تعامد

شكل 1: الخط AB عمودي على الخط CD، لأن كلا الزاويتين التان يشكلهما (اللونين البرتنطقي والأزرق) تساوي 90 درجة

في الهندسة الرياضية، يعتبر خطان أومستويان (أوخط ومستوى) متعامدين (بالإنجليزية: perpendicular)‏ على بعضهما إذا شكلا زوايا متجاورة متطابقة (على شكل حرف T). ففي الشكل 1، البترة المستقيمة AB متعامدة على البترة المستقيمة CD في النقطة B، ويعبر عن تعامد المستقيمين AB وCD بعبارة: ${\displaystyle AB\perp CD$ .

جميع الزوايا المكونة من تعامد خطين مستقيمين هي زوايا قائمة (قياس الزاوية القائمة يساوي ½ π راديان، أو90° درجة). وبالعكس فإن أي خطين مستقيمين يشكلان زوايا قائمة فهما متعامدان .

المعايير الرياضية

في النظام الإحداثي الديكارتي يمكن وصف خطين مستقيمين ل1 ول2 بالمعادلتين التاليتين:

ل1: y = a×x + b

ل2: y = c×x + d

طالما حتى كلاً من الخطين المستقيمين غير رأسي، فإن ميل ل1 هوa وميل ل2 هوc. ويكون الخطان المستقيمان ل1 ول2 متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1، أي a × c = -1 .

وفي الهندسة التحليلية،قد يكون المتجهان متعامدين إذا كان: ميل الأول × ميل الثاني = -1

إنشاء العمودي

شكل 2: طريقة إسقاط عمودي (الأزرق) على المستقيم AB من النقطة P

إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة خارجه

لإسقاط عمودي على المستقيم AB يمر بالنقطة P باستخدام الفرجار والمسطرة نقوم بالمراحل التالية (انظر شكل 2):

(الأحمر): ارسم دائرة مركزها النقطة P لتبتر الخط المستقيم AB في A' وB'، فتكونان متساويتا البعد عن P,
(الأخضر): ارسم دائرتين مركزهما النقطتان A' وB' وتمران بالنقطة P. نفترض حتى النقطة الأخرى لتقاطعهما هي Q
(الأزرق): صل النقطتين P وQ لتحصل على العمودي المطلوب PQ

شكل 3: إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه (B) - خطوة 1

إنشاء عمودي على مستقيم من نقطة عليه

لإنشاء عمودي على خط مستقيم من نقطة عليه نقوم بالمراحل التالية :

ارسم دائرة مركزها هذه النقطة (B مثلاً) وتبتر الخط المستقيم في نقطتين A وA' (انظر شكل 3)
من النقطتين A وA' نرسم دائرتين لهما نفس نصف القطر ونصف قطرهما أكبر من المسافة AB
نصل نقطتي تقاطع هاتين الدائرتين لنحصل على العمودي المطلوب

شكل 4: طريقة رسم قاطع عمودي على خط مستقيم

إنشاء عمودي على مستقيم في أي موضع منه

لإنشاء عمودي على خط مستقيم في أي موضع منه نقوم بالمراحل التالية (انظر شكل 4):

(الأزرق): من أي نقطتين على الخط المستقيم نرسم دائرتين متقاطعتين
(الأحمر): نصل بين نقطتي تقاطع الدائرتين فنحصل على العمودي المطلوب

شكل 5: الخطان a وb متوازيان ويبترهما القاطع c

بالنسبة للخطوط المتوازية

كما هومشروح في شكل 5، إذا كان جميع من خطين مستقيمين (a وb) متعامدا على خط ثالث (c)، فإن جميع الزوايا الناتجة عن التقاطع مع هذا الخط الثالث تكون زوايا قائمة. وبناء على ذلك، فإنه في الهندسة الإقليدية، أي خطين مستقيمين جميع منهما عمودي على خط ثالث فهما متوازيان، بناءً على مسلمة التوازي. وبالعكس، فإن أي خط مستقيم عمودي على خطً مستقيمٍ ثانٍ، فإنهقد يكون عمودياً على أي خط مستقيم موازٍ له.

في شكل 5، جميع الزوايا المظللة بالبرتنطقي هي زوايا متطابقة، لأن الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة وكذلك الزوايا الداخلية المتبادلة الناشئة عن قاطع لخطين متوازيين هي متطابقة. ومن ثم، فإنه إذا كان خطان a وb متوازيين فإن أياً من النتائج التالية تؤدي للنتائج الأخرى كلها:

إحدى زوايا الشكل هي زاوية قائمة
إحدى الزوايا المظللة باللون البرتنطقي مطابقة لإحدى الزوايا المظللة باللون الأخضر
الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم a
الخط المستقيم c عمودي على الخط المستقيم b

إيجاد المتعامدات على دالة

في الجبر

في الجبر، لأي معادلة خطية (y = m × x + b)، فإن ميل المتعامدات عليها هو(-1/m)، المعكوس الجمعي لمقلوب ميل المعادلة الأصلية.

ولإيجاد العمودي على خط مستقيم (y = m × x + b) ويمر أيضاً بالنقطة (x، y) نحل المعادلة y = (-1/m) × x + b، بتعويض قيم m وَ x وَ y المعلومة لإيجاد قيمة b في معادلة الخط المطلوب.

في التفاضل

في التفاضل، لإيجاد العمودي على دالة نحسب مشتقة هذه الدالة، فيكون هذا هوميله (m) عند أي نقطة (x، y). فنقوم بحل المعادلة y = (-1/m) × x + b، بتعويض قيم m وَ x وَ y المعلومة لإيجاد قيمة b في معادلة الخط المطلوب.

رمز التعامد

رمز التعامد هو ${\displaystyle \perp$ . فمثلاً ${\displaystyle AB\perp CD$ تعني حتى الخط المستقيم AB عمودي على الخط المستقيم CD، وتقرأ: AB عمودي على CD. الكود الخاص بهذا الرمز في مجموعة حروف يونيكود هوU+27C2 وهوضمن الرموز الرياضية المتنوعة-المجموعة أ (بالإنجليزية: Miscellaneous Mathematical Symbols-A range)‏، وهوشبيه برمز التاك المقلوبة (U+22A5) لكنه حرف مختلف.

انظر أيضاً

إنشاءات الفرجار والمسطرة
تعامد (جبر خطي)
توازي (هندسة)
زاوية قائمة
منصف
ناظم السطح

مراجع

↑ "تعريف العمودي". Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 25 سبتمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 21 نوفمبر 2011. روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)صيانة CS1: لغة غير مدعومة (link)
^ "الخطوط المتعامدة (الهندسة الإقليدية)". Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل فيعشرة أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 21 نوفمبر 2011. روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)صيانة CS1: لغة غير مدعومة (link)
^ "طريقة إنشاء عمودي على خط مستقيم من نقطة عليه". Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 13 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 21 نوفمبر 2011. روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)صيانة CS1: لغة غير مدعومة (link)

وصلات خارجية

"إنشاء عمودي على شعاع من بدايته". Math open Reference (مرجع الرياضيات المفتوح) (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل فيعشرة يونيو2019. اطلع عليه بتاريخ 21 نوفمبر 2011. روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)صيانة CS1: لغة غير مدعومة (link)

في كومنز صور وملفات عن: تعامد