التي تعهد الآن بنظرية رول ". في القرن الرابع عشر قام عالم رياضيات هندي مادافا سويّة مع فهماءِ الرياضيات الآخرينِ مدرسة كيرالا بانشاء طرق رئيسيةَ ادت إلى حساب التفاضل والتكاملِ الذي لَمْ يظهر من حديث في أي مكان في العالم حتى القرن السابع عشرِ مِن قِبل نيوتن ولايبتز. لايبنتز ونيوتن هما مخترعي حساب التفاضل والتكاملِ ، بشكل رئيسي لإكتشافاتِهم المنفصلةِ للنظريةِ الأساسيةِ لحساب التفاضل والتكاملِ والعملِ على الترقيمِ.

لقد كَانَ هناك نِقاشُ كبيرُ حول اسهام نيوتن أَولايبنتز في أولوية اكتشاف المفاهيمِ المهمةِ لحساب التفاضل والتكاملِ.

الإسهام الثاني لتطويرِ حساب التفاضل والتكاملِ ييعزى إلى باروو، ديكارت، دي فيرما، هايغنس، ووالس. اضافة لعالم رياضيات ياباني، كوا سيكي، الذي عاشَ في نفس الوقت مع لايبنتز ونيوتن وأسهبَ في بعض المبادئِ الأساسيةِ أيضاً مِنْ حسابِ التكامل، مع ذلك هذا لَمْ يُعْرَفُ في الغربِ في ذلك الوقت، ولم يكن لذيه عِنْدَهُ إتصالُ مَع الفهماءِ الغربيينِ.

النهايات

حساب التفاضل والتكامل. ترجمة محمود بن أحمد. المخطة البولاقية، مصر، 1916. لقراءة الكتاب، اضغط على الصورة.

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.

بفرض حتى الدالة ${\displaystyle f(x)\,$ هي دالة حقيقية وأن ${\displaystyle c\,$ عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

{\displaystyle \lim _{x\to c f(x)=L

أي حتى الدالة ${\displaystyle f(x)\,$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من ${\displaystyle L\,$ عندما تقترب ${\displaystyle x\,$ من العدد ${\displaystyle c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية ${\displaystyle f(x)\,$ , عندما ${\displaystyle x\,$ تؤول إلى ${\displaystyle c\,$ , هي ${\displaystyle L\,$ ).

التفاضل والاشتقاق

Tangent line at (x, f(x)). The derivative f′(x) of a curve at a point is the slope (rise over run) of the line tangent to that curve at that point.

يَقِيسُ الإشتقاقُ حسّاسيةَ متغيّرِ تابع ( دالة ) بالنسبة إلى التغير في المتغيّرِ المستقل. أي تلميح الصيغةُ:

سرعته (إشتقاق الموضع بالنسبة للزمن) في سيارة تَصِفُ التغيرَ في المسقطِ نسبة إلى التغيرَ بمرور الزمن. يجب حتى نتذكر أيضا حتى السرعة نفسها قَدْ تَتغيّرُ في حالة الحركات المتسارعة ؛ يَتعاملُ حساب التفاضل والتكاملُ مع هذه الحالةِ الأكثر تعقيداً لكن الطبيعيةِ والمألوفةِ.

يُقرّرُ حسابُ التفاضل سرعة آنية ، بأي معيّنة مُعطية لحظة بمرور الوقت، ليس فقط سرعة متوسطة أثناء فترة مِنْ الوقتِ. سرعة الصيغةَ = مسافة / قدّمَ وقتُ إلى a لحظة وحيدة خارجُ القسمة بلا معنى "صفر منقسمة بحلول الصفر ". هذا مُتَجَنّبُ، على أية حال، لأن مسافةَ خارجَ القسمة / وقت لَمْ يُستَعملْ لa لحظة وحيدة (كما في a ما زالَتْ صورة)، لكن لفتراتِ الوقتِ الذي قصيرة جداً.

يُجيبُ الإشتقاقُ على السؤالِ: عندما يقارب الفترة الزمنية الصفر فما هي قيمة السرعة الوسطية المحسوبة عندئذ ،يا ترى؟ .

بشكل رسمي أكثر، يُعرّفُ حسابَ تفاضل النسبةَ الآنيةَ للتغيرِ ( إشتقاق ) من اجل دالة رياضية ل قيمة، إلى تغير المتغير المستقل لهذه الدالة.

إشتقاق دالة يَعطي معلومات حول القِطَعِ الصغيرةِ مِنْ مخططها البياني. فهوعلى علاقةُ مباشرة بإيجاد حدود عليا وحدود دنيا لدالة ؛ لأن في تلك النقاطِ يكون الرسم البياني معدوم التغير (وبمعنى آخر: إنّ ميل الرسم البياني في تلك النقاط صفر). التطبيق الآخر لحسابِ التفاضل هي طريقة نيوتن، وهي خوارزمية لإيجاد جذور دالة رياضية بتَقريب الدالة مِن قِبل مماساتها .

يتم اشتقاق التفاضل للدالة ${\displaystyle f(x)\,$ من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

{\displaystyle f'(x)={\frac {dy {dx =\lim _{\Delta x\to 0 {\frac {f(x+\Delta x)-f(x) {\Delta x

مشتفة الثابت :

{\displaystyle f(x)=a\,

عندما a هوعدد ثابت اذن

{\displaystyle f'(x)=0\,

مشتفة الدوال الاسية:

{\displaystyle f(x)=x^{r ,\,

اذا كان r عدد حقيقي اذن:

{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1 ,\,

مثال على ذلك: ${\displaystyle f(x)=x^{1/4$ ,

{\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4 ,\,

مشتفةالدوال الأسيه واللوغاريتمية :

{\displaystyle {\frac {d {dx e^{x =e^{x .

{\displaystyle {\frac {d {dx a^{x =\ln(a)a^{x .

{\displaystyle {\frac {d {dx \ln(x)={\frac {1 {x ,\qquad x>0.

{\displaystyle {\frac {d {dx \log _{a (x)={\frac {1 {x\ln(a) .

مشتفةالدوال المثلثيه:

{\displaystyle {\frac {d {dx \sin(x)=\cos(x).

{\displaystyle {\frac {d {dx \cos(x)=-\sin(x).

{\displaystyle {\frac {d {dx \tan(x)=\sec ^{2 (x)={\frac {1 {\cos ^{2 (x) =1+\tan ^{2 (x).

مشتقة دوال المثلثات العكسية:

{\displaystyle {\frac {d {dx \arcsin(x)={\frac {1 {\sqrt {1-x^{2 .

{\displaystyle {\frac {d {dx \arccos(x)=-{\frac {1 {\sqrt {1-x^{2 .

{\displaystyle {\frac {d {dx \arctan(x)={\frac {1 {1+x^{2 .

التكامل

Constant Velocity

Integration can be thought of as measuring the area under a curve, defined by f(x), between two points (here a and b).

في فهم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل الغير محدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل الغير محدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسي

يعطى التكامل الغير محدود لتابع ${\displaystyle f(x)\,$ رياضي بالعلاقة:

{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C

حيث

{\displaystyle F'\!(x)={\frac {d {dx F(x)=f(x)

التكامل المحدود

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

{\displaystyle \int _{a ^{b f(x)\,dx

تطبيقات

The logarithmic spiral of the Nautilus shell is a classical image used to depict the growth and change related to calculus

لفهم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة, الكيمياء, الهندسة, الاقتصاد, الحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والادبية. هنا بعض الامثلة:

حساب اطوال المنحنيات, المساحات, والحجوم.
حساب مركز الثقل, عزم القصور الذاتي, كمية التحرك, العجلة, السرعة, الإزاحة, الشغل, الطاقة.
حساب التوزيعات والاحتمالات المنتظمة كاحتمالية فيرمي في أشباه الموصلات, انتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.
حل المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها في الأنظمة الخطية مثل البندول, دوائر الرنين الكهربائية, وأنظمة التحكم الكهروميكانيكية.
اشتقاق الكثير من المعادلات الفيزيائية الحديثة والتيقد يكون من الصعب اجرائها تجريبيا.
حساب الثوابت الرياضية إلى درجات عالية من الدقة مثل قيمة ثابت الدائرة ${\displaystyle \pi =3.141592653....\,$

انظر أيضاً

قوائم

قائمة موضوعات التفاضل والتكامل
List of derivatives and integrals in alternative calculi
List of differentiation identities
قائمة منشورات التفاضل والتكامل
Table of integrals

موضوعات أخرى متعلقة

Calculus of finite differences
Calculus with polynomials
Complex analysis
Differential equation
Differential geometry
Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
Fourier series
Integral equation
Mathematical analysis
Multivariable calculus
Non-classical analysis
Non-standard analysis
Non-standard calculus
Precalculus (التعليم الرياضيات)
Product integral
Stochastic calculus
Taylor series

المصادر

الهوامش

خط

Larson, Ron, Bruce H. Edwards (2010). Calculus, 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
Salas, Saturnino L.; Hille, Einar; Etgen, Garret J. (2006). Calculus: One and Several Variables (10th ed.). Wiley. ISBN .
Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), Calculus, 11th ed., Addison-Wesley. ISBN 0-321-48987-X

مصادر أخرى

قراءات إضافية

Boyer, Carl Benjamin (1949). . Hafner. Dover edition 1959, ISBN 0-486-60509-4
Courant, Richard ISBN 978-3-540-65058-4 Introduction to calculus and analysis 1.
Edmund Landau. ISBN 0-8218-2830-4 Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society.
Robert A. Adams. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.
Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
John Lane Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1–46.
Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004.
Cliff Pickover. (2003). ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
Michael Spivak. (September 1994). ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
Tom M. Apostol. (1967). ISBN 978-0-471-00005-1 Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
Tom M. Apostol. (1969). ISBN 978-0-471-00007-5 Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998). ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
Thomas/Finney. (1996). ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
Howard Anton,Irl Bivens,Stephen Davis:"Calculus",John Willey and Sons Pte. Ltd.,2002.ISBN 978-81-265-1259-1

خط أونلاين

Boelkins, M. (2012). "Active Calculus: a free, open text". Retrieved 1 Feb 2013 from http://gvsu.edu/s/km
Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrievedستة May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrievedستة May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus" Retrievedستة May 2007 from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
Keisler, H. J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrievedستة May 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved 17 March 2009 from http://synechism.org/drupal/de2de/
Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa. Retrievedستة May 2007 from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrievedستة May 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
Smith, William V. (2001). "The Calculus" Retrieved أربعة July 2008 [1] (HTML only).

وصلات خارجية

Eric W. Weisstein, Calculus at MathWorld.
نطقب:PlanetMath
Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
Calculus on In Our Time at the BBC. (listen now)
Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
COW: Calculus on the Web at Temple University – contains resources ranging from pre-calculus and associated algebra
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
Online Integrator (WebMathematica) from Wolfram Research
The Role of Calculus in College Mathematics from ERICDigests.org
OpenCourseWare Calculus from the Massachusetts Institute of Technology
Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
Calculus for Beginners and Artists by Daniel Kleitman, MIT
Calculus Problems and Solutions by D. A. Kouba
Donald Allen's notes on calculus
Calculus training materials at imomath.com
(إنگليزية) (بالعربية) The Excursion of Calculus, 1772

نطقب:Integral نطقب:Infinitesimals

الحسبان
المبرهنة الأساسية نهايات الدوال الاستمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول
حسبان تفاضلي تعريفات مشتقة Differential (infinitesimal) Differential of a function Generalizations of the derivative مفاهيم Notation for differentiation المشتقة الثانية المشتقة الثالثة Change of variables Implicit differentiation Related rates مبرهنة تايلور القواعد والهويات Sums Products Chain rule Powers Quotients Faà di Bruno's formula
حسبان تكاملي Lists of integrals تعريفات Antiderivative Integral Improper integral Riemann integral Lebesgue integration Contour integral التكامل بواسطة الأجزاء الأقراص cylindrical shells substitution trigonometric substitution partial fractions changing order reduction formulae
المتسلسلات هندسية Arithmetico-geometric Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (Term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
حسبان المتجهات Gradient Divergence Curl Laplacian Gradient theorem Green's theorem مبرهنة ستوكس Divergence theorem Directional derivative
حسبان متعدد المتغيرات Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric تعريفات Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian
حسبان متخصص حسبان التغيرات كسري Malliavin Stochastic