اتصال (رياضيات)

في الرياضيات، الاتصال هوخاصية طوبولوجية للدالة. في النهج الأول، تكون دالة f متصلة إذا كانت، التغيرات اللانهائية للمتغير x، تقابلها تغيرات لانهائية للقيمة f(x).

يتعلق المثال الأول للدوال المتصلة بالدوال الحقيقية الفهم على مجال حقيقي والتي يمكن رسم المبيان الخاص بها دون حمل قلم الرصاص. يعطي هذا النهج الأول فكرة عن مفهوم (الدالة لا تقفز) ولكنه لا يكفي لتعريفها، والأهم من ذلك أنه لا يمكن تتبع بعض الرسوم المبيانية للدوال مهما كانت متصلة بهذه الطريقة، على سبيل المثال منحنيات ذات خصائص كسورية مثل دالة كانتور.

تاريخيا عُرَِّف مفهوم الاتصال لدوال ذات متغير حقيقي، حيث عُمِّمَ هذا المفهوم على دوال بين الفضاءات المترية أوبين الفضاءات الطوبولوجة، بشكل خاص وبشكل عام.

وتَبَيَّنَ حتى دراسة الدوال المتصلة تكون ناجحة في إيجاد خصائصها (خاصية التقارب، بمعنى حتى " $lim(f (x)) = f (lim(x))$ "، نظرية القيم الوسطية، نظرية الحدود، التكامل ...).

تعريف الدوال الحقيقية

تعريف — ليكن $I$ مجال حقيقي، و ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R$ دالة للقيم الحقيقية فهم على $I$ و ${\displaystyle a\in I$ . تسمى الدالة $f$ متصلة في $a$ إذا كان: ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in I\quad \left({\Big [ |x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon {\Big ] \right).$

مثال على دالة متصلة على مجال

مثال على دالة غير متصلة في النقطة 2 :

{\displaystyle \lim _{x\to 2 \atop x<2 f(x)=2\neq f(2)

ƒ ليست متصلة على اليسار في 2.

{\displaystyle \lim _{x\to 2 \atop x>2 f(x)=3=f(2)

f

متصلة على اليمين في 2.

وبالتالي، فإن ) . (كما في التعريف الرسمي للنهاية، نحصل على تعريف مكافئ عندما نستبدل ${\displaystyle |x-a|<\eta$ ب ${\displaystyle |x-a|\leq \eta$ أو ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon$ ب ${\displaystyle |f(x)-f(a)|\leq \varepsilon$ . )

وهذا يعني أنه إذا أخذنا ε واحد، يمكننا إيجاد مجال يحتوي على $a$ بحيث $f (x)$ بعيدة بمسافة أقل من ε على $f (a)$ .

إذا كان الاتصال صالح فقط على اليمين (بالنسبة إلى $x > a$ )، نقول حتى $f$ متصلة على اليمين في $a$ . وبنفس الطريقة على اليسار في $a$ .
نقول حتى $f$ متصلة في $a$ عندما تكون متصلة على اليمين وعلى اليسار في $a$
الدالة $f$ متصلة (على $I$ ) إذا كانت متصلة في جميع نقطة $a$ من $I$
الدالة التي تقدم "قفزات" تسمى غير متصلة. يتم توضيح مفهوم القفز على الشكل اللقاء، فهويتوافق مع وجود حد على اليمين وحد على اليسار لا يناسبكليهما نفس القيمة $f (a)$ .

الملاحظات والمراجع

^ Voir par exemple S. Ferrigno; A. Muller-Gueudin; D. Marx; F. Bertrand; M. Maumy-Bertrand (2013). [[[:نطقب:Google Livres]] Mathématiques pour les sciences de l'ingénieur] تحقق من قيمة |مسار= (مساعدة). Dunod. صفحة 146. , définition 36.2.