لاغرانجيان

لاغرانجيان L لأي نظام حركي فهونظام يلخص ديناميكيات النظام. وقد أطلق هذا الاسم تكريماً لجوزيف لاغرانج. مفهوم لاغرانج في إعادة صياغة الميكانيكا الكلاسيكية تم تقديمه أساسا من قبل الأيرلندي الرياضي ويليام روان هاميلتون عندما أعاد صياغة معادلات الميكانيكا الكلاسيكية وأطلق عليها اسم ميكانيكا لاغرانج. يعهد لاغرانجيان في الميكانيكا الكلاسيكية بأنه تعبير عن فرق الطاقة الحركية والطاقة الكامنة.

{\displaystyle L=T-V\quad

ففي الحالة التيقد يكون فيها نظام لاغرانجيان معروف فيمكن فهم معادلات الحركة من خلال تعويض قيمة لاغرانجيان في معادلة أويلر-لاغرانج

علي سبيل المثال

المسار المنحني لحركة المقذوفات قد وصفت عن طريق مجموعة قيم لاغرانج بالنسبة لوحدات الزمن بداية من أقل قيمة صغري.

حساب لاغرانجيان، L = T - V، في لحظات زمنية متعددة (t)، لنحصل علي رسم بياني يعبر عن L وt. المساحة التي تحت المنحني تعبير عن الحركة. أي تغير في المسار بين أول وأخر نقطة بتؤدي إلي تغير كبير في الحركة عن ماختارته الطبيعة. الطبيعة تتخذ الحركات الصغيرة- وهذا هوأساسيات الحركة علي الأقل.

وباستخدام أساسيات الحركة على الأقل ومعادلات لاغرانجيان يمكننا استنتاج مسارات حركة المقذوفات، عن طريق التجربة والخطأ أوحساب المتغيرات.

"لوالفيزياء عهدت معضلة ميكانيكا قذف الكرات بشكل أنيق، عندها يفترض أن نعهد المشكلات الأخري بنفس الطريقة. لذلك فهي تبدوا الآن. بعمق، في الوقت الحاضر حيث يمكننا وصف جميع القوي الأساسية تحت شروط معادلات لاغرانجيان. البحث عن معادلة فيزيائية واحدة، التي تحكم جميع الكون، تم البحث عنها علي نطاق واسع للحصول علي معادلات لاغرانجيان الملائمة."

صيغة لاغرانجيان

الأهمية

لا تنبع أهمية معادلة لاغرانجيان من خلال تطبيقاتها الواسعة، إنما أيضاً تعزز الفهم الفيزيائي العميق. وعلى الرغم من حتى بداية اللاغرانجيان سعت إلى وصف الميكانيكا الكلاسيكية، إلا حتى مبدأ العمل الذي استخدم لاغرانجيان لاشتقاقه ذوتطبيقات واسعة في ميكانيكا الكم.

يرتبط العمل الفيزيائي والطور الموجي في ميكانيك الكم من خلال مبرهنة نويثر والتي تربط المصونية الكمومية باستمرار تناظر النظام الفيزيائي

سمحت مبرهن نويثر ولاغرنجيان في ظهور المبدأ الكمومي الأول من خلال إضافة محول بين الشروط المحددة لمعادلة لاغرانجيان الحركية ضمن النظام الفيزييائي

المزايا

المعادلة غير مرتبطة بأي نظام إحداثي وبالتالي يمكن استعمال أي متغيرات ${\displaystyle \varphi _{i (s)$
إذا كان لاغرانج غير متغير تحت ظروف تناظرية، فإن المعادلات الناتجة من الحركة هي أيضاغير متغيرة في إطار هذا التناظر. هذا مفيد جدا في عرض النظريات التي تتفق مع النسبية الخاصة أوالنسبية العامة.
المعادلات المشتقة من لاغرانجيان تكون تلقائيا واضحة ومنسقة، على عكس المعادلات التي تجمع من صياغات متعددة.

الإحداثي الدوري وقوانين المصونية

من أبرز مزايا لاغرانجيان هي سهولة اشتقاق قوانين المصونية منه. فإذا كان اللاغرانجيان

{\displaystyle {\mathcal {L

يعتمد على مشتق الزمن

{\displaystyle {\dot {q _{i

لإحداثيات عامة ولكن غير مرتبط ب

{\displaystyle q_{i

بنفسه عندها تعطى الحركة العامة بالعلاقة:

{\displaystyle p_{i :={\frac {\partial {\mathcal {L {\partial {\dot {q _{i

,

وهذه كمية مصونة وهي حالة خاصة من مبرهنة نويثر

على سبيل مثال مصونية الزخم العام

{\displaystyle p_{2 :={\frac {\partial {\mathcal {L {\partial {\dot {q _{2

,

وبسهولة يمكن حتى نرى حتى لاغرانجيان نظام هومن الشكل

{\displaystyle {\mathcal {L (q_{1 ,q_{3 ,q_{4 ,\dots ;{\dot {q _{1 ,{\dot {q _{2 ,{\dot {q _{3 ,{\dot {q _{4 ,\dots ;t)\,.

الشرح

تعطى معادلة الحركة من تغير العمل حسب مبدأ العمل

{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S {\delta \varphi _{i =0\,.

حيث العمل ${\displaystyle \varphi _{i (s)$

{\displaystyle {\mathcal {S \left[\varphi _{i ,{\frac {\partial \varphi _{i {\partial s \right]=\int {{\mathcal {L \left[\varphi _{i [s],{\frac {\partial \varphi _{i [s] {\partial s^{\alpha ,s^{\alpha \right]\,\mathrm {d ^{n s

حيث تدل ${\displaystyle \alpha =1,2,3,\ldots ,n.$

وينتج عن اشتقاق هذا التابع معادلة أويلر - لاغرانج. على سبيل المثال وحسب الميكانيك الكلاسيكي فإن المتغيرات المستقلة لحركة الجزيئات هي فقط الزمن tوبذلك تنتج معادلة أويلر-لاغرانج