تغاير (إحصاء)

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، التغاير (بالإنجليزية: Covariance)‏ هومقياس لكمية تغيير متغيرين مع بعضهما (التباين هوحالة خاصة من التغاير؛ يسمى التغاير تباينا عندماقد يكون المتغيران متساويين).

تكون قيمة التغاير موجبة عندما يتغير متغيران مع بعضهما البعض (إذا كان أحد المتحولين فوق قيمته المتسقطة، فإن الآخر أيضاًقد يكون فوق قيمته المتسقطة)، وعلى العكس فتكون قيمة التغاير سالبة عندماقد يكون أحد المتغيرين فوق قيمته المتسقطة بينما الآخرقد يكون دونها.

تعريف

يعهد التغاير بين متغيرين عشوائيين X وY، لهما قيمة متسقطة ${\displaystyle \scriptstyle E(X)\,=\,\mu$ و ${\displaystyle \scriptstyle E(Y)\,=\,\nu$ على الشكل التالي:

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\operatorname {E ((X-\mu )(Y-\nu )),\,

حيث E هي دالة القيمة المتسقطة. من الممكن إعادة كتابة الصيغة السابقة بالشكل:

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\operatorname {E (X\cdot Y-\mu Y-\nu X+\mu \nu ),\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\operatorname {E (X\cdot Y)-\mu \operatorname {E (Y)-\nu \operatorname {E (X)+\mu \nu ,\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\operatorname {E (X\cdot Y)-\mu \nu .\,

يطلق على المتحولات العشوائية التيقد يكون التغاير لها مساوياً للصفر اسم متحولات غير مترابطة.

إذا كان المتحولان X وY مستقلان،قد يكون تغايرهما مساوياً للصفر، وذلك لأنه بسبب استقلالهماقد يكون:

{\displaystyle E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)=\mu \nu .

وبالعودة لصيغة التغاير في الأعلى والتعويض فيها نجد:

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\mu \nu -\mu \nu =0.

إن عكس العبارة السابقة ليس بالضرورة حتىقد يكون سليم دائماً. حيث يوجد الكثير من أزواج المتحولاتقد يكون بينها قيمة التغاير صفر إلا أنها ليست مستقلة.

يقاس التغاير بوحدة قياس تكون هي واحدة X مضروبة بواحدة Y. وعلى سبيل المقارنة فإن ارتباط|الارتباط Correlation الذي يعتمد على التغاير هوكمية لا بعدية لمقدار الاستقلال الخطي.

مثال

ليكن المتغيران العشوائيان ${\displaystyle f(x,y)$

			y
	${\displaystyle f(x,y)$	1	2	3	${\displaystyle f_{X (x)$
	1	1/4	1/4	0	1/2
x	2	0	1/4	1/4	1/2
	${\displaystyle f_{Y (y)$	1/4	1/2	1/4	1

${\displaystyle X$ can take on two values (1 و2) while ${\displaystyle Y$ can take on three (1, 2, و3). Their means are ${\displaystyle \mu _{X =3/2$ و ${\displaystyle \mu _{Y =2.$ population الانحراف المعياري ل ${\displaystyle X$ و ${\displaystyle Y$ are ${\displaystyle \sigma _{X =1/2$ و ${\displaystyle \sigma _{Y ={\sqrt {1/2 .$ إذن:

{\displaystyle {\begin{aligned &\operatorname {cov (X,Y)=\sigma _{XY =\sum _{(x,y)\in S f(x,y)(x-\mu _{X )(y-\mu _{Y )\\={ &\left({\frac {1 {4 \right)\left(1-{\frac {3 {2 \right)(1-2)+\left({\frac {1 {4 \right)\left(1-{\frac {3 {2 \right)(2-2)\\&{ +(0)\left(1-{\frac {3 {2 \right)(3-2)+(0)\left(2-{\frac {3 {2 \right)(1-2)\\&{ +\left({\frac {1 {4 \right)\left(2-{\frac {3 {2 \right)(2-2)+\left({\frac {1 {4 \right)\left(2-{\frac {3 {2 \right)(3-2)\\={ &{\frac {1 {4 .\end{aligned

خصائص

إذا كانت المتحولات X، Y، W وV هي متغيرات عشوائية ذات قيم حقيقية وكانت a، b، c، d هي ثوابت (في هذا السياق فإن ثوابت تعني أنها ليست عشوائية)، عندها تكون الحقائق التالية محققة في تعريف التغاير:

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,a)=0\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,X)=\operatorname {Var (X)\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\operatorname {Cov (Y,X)\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov (X,Y)\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (X+a,Y+b)=\operatorname {Cov (X,Y)\,

{\displaystyle \operatorname {Cov (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov (X,W)+ad\,\operatorname {Cov (X,V)+bc\,\operatorname {Cov (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov (Y,V)\,

ومن أجل سلسلة X₁,..., X_n وY₁,..., Y_m من المتغيرات العشوائية،قد يكون لدينا:

{\displaystyle \operatorname {Cov \left(\sum _{i=1 ^{n {X_{i ,\sum _{j=1 ^{m {Y_{j \right)=\sum _{i=1 ^{n {\sum _{j=1 ^{m {\operatorname {Cov \left(X_{i ,Y_{j \right) .\,

ومن أجل سلسلة من المتغيرات العشوائيةقد يكون لدينا:

{\displaystyle \operatorname {Var \left(\sum _{i=1 ^{n X_{i \right)=\sum _{i=1 ^{n \operatorname {Var (X_{i )+2\sum _{i,j\,:\,i<j \operatorname {Cov (X_{i ,X_{j ).

التغاير التزايدي

من الممكن حساب التغاير بكفاءة عالية من القيم المتزايدة المتوافرة باستخدام تعميم للصيغة الحسابية للتباين

{\displaystyle \operatorname {Cov (X_{i ,X_{j )=\operatorname {E \left((X_{i -\operatorname {E (X_{i ))(X_{j -\operatorname {E (X_{j ))\right)=\operatorname {E (X_{i X_{j )-\operatorname {E (X_{i )\operatorname {E (X_{j )

مصفوفة، ومعامل، والصيغة الخطية الثنائية التغاير

يعهد التغاير من أجل متحولين مصفوفة متجه عمودي X وY بالنسبة إلى قيمتاهما المتسقطة μ وν والعناصر السلمية الموافقة m وn على أنه مصفوفة ذات حجم m×n تسمى مصفوفة التغاير وتعطى على الشكل:

{\displaystyle \operatorname {Cov (X,Y)=\operatorname {E ((X-\mu )(Y-\nu )^{\top ).\,

بشكل عام، ومن أجل مقياس الاحتمال P في فضاء هلبرت H بجداء داخلي ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ قد يكون تغاير P من الشكل الخطي الثنائي (bilinear)Cov: H × H → H معطاً بالعلاقة:

{\displaystyle \mathrm {Cov (x,y)=\int _{H \langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d \mathbf {P (z)

من أجل جميع x وy في H. عندها يعهد معامل التغاير C بالعلاقة:

{\displaystyle \mathrm {Cov (x,y)=\langle Cx,y\rangle

مراجع

^ Sahidullah, Md.; Kinnunen, Tomi (March 2016). "Local spectral variability features for speaker verification". Digital Signal Processing. 50: 1–11. doi:10.1016/j.dsp.2015.10.011. مؤرشف من الأصل في 21 نوفمبر 2018.
^ Rice, John (2007). Mathematical Statistics and Data Analysis. Belmont, CA: Brooks/Cole Cengage Learning. صفحة 138. ISBN .
^ Siegrist, Kyle. "Covariance and Correlation". University of Alabama in Huntsville. مؤرشف من الأصل في 04 سبتمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 12/9/2016.
^ "Covariance ل X وY | STAT 414/415". Pennsylvania State University. 12/9/2016. مؤرشف من الأصل في 28 أكتوبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 12/9/2016.