حساب المثلثات

جميع قيم الدوال المثلثية لزاوية θ يمكن حتى تُرسم هندسيا في خضم دائرة وحدة مركزها O.

فهم المثلثات أوحساب المثلثات (باللاتينية: Trigonometria) هوفرع من الرياضيات يفهم الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية كالجيب والجيب التمام. وهوأحد فروع فهم الهندسة العامة.

يكون مثلثان متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من جميع منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيرة أوتصغيرة. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة. أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فان طول جميع من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأولقد يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع اللقاءة للزاويتين المتساويتين، وتر جميع من المثلثين (الضلع اللقاءة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها والوتر.

الدالتان الجيب وجيب التمام هما أبرز الدوال المثلثية. هناك أيضا توابع أخرى تُعهد بأخذ نسب أخرى من أضلاع المثلث القائم، أونسب من التابعين الأساسيين الجيب وجيب التمام، هذه التوابع هي: ظل (ظا)، ظل تمام(ظتا)، قاطع (قا)، وقاطع تمام (قتا).

ظل الزاوية A = جيب الزاوية/ جيب تمام الزاوية
ظل تمام الزاوية A = جيب تمام الزاوية / جيب الزاوية
قا (قاطع) الزاوية = 1 / جتا الزاوية (مقلوب الجتا)
قاطع تمام (قتا) = 1 / جيب الزاوية (مقلوب الجيب)

بهذا نكون قد عهدنا التوابع(الاقترانات) المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع هذا التعريف ليضم جميع القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة. عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول أوالآلة الحاسبة) وفهم قيم ضلع وزاويتين أوضلعين وزاوية أوثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام.

هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهوحساب المثلثات علي السطح الكروي، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في الفلك وفي الملاحة.

التاريخ

أبرخش, يعود إليه أول جدول مثلثي. وُصف بكونه "أب الحساب المثلثي".

يعتبر قدماء المصريين أول من عمل بقواعد حساب المثلثات، إذ استخدموها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات، ومنها حتى عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية لتسعة أعشار مساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معهدتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها، ومن أهمها هي القائمة والحادة والمنفرجة.

يعتبر العلامة الفارسي نصير الدين الطوسي أول من اعتبر الحساب المثلثي فرعا مستقلا عن فهم النجوم.

وصلت فهم الدوال المثلثية إلى أوروبا الغربية من خلال الترجمات إلى اللاتينية لأعمال جميع من بطليموس وأعمال فهماء الفلك الفرس والعرب من أمثال نصير الدين الطوسي والبتاني.

كان عالم الرياضيات الهولندي جيما فريزيوس هوأول من وصف كيفية التثليث والتي ما زالت مستعملة حاليا في فهم المساحة.

كان عالم الرياضيات السويسري ليونهارت أويلر أول من أقحم الأعداد المركبة في فهم المثلثات.

كان لعمل عالمي الرياضيات جيمس جريجوري وكولين ماكلورين الاسكتلنديين تأثيرا كبيرا في تطور المتسلسلات المثلثية. الأول منهما عاش في القرن السابع عشر والثاني في الثامن عشر.

نظرة عامة

في هذا المثلث قائم الزاوية:

sin A = a / c;

cos A = b / c;

tan A = a / b .

في المثلث القائم المبين في الشكل، يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز h. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي:

sin ، جا : جيب الزاوية A = طول الضلع اللقاء / الوتر(h/a)
cos ، جتا: جيب تمام الزاوية A = طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
tan ، ظا : ظل الزاوية A = طول الضلع اللقاء/طول الضلع المجاور (b/a).

تنطبق التعريفات السابقة على الزوايا بين 0 و90 درجة (بين صفر وπ/2 راديان). وباستخدام دائرة واحدية يمكن حساب الدوال المثلثية للزوايا الدائرية بين 0 و360 درجة . في تلك الحالات يمكن حتىقد يكون الضلع a موجبا أوسالبا (انظر دالة مثلثية). الدوال المثلثية هي دوال دورية (تتكرر بانتظام) ولها دورة مقدارها 360 درجة أو 2π راديان. أي حتى احداثياتها تتكرر من دورة لدورة . ويمكن لظل الزاوية أوظل تمام الزاوية حتى يصل إلى الصفر عند 180 درجة أوعند 360 درجة.

تعريف الدالة المثلثية بالأعداد المركبة

Fig. 1a – تعريف جا وجيب تمام الزاوية θ باستخدام دائرة وحدة .

يمكن تعريف الدوال المثلثية بطريقة أخرى غير طريقة حساب المثلثات، وهي طريقة باستخدام الحساب والمتتاليات اللانهائية . ومع تلك التعريفات يمكن صياغة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة . ومن مميزات الدوال الأسية المركبة أنها تستخدم كثيرا في الهندسة الكهربائية وحسابات التيار المتردد والمحركات الكهربائية وكذلك في فهم الفلك.

{\displaystyle e^{x+iy =e^{x (\cos y+i\sin y).

أنظر صيغة أويلر وصيغة دي موافر.

تطبيقات

السدس آلة تستعمل لقياس الزاوية التي تكونها الشمس أوالنجوم مع الأفق. باستعمال الحساب المثلثي وكرونوميتر بحري، يمكن تحديد مكان الباخرة.

لفهم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات الجغرافية والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.

انظر إلى التثليث.

تمثيل تيار متردد بدائرة وحدة

هذا الشكل المتحرك يوضح حساب موجة جيبية بواسطة دائرة وحدة . الموجة الجيبية يمكن حتى تمثل تيارا مترددا .

عملية تمثيل دالة (y = sin(x باستخدام دائرة الوحدة

صيغ عامة للدوال المثلثية

هناك حالة خاصة في حالة حساب جيب تمام الزاوية إذا كان 1 و0.

قانون الجيب

قانون الجيب من أجل مثلث معين ما ينص على ما يلي:

{\displaystyle {\frac {a {\sin A ={\frac {b {\sin B ={\frac {c {\sin C =2R={\frac {abc {2\Delta ,

حيث ${\displaystyle \Delta$

قانون الجيب التمام

قانون جيب التمام هوامتداد لمبرهنة فيتاغورس حيث تظل هذه المبرهنة سليمة مهما كانت طبيعة هذا المثلث على عكس مبرهنة فيتاغورس التي تكتفي بالمثلثات قائمة الزاوية. تنص هذه المبرهنة على مايلي:

{\displaystyle c^{2 =a^{2 +b^{2 -2ab\cos C,

قانون دالة الظل

صيغة أويلر

صيغة أويلر بما أنها تنص على حتى ${\displaystyle e^{ix =\cos x+i\sin x$ ، تعطي النتائج التالية:

{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix -e^{-ix {2i ,\qquad \cos x={\frac {e^{ix +e^{-ix {2 ,\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix -e^{ix ) {e^{ix +e^{-ix .

انظر أيضا

حساب المثلثات المعمم,
أسماء الرموز اللاتينية المستخدمة في الفيزياء,
دوال مثلثية
موجة جيبية
قائمة المطابقات المثلثية,

حساب المثلثات في حقول غالوا,
دائرة وحدة
استعمالات حساب المثلثات
تقريب الزوايا الصغيرة
مثلث نحيل

مراجع

^ (PDF). Intel. 2013. مؤرشف من الأصل (PDF) في أربعة نوفمبر 2013.
^ pp. 235–236. نسخة محفوظة 03 نوفمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.
^ "Regiomontanus biography". History.mcs.st-and.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 15 نوفمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 08 مارس 2017.
^ Boyer (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. صفحة 162.

وصلات خارجية

في كومنز صور وملفات عن: حساب المثلثات

ابحث عن مُثَلَّثَات في ويكاموس.

[1] (PDF). Intel. 2013. مؤرشف من الأصل (PDF) في أربعة نوفمبر 2013.

[2] . 235–236. نسخة محفوظة 03 نوفمبر 2017 على مسقط واي باك مشين.

[3] "Regiomontanus biography". History.mcs.st-and.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 15 نوفمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 08 مارس 2017.

[4] Boyer (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. صفحة 162.

حساب المثلثات

التاريخ الاستعمالات الدّوال (الدوال العكسية) حساب مثلثات معممة حساب المثلثات الكروية
مراجع
المتطابقات القيم الدقيقة للثوابت الجداول دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب جيوب التمام الظّلال ظلال التمام مبرهنة فيثاغورس
الحسبان
تعويضات مثلثية التكاملات (تكاملات الدوال العكسية) المشتقات