قاسم (رياضيات)

The divisors ofعشرة illustrated with Cuisenaire rods: 1, 2, 5, and 10

قاسم Divisor هوالعدد السليم n هوعدد سليم إذا قسمنا عليه العدد nقد يكون الناتج بدون باقي.

فمثلاثمانية قاسم للعدد 24 لأن 24 ÷ثمانية = ثلاثة والباقي 0 . ونقول أيضا حتى 24 مضاعف للـثمانية أوثمانية يقسم 24 ونرمز لذلك بـثمانية | 24

القواسم الموجبة للعدد 24 هي 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24

بشكل عام نقول حتى n|m (إقرأ m يقسم n) حيث m، n عدد سليمان لا يساويا الصفر، إذا وفقط إذا عثر عدد سليم k بحيث k×m = n

وبمكن حتى نخط ذلك بصيغة رياضية على الشكل التالي:

${\displaystyle \forall n,m\in Z^{* :m|n\Longleftrightarrow \exists k\in Z^{* :n=k\times m$

مما تجاوز نجد حتى القواسم يمكن تكون أعداد سالبة وبشكل أكثر دقة لكل قاسم موجب نظير سالب فمثلا وفق المثال السابق يوجد للعدد 24 أيضاثمانية قواسم سالبة وهي -1، -2، -3، -4، -6، -8، -12، -24 لكن عندما نتحدث عن القواسم غالبا ما نقصد بذلك القواسم الموجبة فقط.

1، -1 يقسمان جميع الأعداد السليمة.
كل عدد سليم يقسم نفسه.
كل عدد سليم يقسم 0 ماعدا الصفر نفسه.
الأعداد التي يقسمها العدد 2 تسمى بالزوجية والتي لا يقسمها بالفردية

لكل عدد سليم n أربعة قواسم على الأقل هي -1، 1، n، n- وتدعى بالقواسم البديهية أما القواسم الأخرى فهي غير بديهية.

مثلا القواسم البديهية للـ 24 هي 1، -1، -24، 24 أما القواسم الأخرى فهي غير بديهية

الأعداد التي لها قواسم بديهية فقط تدعى بالأولية أما الأعداد التي لها قواسم غير بديهية تدعى بالمركبة

أمثلة

Plot of the number of divisors of integers from 1 to 1000. Prime numbers have exactly 2 divisors, and highly composite numbers are in bold.

7 is a divisor of 42 because ${\displaystyle 7\times 6=42$
The non-trivial divisors ofستة are 2, −2, 3, −3.
The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
${\displaystyle 5\mid 0$ , because ${\displaystyle 5\times 0=0$ .
The set of all positive divisors of 60, ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\$

Notes

References

Durbin, John R. (1992). (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN .
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9