العدد الأولي والعدد الأول هوعدد طبيعي أكبر بتراً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى جميع عدد طبيعي أكبر بتراً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال،خمسة هوعدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينماستة هوعدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى ثلاثة وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: جميع عدد سليم طبيعي أكبر بترا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.

لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا،يا ترى؟ توجد طريقة بسيطة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.

مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعهد صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن حتى يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إذا أول مبرهنة تمضى في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال حتىقد يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n.

خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على حتى أي عدد زوجي أكبر بتراً من 2، يمكن حتى يخط على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على حتى عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتيقد يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هوعدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم الفهماء لكيفية توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أوالزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عهدتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساسا هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.

تعريف وأمثلة

يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر بترا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر بترا من 1 وغير أولية قد تسمى أعدادا مركبة (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).

من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و6، الأعداد 2 وثلاثة وخمسة أولية، بينما الأعداد 1 وأربعة وستة أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. ثلاثة عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، ثلاثة نفسه. قسمة ثلاثة على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، ثلاثة أولي. أربعة عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 وأربعة اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه:

4 = 2 · 2.

5 عدد أولي لأن 2 وثلاثة وأربعة لا يقسمونه.ستة عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و3.

6 = ثلاثة · 2.

جميع الأعداد الأولية - عدا 2 وخمسة - تنتهي ب 1 أوثلاثة أوسبعة أوتسعة لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو2 أوأربعة أوستة أوثمانية هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي بخمسة هي من مضاعفات العددخمسة فليست أولية أيضاً.

الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي :
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.

عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.

المبرهنة الأساسية في الحسابيات

تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على حتى جميع عدد سليم موجب أكبر من 1، يمكن حتى يخط على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أومجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هوأنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،

23244	= 2 · 2 · ثلاثة · 13 · 149
	= 22 · ثلاثة · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أوالقوة الثانية ل 2.

أ, 3*7=21

كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية :n = p₁ · p₂ · ... · p_t تحليل عدد سليم إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي:

تحليل عدد سليم إلى عوامل وحيد إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل. قد تختلف الخوارزميات لإيجاد هذا التحليل، ولكن النتيجة وحيدة ولا تتعلق بالخوارزمية المستعملة.

إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a وb، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أويقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد سليم إلى جداء أعداد أولية.

هل العدد 1 عدد أولي ؟

لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من فهماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان فهماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما حتى تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هوجميع عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. وينطق حتى عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هوآخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم حتى الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى سليما إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تظل سليمة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن حتى يُعمّل إلى 3×5 أوإلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أوبدالة مجموع القواسم.

التاريخ

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى فهم قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية.

مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم حتى أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها فهماء آخرون.

بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عهدت من طرف الصينيين من قبل. حدس فيرما حتى جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 2²ⁿ + 1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = أربعة (أي 2¹⁶ + 1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 2³² + 1) هوعدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعهد عدد أولي ما يخط على شكل أعداد فيرما. درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2^p − 1 حينقد يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له.

احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على حتى المتسلسلة غير المنتهية هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على حتى الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يخطن على الشكل (2^p−1(2^p − 1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هوعدد أولي لميرسن..

منذ عام 1951، جميع الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.

عدد الأعداد الأولية

يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة

2، 3، 5، 7، 11، 13،...

لا تنتهي أولا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما حتى أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعهد حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.

برهان أقليدس

برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إذا الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.

${\displaystyle N=1+\prod _{p\in S p.$

عادة ما يعتقد خطأ حتى برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف.

برهان أويلر التحليلي

يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي :

${\displaystyle S(p)={\frac {1 {2 +{\frac {1 {3 +{\frac {1 {5 +{\frac {1 {7 +\cdots +{\frac {1 {p .$

هاته المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يشير على حتى هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو(S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة

${\displaystyle {\frac {1 {1^{2 +{\frac {1 {2^{2 +{\frac {1 {3^{2 +\cdots +{\frac {1 {n^{2 =\sum _{i=1 ^{n {\frac {1 {i^{2$

لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يشير على حتى الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على حتى مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.

${\displaystyle \left({{\frac {1 {3 +{\frac {1 {5 \right)+\left({{\frac {1 {5 +{\frac {1 {7 \right)+\left({{\frac {1 {11 +{\frac {1 {13 \right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix p{\text{ prime, \\p+2{\text{ prime \end{smallmatrix {\left({{\frac {1 {p +{\frac {1 {p+2 \right) ,$

هوعدد منته.

اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية

هناك الكثير من الاختبارات لفهم هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هاته الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ.

عن طريق القسمة المتكررة

الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد السليمة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهوأولي في غير ذلك. بالعمل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي حتى العددين الطبيعيين a وb يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددينقد يكون أصغر من أويساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 وثلاثة وأربعة وخمسة و6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي. قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 وثلاثة و5. ولا ينبغي النظر إلى العددين أربعة وستة لأنهما عددان غير أوليين.

الغرابيل

كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهوأكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مماثلة من أجل حلحلة معضلات أخرى.

اختبار أولية عدد ما لقاء البرهان على ذلك

الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن حتى تقسم إلى نوعين : الاختبارات الاحتمالية والاختبارات البترية.

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن :${\displaystyle a^{p-1 \equiv 1\ \ (p)$

عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا ${\displaystyle a^{560 \equiv 1\ \ (561)$

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن ${\displaystyle a^{p-1$ متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لفهم إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: ${\displaystyle 1\equiv <!--\; \equiv \; -->2^{x-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->3^{x-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->5^{x-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->7^{x-<!--\; -\; -->1}(x)}$

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي بتريا.

خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف

بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن حتى يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يحتاج فهم العوامل الأولية ل n - 1. بينما يحتاج اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما فهم العوامل الأولية ل n + 1.

تعميل الأعداد السليمة

ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أوجميع قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.

التوزيع

صيغ الأعداد الأولية

عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين

تعهد الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أوتساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(10²⁰) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.

بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية حتىقد يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n.

المتتاليات الحسابية

المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد السليمة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،

3، 12، 21، 30، 39،...،

هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد علىتسعة يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما حتى

(1 + 9n + ثلاثة = 3(3n

انظر مبرهنة غرين-تاون.

القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية

لاحظ أويلر حتى الدالة

${\displaystyle n^{2 +n+41\,$

تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 وn <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.

مسائل لم تحل بعد

دالة زيتا وفرضية ريمان

دالة زيتا لريمان (ζ(s تعهد كمجموع غير منته :

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {1 {n^{s ,$

حيث s هوعدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر بترا من 1. يمكن البرهان على حتى هذا المجموع يساوي الجداء التالي :

${\displaystyle \prod _{p{\text{ أولي {\frac {1 {1-p^{-s .$ حيث p عدد أولي.

هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.

حدسيات أخرى

بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت الكثير من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندوالأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على حتى جميع عدد زوجي n أكبر بترا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية سليمة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.10¹⁷. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على حتى أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن حتى يُخط على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على حتى أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن حتى يخط على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.

من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي:

• حدسية التوأمين الأولية

خصائص الأعداد الأولية

• أي عدد أولي أكبر من ثلاثة يخط على شكل 6k+1 أو6k-1 حيث k عدد طبيعي.
• كل عدد سليم n> 1 له قاسم أولي.
• إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أويساوي الجذر التربيعي ل n.
• إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا.خمسة وسبعة من جهة و11 و13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)

برمجة الأعداد الأولية

يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون) :

def isPrime(num):
    if num>1:
        for count in range(2,int(num**(1/2))):
            if not(num%count):
                return False
                break
        return True
    else:
        return False
for count in range(0,100):
    if isPrime(count):
        print(count,end=",")
#in the screen : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

في الجبر التجريدي

مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني جميع ما غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هوأصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1.

الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية

تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط

${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\ ,\,$

حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه حدثا كانت النتيجة سلبية أومساوية لعدد أكبر من، أويساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n.

الأعداد التقاربية بتردد p

العناصر الأولية في الحلقات

المثالي الأولي

نظرية الزمر

في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاوعلى أنه إذا قسمت ${\displaystyle p^n}$${\displaystyle p^n}$

تطبيقات

لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانويفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم حتى الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية.

التشفير باستخدام المفتاح المعلن

تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في فهم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض حتى حساب جداء عددين سليمين معلومين x وy أسهل بكثير من حساب x وy إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما). لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.

الأعداد الأولية في الطبيعة

انظر أيضا

مصادر

وصلات خارجية