كسيريات

مجموعة ماندلبروت, التي سميت على اسم مكتشفها , هي أبرز مثال عن البنى الكسيرية

تدرس الهندسة الكسيرية أوالهندسة الفركتلية Fractal Geometry البنى الهندسية المؤلفة من ( كسيريات ) وهومجموع كسيرية Fractals التي يمكن تعريفها بانه جزء هندسي صغير جدا غير منتظم ذوأبعاد لامتناهية بالصغر , يمكن حتى يتألف من أجزاء متشابهة مؤلفة بدورها من أجزاء متشابهة مماثلة للجزء الأم .

الكسيرية إذا يمكن تعريفها على أنها كائن هندسي خشن غير منتظم على كافة المستويات , ويمكن تمثيلها بعملية كسر شيء ما إلى أجزاء أصغر لكن هذه الأجزاء تشابه الجسم الأصلي . تحمل الكسيرية في طياتها ملامح مفهوم اللانهاية وتتميز بخاصية التشابه الذاتي أي حتى مكوناتها مماثلة للكسيرية الأم مهما كانت درجة التكبير . غالبا ما يتم تشكيل الأجسام الكسيرية عن طريق عمليات اوخوارزميات متكررة : مثل العمليات التراجعية recursive أوالتكرارية iterative .

مصطلح كسيرية fractal تمت صياغته من قبل بينويت ماندلبروت , من اللاتينية fractus بمعنى مكسور "broken". قبل هذا المصطلح كان الاسم الشائع لهذه البنى هوندف ثلج كوخ Koch snowflake . تقوم الهندسة الكسيرية عادة بدراسة البنى المؤلفة من كسيريات وتصف الكثير من الأوضاع والبنى التي لا يمكن تفسيرها أودراستها بالهندسة الرياضية الكلاسيكية, إضافة لذلك تمتلك الهندسة الكسيرية تطبيقات عديدة في العلوم والتكنولوجيا والفنون الحاسوبية .

الكسيرية

الكسيرية أوالفركتل كائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على جميع المقاييس، ولهذا يظهر في جوهره وكأنه 'مكسور' . ببساطة، يمكن تعريف الفركتلات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، جميع منها يظهر مماثلاً للأصل. تحتوي الفركتلات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على جميع المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في معظم الحالات، يمكن توليد الفركتل من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أوتكراري. تمت صياغة مصطلح الفركتل fractal عام 1975 من قبل بينويت ماندلبروت، وذلك انطلاقاً من الحدثة اللاتينية fractus والتي 'مكسور'، قبل حتى يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندف ثلج كوخ مثلاً) هوالمنحني الغريب monster curve.

تمت دراسة الكثير من أنواع الكسيريات (الفركتلات) على أنها كائنات رياضية ، تشكل الهندسة الفركتلية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الفركتلات، تصف الهندسة الفركتلية أيضاً الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً، إذا تتبع الجذور المفاهيمية للفركتلات يقودنا إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.FFF

تاريخ الكسيريات

إن ندفة ثلج كوخ هي اجتماع عدد لانهائي من الأشكال، حدود هذه الأشكال مثلثية، لدى إضافة مثلث ناقص الضلع في جميع مرة (في تكرار ما) يتضخم محيط الشكل حتى يسعى في نهاية الأمر للانهاية عبر عدد معين من التكرارات. إذا طول محيط ندفة ثلج كوخ لا نهائي في حين حتى الحيز الذي تشغله هذه الندفة نهائي

إسهامات التحليل الكلاسيكي

لقد اكتشفت الأغراض المسماة حالياً فركتلات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسيمة عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوف ليبنز الذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض، عام 1872، أوجد كارل فايرستراس مثالاُ لدالة ذات خاصة غريبة، ذلك أنها تستمر في جميع مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إذا مخطط هذه الدالة يدعى حالياً فركتل، عام 1904، اختلف هيلغي فان كوخ مع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذومضمون هندسي أكثر لدالة مماثلة تدعى حالياً ندفة ثلج كوخ. إذا فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبل باول بيير ليفي والذي شرح عام 1938 في ورقة بحثه (السطوح والمنحنيات المستوية أوالفراغية التي تشكل أجزاءً مماثلة للأصل) منحنى فركتلي حديث يدعى فركتل ليفي. كما قدم جورج كانتور أمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعات كانتور هذه تصنف حالياً على أنها فركتلات. تمت دراسة التوابع التكرارية في المستويات المعقدة في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبل هنري بوينكاري، فيليكس كلاين، بيير فاتووجاستن جوليا، لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة حالياً في ذلك الوقت، حرم أولئك الأشخاص من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.

مفاهيم لتوضيح مجموعة الكسيريات

في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الياضيون ككونسستانتين كاراثيودوري وفيليكس هاوسدورف إلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد بحيث يتضمن قيماً غير سليمة، كانت هذه المستوى جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إذا تعريف بعد هاوسدروف ذوطبيعة هندسية، ولوأنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عمل بيزيكوفيتش في هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.

إسهامات ماندلبروت في الستينيات

عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثل (كم طول ساحل بريطانيا،يا ترى؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الفركتلي)، وقد بنى عمله على الأعمال السابقة للويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت أنها لا مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وبشكل كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت حدثة كسيرية او'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق حدثة فركتل من الحدثة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو'غير نظامي'، وليس من حدثة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع الفهم حتى هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة أيضاً من حدثة fractus اللاتينية. لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقول الديناميكية اللاخطية ، نظرية الشواش (فهماً حتى البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للحدثة) والتعقيد. عملى سبيل المثال، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل فركتلي حتى الحدود بين الحلول المتنوعة هي ذات طبيعة فركتلية، كما أظهرت حتى الحلوبحد ذاتها هي جواذب غريبة. تستخدم الهندسة الفركتلية أيضاً في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نموالأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك. وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظريات غاوص ، غرين وستوكس.

البعد الكسيري لحد ندفة ثلج كوخ

إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من المراحل L هوالجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك حتى L لامتناهية في الصغر، إذا هذا غير مقبول، فكما حتى ندف ثلج كوخ المتنوعة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هوبالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدة المتر مرفوعة إلى قوة على الشكل m². وبالتالي: 4N(L/3)^x = NL^x ، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول المستوى لثلاثة أمثال يحتاج أربعة أمثال عدد المراحل، إذا حل المعادلة السابقة يعطي x = (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m^1.26186,

تعاريف

لعل أكثر خواص الكسيريات (الفركتلات) إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إذا هذا يعني حتى الفركتلات تنحوباتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المتنوعة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الفركتلات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعهد مجموعات كهذه تعاودياً. إن أي شكل إقليدي كالدائرة على سبيل المثال، يظهر أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المحال التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أوخط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الفركتلات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المحال اعتمادها لغياب التقييس، في حين حتى زيادة تكبير الفركتلات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً. مثلما تظهر الكثير من الصفات المميزة الخاصة بالفركتلات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عهد ماندلبروت الفركتل على أنه "مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي". فمن أجل شكل فركتلي ذوتشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلى بعد مينكوفسكي بوليجاند .

من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات (الفركتلات):

لا يوجد تعريف دقيق لعبارة "شديد اللانظامية".
لا يوجد تعريف دقيق للـ "بعد".
توجد الكثير من الطرق التي يمكن من خلالها تعريف كائنات ذات تشابه ذاتي.
ليست جميع الفركتلات فهم بشكل تعاودي.

أصناف الكسيريات

حتى لدى تكبير مجموعة ماندلبروت لألفي ضعف، تظهر تفاصيل جديدة تكون صوراً مماثلة للصورة الأصلية

يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية . تصنف هذه المجموعات الفركتلات اعتماداً على طرق توليدها أوتعريفها:

أنظمة الوظائف التكرارية — تحتوي هذه المجموعة على قاعدة استبدال هندسي واضحة لكل فركتل أمثلة عليها. مجموعة كانتور,

سجادة سربنسكي, حشية سربنسكي, منحني بينو, ندفة ثلج كوخ, منحني التنين هارتر هايواي, المربع تي, اسفنجة مينجر .

كسيريات الانفلات الوقتي — تعهد الفركتلات في هذه المجموعة عبر علاقة تكرارية من أجل جميع نقطة في الفراغ (كما في المستويات المعقدة) أمثلة على ذلك مجموعة ماندلبروت and the فركتل ليابونوف.
الكسيريات العشوائية تولد من خلال إجراءات مختارة بشكل عشوائي بدلاً من حتى تكون محددة، أمثلة على ذلكالمناظر الفركتلية ورحلة ليفي.

يمكن تصنيف الكسيريات أيضاً اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:

تشابه ذاتي متطابق — يعد أقوى أنواع التشابه الذاتي، تبدوالفركتلات ذاتها على أي مقياس تكبير، إذا الكسيريات الفهم باستخدام أنظمة التوابع التكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي متطابق.
تشابه ذاتي ظاهري — وهونمط غير محكم من التشابه الذاتي، تبدوالكسيريات متطابقة إلى حد ما (ولكن ليس تماماً) على مقاييس تكبير مختلفة، تحتوي فركتلات التشابه الذاتي الظاهري على نسخ مصغرة من تام الفركتل ولكن بأشكال منحلة مشوهة، إذا الكسيريات الفهم بعلاقات تكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي ظاهري وليست ذات تشابه ظاهري متطابق.
التشابه الذاتي الإحصائي — يعد من أضعف أنواع التشابه الذاتي، يبيدي الكسيرية قياسات رقمية أوإحصائية ثابتة على اختلاف مقاييس التكبير.

إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أوالفركتلي مثلاً هوقياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إذا الفركتلات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أوظاهري. من الجدير بالملاحظة أنه ليست جميع الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذوتماثل ذاتي تام، إلا حتى الانادىء بأن تام الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت حتى تعريف الكسيرية لا يجب حتى يتضمن الكسيريات "الحقيقية" فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد خصائص معقدة لا متكررة. طالما حتى البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على جميع الأحوال، يمكن حتى تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مماثلة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.

أمثلة

مجموعة جوليا, هي فركتل يرتبط إلى حد ما بمجموعة ماندلبروت

تتضمن الأمثلة الشائعة للفركتلات مجموعة ماندلبروت, فركتل ليابونوف, مجموعة كانتور, حشية سربنسكي and سجادة سربنسكي, اسفنجة مينجر, منحني التنين, منحني بينو, والمجموعات المحدودة مجموعة كلاينايان, ومنحني كوخ. قد تكون الفركتلات محددة أومختارة بشكل عشوائي. الأنظمة الديناميكية الشواشية غالباً (إن ليس دائماً) تربط بالفركتلات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك حتى الذي يفاجئ بشكل كبير هوحتى بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هوأيضاً 2.

مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تهجر مجموعات من الممكن (وقد يحدث من غير الممكن) حتى تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أولا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و1. كتطبيق سهل يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقمسبعة من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه أيضاً البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لوقمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)

الكسيريات في الطبيعة

من الممكن مصادفة أشباه الفركتلات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الفركتلات التي تتولد طبيعياً ( الغيوم ، الجبال ، شبكات الأنهار وأنظمة الأوعية الدموية ) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الفركتلات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فاتىت متأخرة قليلاً.

إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدام خوارزميات تعاودية. تبدوالطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أوورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.

فركتل متشكل جراء نزع ورقتين إكريليكيتين مطليتين بالغراء عن بعضهما
تفريغ فولطية عالية في بلوك إكريليكي يخلق فركتل Lichtenberg figure.
فركتل متشكل جراء إضاءة DVD بأمواج ميكروية
رومانيسكوبروكولي يظهر فركتلات طبيعية رائعة

للكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لتوصيف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوم،

الجبال، الاضطرابات، الخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الفركتلية أيضاً في مجال ضغط الصور الفركتلي، بالإضافة إلى الكثير من المجالات الفهمية الأخرى.

هنالك الكثير من التطبيقات للفركتلات في الحقول التالية:

تصنيف الشرائح التي تصف تغير مراحل الأمراض في الطب
ابتكار أنواع جديدة من الـموسيقى
تخلق أشكال جديدة في مجال الفن
ضغط الصورة والإشارة
فهم الزلازل
فهم الكون
تصميم الألعاب الحاسوبية وخاصة فيما يتعلق بالصور الحاسوبية الخاصة بالبيئات العضوية.

توليد الكسيريات

غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب، يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكننا من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها حتى تقوم بتوليدها:

Fractint (يعمل على مجموعة من منصات التشغيل)
Sterling Fractal — برنامج توليد فركتلات محسن يخص أنظمة Microsoft Windows من قبل ستيفن فيركسون
XaoS — برنامج سريع يعمل بالنظام الحقيقي يختص بنمذجة وتكبير الفركتلات (homepage).

المراجع

Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0120790610
Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0470848618
Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 038797903
Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0716711869
Peitgen, Heinz-Otto, and Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0387966080
Clifford A. Pickover, ed. Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey - Aعشرة Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2

مواقع خارجية

The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals.
Fractals, in Layman's Terms
Fractals, fractal dimension, chaos, plane filling curves at cut-the-knot
Fractal properties
Information on fractals from FAQS.org
Fractal dimensions
Fractal calculus
Fractal Dimension
Natural fractals in Grand Canyon
One Dimensional Dynamical Systems. From UIUC a brief introduction

Multiplatform generator programs

Xaos — Realtime generator — Windows, Mac, Linux, etc
FLAM3 — Advanced iterated function system designer and renderer for all platforms.
Fract — A Web-based fractal zoomer

Linux generator programs

Gnofract4d — Interactive editor which can use many fractint formulas
Review of fractal software packages which run under X11 on Linux

Windows generator programs

Fractovia's listing of fractal generators is a fairly complete listing of free fractal generators.
Online Fractal Generator Java-Plugin required.
Ultra Fractal — popular software for Microsoft Windows
Apophysis — A free and powerful flame and IFS fractal generator. Widely used for creating fractal artwork.
ChaosPro — for Microsoft Windows
MSPlotter a great free Windows-based fractal generator, using fractals to create bitmap images and AVI video clips.
Fractal Explorer — free Windows-based generator

Mac generator programs

Altivec Fractal Carbon Mac-based benchmarking utility, using fractals to determine performance.
IFSLab A Iterated function system fractal generator for Mac OS X.