دالة الظل

ظل الزاوية (بالإنجليزية: Tangent of an angle)‏ هوأحد الدوال المثلثية الأساسية والذي يرمز له بـ tan أوtg باللاتينية أوظا بالعربية، ويُعهد بأنه النسبة بين الجيب وجيب التمام لنفس الزاوية، أي قسمة طول الضلع اللقاء على طول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم.

إذا نظرنا إلى الصورة أعلاه (وهي صورة لدائرة واحدية)، نرى حتى المثلثات OAB وOCD مماثلة،

لذلكقد يكون تعريف ظل الزاوية x :

{\displaystyle \tan x={\frac {DC {OC

وكذلك :

{\displaystyle \tan x={\frac {AB {OA

بالتاليقد يكون:

{\displaystyle {\frac {AB {OA ={\frac {DC {OC

الذي ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل والجيب sin x وجيب التمام cos x العلاقة :

{\displaystyle \tan x=\,{\frac {\sin x {\cos x

حساب الظل

حساب الظل في مثلث قائم:

ظل الزاوية = طول الضلع اللقاء/طول الضلع المجاور

كما أن :

ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب/جيب تمام الزاوية ب

مثال :

طول اللقاء [أج] = 15 سنتيمتر
طول المجاور [أب] =خمسة سنتيمتر

فيكون ظل الزاوية ب : اللقاء [أج]/المجاور [أب] = 15/5 = 3

بعض الزوايا الشهيرة

${\displaystyle \tan 0=\tan 0^{\circ =0$
${\displaystyle \tan {\frac {\pi {6 =\tan 30^{\circ ={\frac {\sqrt {3 {3$
${\displaystyle \tan {\frac {\pi {4 =\tan 45^{\circ =1$
${\displaystyle \tan {\frac {\pi {3 =\tan 60^{\circ ={\sqrt {3$
${\displaystyle \tan {\frac {\pi {2 =\tan 90^{\circ =\infty$
${\displaystyle \tan {\frac {3\pi {4 =\tan 135^{\circ =-1$
${\displaystyle \tan \pi =\tan 180^{\circ =0$
${\displaystyle \tan {\frac {3\pi {2 =\tan 270^{\circ =\infty$

طبقا للمعادلة أعلاهقد يكون :

{\displaystyle {\frac {AB {OA ={\frac {DC {OC

أي أن:

{\displaystyle {\frac {AB {240 ={\frac {5 {8

ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :

متر

{\displaystyle \ AB=\ {150

ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا، بل يكفي فهم قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ازدياد ناطحة السحاب .

دالة ظل الزاوية

صورة متحركة لرسم منحنى دالة الظل باستخدام دائرة الوحدة.

خصائصها

دالة الظل هي دالة حقيقية:

دورية، دورتها ${\displaystyle \pi$ .

${\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan(x)$

فردية، حيث: ${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)$
تقبل خطوط مقاربة عمودية عند القيم ${\displaystyle x={\frac {\pi {2 +k\pi$ من أجل جميع عدد سليم k.

${\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{- \tan x=+\infty$

${\displaystyle \lim _{x\to (\pi /2)^{+ \tan x=-\infty$
مشتقها : ${\displaystyle \tan 'x={\frac {1 {\cos ^{2 x =1+\tan ^{2 x$
مشتقها العكسي: ${\displaystyle \int \tan(x)dx=-\ln |\cos(x)|$
بتطبيق صيغة أويلر:

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta -e^{-i\theta {i(e^{i\theta +e^{-i\theta )

حيث ${\displaystyle -1$

دالتها العكسية على المجال ${\displaystyle \arctan x$
مقلوب الدالة هودالة ظل التمام ويرمز لها بـ ${\displaystyle \cot(x)$ .

{\displaystyle \cot x={\frac {1 {\tan x ={\frac {\cos x {\sin x

متسلسلة

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة متسلسلة تايلور التالية:

{\displaystyle {\begin{aligned \tan x&{ =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {U_{2n+1 x^{2n+1 {(2n+1)! \\&{ =\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {(-1)^{n-1 2^{2n (2^{2n -1)B_{2n x^{2n-1 {(2n)! \\&{ =x+{\frac {1 {3 x^{3 +{\frac {2 {15 x^{5 +{\frac {17 {315 x^{7 +\cdots ,\qquad {\text{for |x|<{\frac {\pi {2 .\end{aligned

حيث ${\displaystyle B_{n$

حساب القيم

تحسب قيم الدالة بواسطة المتسلسلة، ولكن بدلاً من استخدام النشر المحدود بواسطة متسلسلة تايلور، التي تستخدم الكثير من العمليات، يحبذ استعمال خوارزمية CORDIC.

مراجع

^ "كيف أحسب tan الزاويه؟". أجيب. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2019.
^ "5 معلومات عن حساب زوايا المثلث". إيد أرابيا. 2018-10-15. مؤرشف من الأصل في 22 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2019.